等腰三角形和勾股定理

1、等腰三角形和勾股定理1、等腰三角形（1） 定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底。 两腰的夹角叫做顶角。 腰与底的夹角叫做底角。 说明：顶角=180°- 2底角 底角= 可见，底角只能是锐角。（2） 性质 等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。 等边对等角。 三线合一（顶角）。（3） 判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 有两个角相等的三角形是等腰三角形。2、等边三角形（1） 定义:三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。（2）性质 等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。 三条边上的

2、中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 等边三角形的三个内角都等于60°。（3） 判定 三条边都相等的三角形是等边三角形。 三个内角都相等的三角形是等边三角形。 有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。AFBCDE（4） 重要结论:在Rt中，30°角所对直角边等于斜边的一半。Ø 典例精析题型一：等腰三角形的判定【例1】已知AB=AC，D是AB上一点，DEBC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明ADF是等腰三角形的理由举一反三：练习1、等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问APQ是什么形状的三角形？试说

3、明你的结论ACBPQ题型二：等腰三角形性质的应用【例1】等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为32两部分，则此三角形的底边长为_ _. 举一反三：练习1、如图所示，在ABC中，CD是AB上的中线，且DA=DB=DCADBC（1）已知A=，求ACB的度数；（2）已知A=，求ACB的度数；（3）已知A=，求ACB的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论练习2、等腰ABC中，若A=30°，则B=_ 练习3、等腰ABC中，AB=AC=10，A=30°，则腰AB上的高等于_题型三：等边三角形性质的应用ABOEFC【例3】如图所示，在等边三角形ABC中，B、C的平分线

4、交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理举一反三： 练习1、如图1，D、E、F分别是等边ABC各边上的点，且AD=BE=CF， 则DEF的形状是（ ） A等边三角形 B腰和底边不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等边三角形勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。2、勾股数：满足a+b=c的三个 ，称为勾股数。常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40

5、,4110,24,268,15,173、常见平方数：； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；专题归类：专题一、勾股定理与面积1、在RtABC中，C=,a=5,c=3.，则RtABC的面积S= 。2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。3、直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为 labc4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4等于 。5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。6、如果一个三角

6、形的三边长分别为a,b,c且满足：a+b+c+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。7、如图1，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？BDCA图17、如下图，在ABC中，AB=8cm，BC=15cm，P是到ABC三边距离相等的点，求点P到ABC三边的距离。 8、有一块土地形状如图3所示，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形） DCBA图39、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60°，求四边形ABCD的面积。10、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=3

7、，BC=7，求：重合部分EBD的面积11、如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.专题二、勾股定理与折

8、叠1、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。图4EGCDBA2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？EDBCA图53、如图6，在矩形纸片ABCD中，AB=，BC=6,沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=（2） 求BE、QF的长图6PHFEQDCBA（3） 求四边形QEFH的面积。专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度1、如图7，铁路上A、B两站相距2

9、5千米，C、D为两村庄，DAAB于A点，CBAB于点B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村庄到收购站的距离相等，则收购站E应建在距离A站多远的距离？图7EDCBA2、 一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗？请给出证明。EBCDA3、 ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长专题四、勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是（ ） A 4,5,6, B 5,7,12 C 12,13,15 D

10、14 ,48,502、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。3、下列是勾股数的一组是（ ） A 2,3,4, B 5,6,7, C 9,40,41 D 10 24 254、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且a<b<c （1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b,c的值 ,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明1、 在四边形ABCD中，C是直角，AB=13,BC=3,C

11、D=4,AD=12DCBA证明：ADBD2CBDA、CD是ABC中AB边上的高，且CD=ADDB，试说明ACB=DFCEBA3、在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点 且CF=CD试说明AEF是直角三角形。 4、ABC三边的长为a,b, c，根据下列条件判断ABC的形状 （1）：a+b+c+200=12a+16b+20c； （2）：a-ab+ab-ac+bc-b=05、试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？6、如图2-12，ABC中，C=90°，M是BC的中点，MDAB于D求证：AD2=AC2+BD27、在AB

12、C中，BC=a,AC=b,AB=c,若C=，如下图(1)根据勾股定理可以得出：a+b=c,若ABC不是直角三角形，如图(2)与图(3)，请你类比勾股定理猜想a+b与c的关系，并且证明你的结论。图(1)BBBAAACCC图(2)图(3)8、如图中，为BC上任意一点，求证：ABPC专题六、勾股定理与旋转1、在等腰RtABC中，CAB=，P是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=CBAP求：CPA的大小？2、 如图，在等腰ABC中，ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且DCE=45°。求证：DE2=AD2+BE2。3、 如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜

13、边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 4、已知，如图ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC。PBAC5、如图，在中，M为AB上一点，AM=BC，N为AB上一点，CN=BM，连接AN、CM交于点P。求的大小。专题七、最短路线问题1、 有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？2、有一个长方体盒子。它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？ 3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到