分块矩阵的若干性质及其应用

1、分类号密级U D C 编号本科毕业论文(设计)题目分块矩阵的若干性质及其应用学院数学与经济学院专业名称应用统计学年级 2013级学生姓名刘欣2017 年 4 月文献综述一、概述矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研

2、究与探索。二、正文通过阅读居余马著作的线性代数一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的九章算术中，在九章算术方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用

3、非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。林瑾瑜在分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。蔡铭晶在例说分块矩阵的应用中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行列式、证明矩阵的秩、解决矩阵的特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高、比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决

4、变得简明而清晰。徐天保在分块矩阵的应用中，主要证明了分块矩阵在高等代数中的应用，包括用分块矩阵求矩阵的行列式问题，讨论了分块矩阵与秩的关系，用分块矩阵求逆矩阵问题，对分块矩阵的若干性质进行了总结和推广。胡景明在分块矩阵在求高阶行列式中的应用中，介绍了几个利用分块矩阵求解高阶行列式的方法。此方法的主要手段是将高阶行列式通过矩阵分块的方法来达到降阶的目的，从而简化高阶行列式的运算。这些都是他们关于分块矩阵的性质和应用这个课题探究的理论成果。他们每个人都有自己的研究点和研究方向，他们的研究有他们的优点，同时也有他们的欠缺之处。分块矩阵的若干性质的探究及其矩阵分块不仅是一种解题方法，更是一种技巧，我们

5、必须掌握并应用于现实生活中，但它的应用范围非常广，远远不止于专家们所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。三、总结通过上面对矩阵的历史以及现状的了解，我们发现矩阵还是很容易理解和掌握的。然而，矩阵在实际应用中还会遇到很多问题。在实际生活中，我们的很多问题可以用矩阵抽象的描述出来，但是这些矩阵一般都是高阶矩阵，行数和列数都是一个相当大的数字，因此，我们在计算和证明这些矩阵时，会遇到很多很繁琐的任务。这时，我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好地解决，而分块矩阵能够形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构，从而能充分体现出分块矩阵在代数计算与证明方面

6、所具有的优越性。既然分块矩阵理论的应用如此广泛，因而即使矩阵理论的研究已相当成熟，我们仍有必要深入体会分块矩阵的应用技巧，归纳总结分块矩阵在不同类型题目当中发挥出的巨大应用。 四、参考文献1居余马.线性代数M.清华大学出版社,1992.2穆大禄，裴惠生.高等代数教程M.山东大学出版社,1900.3蔡鸣晶.例说分块矩阵的应用J.南京信息职业技术学院(读与写杂志),2014.4，11(04);5253.4林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其应用J.广东广播电视大学报,2006,(02):109112.5张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第四版）M.北京：人民教育出版社,1995:199208.6北京大

7、学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.北京：高等教育出版社.2001.7胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中应用J.河北工程技术高等专科学校学报，2004,(4):5053.8徐天保.分块矩阵的应用J.安庆师范学院学报（自然科学版）,2010,(05)：106109.9刘红旭.利用分块矩阵求解非齐次线性方程组.辽宁师专学报,2003.6.10乔占科.矩阵分块方法的应用J.高等数学研究,2010,13(1):8990.11秦小二.分块矩阵的几种用法J.数学教学与研究,2007,41 (2) :6869.摘要：本文主要探究了高阶矩阵降阶的分块方法、分块矩阵的运算性质、分块矩阵的初等变换以及由分

8、块矩阵的若干性质得出一些推论等，并举例说明了分块矩阵在现实生活中的应用，分析了分块矩阵在求取矩阵的逆、计算行列式，在证明矩阵的秩的性质上的问题以及在求解非齐次线性方程组中的应用。在数学上，矩阵就是由若干个方程所组成的方程组的系数以及常数所构成的方阵，把矩阵用在解线性方程组的问题上，运用起来既方便又直观。分块矩阵的若干性质及其应用又是高等代数中的一个重要的内容，是解决行列式计算问题的一个很重要的工具，不仅仅只是针对行列式得运算，更为重要的是，解决各种数学问题都要会用到它，特别是在处理级数比较高的矩阵时候，将高阶的矩阵分块降阶之后，能使各子矩阵块或者使高阶矩阵的内部各元素之间的关系变得更清晰明了。

9、为解决一些高阶矩阵问题的需要，适当地对高阶矩阵进行分块，从而把一个复杂的矩阵简化成由一些小矩阵块为元素组成，这样就可以使高阶矩阵的结构看得更加清晰，解题的脉络也就更加一目了然，从而使得复杂的高等代数的问题简单化，我们利用矩阵也就更加便捷了。关键词：分块矩阵初等变换行列式运算性质应用Abstract: this paper mainly explores the reduced order of high-order matrix partition method, the property of the partitioned matrix operation, the elementary

10、transformation of partitioned matrix and the partitioned matrix of some properties to draw some inferences, etc., and illustrates the partitioned matrix in real life, the application of partitioned matrix is analyzed in calculating matrix inverse, calculating the determinant, the proof of matrix ran

11、k on the nature of the problem and its application in solving the non-homogeneous linear equations. In mathematics, the equations of the matrix is composed of a number of equations of coefficients and constants of square, the matrix on the problem of solving linear equations, convenient to use and i

12、ntuitive. Some properties and applications of partitioned matrix is an important content of higher algebra, is a very important to solve the problem of the determinant calculation tool, not only for determinant computing, even more important, various mathematical problems is to use it, especially in

13、 dealing with the matrix series is higher, the high-order matrix block after the order reduction, can make each matrix to block or make high order matrix of the relationship between the internal elements become more clear. For the need to solve the problem of some high order matrix, appropriately to

14、 block of high order matrix, thus a complex matrix is simplified into a small matrix for elements, so that you can make the high-order matrix structure more clear, the problem solving context is more obvious, so as to make the complex problem of higher algebra simplification, we make use of the matr

15、ix is more convenient. Keywords: Partitioned matrix elementary transformation The determinantOperation properties application目录1.分块矩阵的概念及性质························11.1分块矩阵的定义·

16、·························1 1.2分块矩阵常见的分块方法·····················

17、83;11.3分块矩阵的运算性质························31.3.1分块矩阵的加法·····················&

18、#183;·31.3.2分块矩阵的数量乘法·····················31.3.3分块矩阵的乘法······················

19、83;61.3.4分块矩阵的转置·······················31.3.5分块矩阵的初等变换·····················72.分块

20、矩阵的应用····························92.1利用分块矩阵求矩阵的逆··················

21、3;···92.2利用分块矩阵简化高阶行列式的计算·················112.3分块矩阵在证明矩阵的秩的性质上的应用···············132.4分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用····

22、·············152.5分块矩阵在求解非齐次线性方程组上的应用···············173.全文总结················

23、3;···············19参考文献·································20致谢

24、···································211、分块矩阵的概念及性质1.1 分块矩阵的定义     定义：把一个矩阵，在矩阵行的方向分成块，在矩阵列的方向分成块

25、，称为矩阵的分块矩阵，记作，其中称为的子矩阵块，它们分别是各种类型的小矩阵。例1：将一个四阶矩阵进行分块（1）用水平和垂直的虚线将矩阵分成以下四块，如下:，如果将这四块分别记成：,就可以把上面的四阶矩阵换写成由四个小矩阵块所组成的分块矩阵，记作：,也就是，并将此矩阵称作是的一个的分块矩阵，其中的每一个小矩阵块称为分块矩阵的一个子块，这四个小矩阵就分别为的四个子块。1.2 分块矩阵常见的分块方法除了上面的分块方法，常用的分块方法还有下面的：按行分块、按列分块、按对角线分成对角矩阵，如下:按行分块:按列分块：按对角线分块：当阶矩阵中的非零元素均集中在主对角线的附近时，那么，我们可以将高阶矩阵分块成

26、下面的对角块矩阵，又可称为准对角矩阵。例2：有一个矩阵将矩阵分块，矩阵分块的好处有：（1） 分块矩阵能够使得高阶矩阵通过矩阵分块降阶，从而使得矩阵的结构显得更加清楚，如上面的矩阵（1）中，的左上角是一个3阶单位矩阵，而左下角则是一个2阶零矩阵。（2） 可以通过对小矩阵的运算从而进行对分块矩阵的运算，把高阶矩阵的运算过程转化为低阶矩阵的运算进而得到分块矩阵的运算结果。实质上，高阶矩阵的分块目的就在于简化矩阵，使得高阶矩阵运算变得简便。1.3 分块矩阵的运算性质以上已经对矩阵的分块方法进行了探究，下文将对分块矩阵的运算性质进行研究，包括分块矩阵的加法、乘法、数量乘法、转置以及初等变换等。1.3.1

27、分块矩阵的加法假设、均是矩阵，并且用相同的分块方法对、矩阵进行分块：其中各子块和都是矩阵，即和是同型矩阵，那么就有1.3.2分块矩阵的数量乘法假设有矩阵是矩阵，将矩阵进行分块，得到分块矩阵，再根据以上（1）中分块矩阵的加法，可以得到，即有1.3.3分块矩阵的乘法本文试着探究分块矩阵的乘法的应用规则是将分块矩阵的每一个子块看成一个元素，从而将分块矩阵看成以数作为元素的矩阵，从而进行乘法运算。那么，我们假设为矩阵，为,矩阵，分别对矩阵，作如下矩阵分块：，而 (1)则有其中 (2)例3：有矩阵，将其进行分块得到,请证明将的每一个子矩阵块均看作数，从而将看作以数作为元素的低阶矩阵，存在的矩阵和的矩阵

28、,使得.证明：首先，是一个矩阵，根据（1）式中的分块矩阵、以及（2）式，则为矩阵，而且有；故将看作是以数作为元素的低阶矩阵，同时可称作矩阵；再者，的元必定位于分块矩阵的某一个子块之中，可以设是的元素，则有：（3）而由（2）式可以得到:可以知道的元应该是的第行分别和的第列的对应元素乘积之和。由（3）式可以知道，的第行元素是位于中的第行，的第列是位于中的第列，由（1）式中对的分块方法，可以得到其中；从而可以说明矩阵的元素是恰好等于矩阵的元素，以上两点足以证明了为检验以上探究的结论是否正确，举下例检验结论；例4：假设有矩阵首先对矩阵进行分块，其中为三阶单位矩阵，为二阶单位矩阵，且,再对对矩阵进行分块

29、，其中为二阶单位矩阵，且计算时依旧按照常用的矩阵乘法法则进行运算，即将矩阵的各子块看作元素，将看作是以数作为元素的矩阵，于是有：而按照矩阵乘法法则直接计算得到：；根据以上计算结果一致，从而验证了分块矩阵的乘法性质与通常的矩阵的乘法性质一致。从上例中可以看到矩阵和分块方法是一致的，也就是说分块矩阵的乘法运算需要遵守一定的规则。值得注意的是：分块矩阵的列的组数应该等于分块矩阵的行的组数；分块矩阵的每个子块的列组所含的列的数目应该等于分块矩阵的每个子块相对应的行组所含的行的数目。1.3.4分块矩阵的转置我们可以先看一个例子：例5：设有矩阵解：首先对矩阵进行分块=，其中先求矩阵的转置而即有通过上述实例

30、，我们可以对分块矩阵求转置的规则进行初步总结：把分块矩阵的每个子矩阵块都看成元素，首先对每一个子矩阵块进行求取转置；将分块矩阵看成是以数作为元素的矩阵，再进行求取转置。1.3.5分块矩阵的初等变换在行列式计算中，我们经常会用到下面三条性质:(1 )如果某行列式的某行有公因子，那么则可以将公因子提到行列式号外面；(2)把行列式中的某行乘上某一个非零倍数，再加到另一行中去，则行列式的值不变；(3)把行列式中的某两行的位置互换，那么行列式的值符号要变。利用矩阵的分块，我们可以把上面行列式的三条性质分别在分块矩阵应用中进行推广。总结相关分块矩阵在行列式计算方面的相关性质，并将其应用在解决某些行列式计算

31、问题上。分块矩阵的初等变换是用来处理分块矩阵相关问题的重要工具之一。由以上探求的行列式的若干性质，我们大致的可以总结得到分块矩阵的初等行变换的定义（同样，我们由此得出分块矩阵的初等列变换的定义），进而探究分块矩阵的性质，以下三种变换规则便称为分块矩阵的初等行变换：用一个行列式不为零的方阵左乘（或右乘）分块矩阵的某一个子块的行；把一个子矩阵块的行的（矩阵）倍（即这个子块的行里每一个小矩阵都要左乘或右乘一个矩阵）加到另一个子矩阵块的行上；互换两个子块行的位置。性质1 设分块矩阵是由如下分块矩阵组成其中都是矩阵，且是任意一个方阵；对于分块矩阵，则有证明：设为阶单位矩阵，则有于是，即有，那么结论成立。

32、性质2 设有分块矩阵是由如下分块矩阵组成其中都是矩阵，且是任意一个方阵；对于分块矩阵，则有证明：设为阶单位矩阵，则有其中为阶单位矩阵，对上等式左右两边同时取行列式得到性质3 设有分块矩阵和写成如下列形式其中都是矩阵，则证明：分块矩阵可通过分块矩阵中的子块与子块相应的两行相互对换而得到，根据行列式的初等变换法则可知，对换行列式的两行，行列式符号相反，故当为偶数时，;当为奇数时，因此，由上可知，对于一般的分块矩阵同样也具有类似性质，相关的性质还有待于我们进一步的探寻。值得注意的是：这些性质不仅仅对矩阵的行成立，对矩阵的列也同样成立。2、分块矩阵的应用 行列式以及行列式的计算是高等代数的一

33、个重要组成部分，在高等代数中常常遇到一些计算高阶行列式的问题，如果直接按照行列式运算法则去计算高阶行列式的话，不但计算量非常大，而且花费时间较多，更糟糕的是极易出现错误。如果将高阶矩阵进行降阶，那么我们可以通过对高阶矩阵进行分块，便可以使高阶矩阵复杂的结构变得清晰明了，从而简化高阶行列式的运算；分块矩阵是矩阵的一种推广，与普通矩阵不同的是，分块矩阵的元素不仅可以是简单的数，也可以是小矩阵块；分块矩阵的引入使矩阵这一重要工具得到更加广泛的应用于实际问题之中，下文主要探究是几种用分块矩阵求取行列式的方法，即分块矩阵在行列式计算和证明问题中的应用。2.1利用分块矩阵求矩阵的逆通常，我们在求一个较低阶

34、矩阵的逆矩阵时，一般可以通过求取其伴随矩阵和矩阵行列式进而来求得其逆矩阵。但对于一些高阶矩阵求取逆矩阵时，求取其伴随矩阵和行列式这两个步骤是进行起来是非常复杂的。而如果我们对高阶矩阵进行适当的分块，并利用分块矩阵的一些性质，求取高阶矩阵的逆矩阵便有可能，这是探求一种使复杂的问题得到更佳的解决办法。命题1：设是一个分块矩阵，其中是阶方阵，是阶方阵，当与都是可逆矩阵时，那么是可逆矩阵，且有：，值得注意的是：（1）当都是可逆矩阵，那么就有；（2）当都是可逆矩阵，那么就有；（3）当都是可逆矩阵，那么就有。例6：设矩阵的逆矩阵。解：首先将矩阵进行分块，令，则，由知可逆，则很容易求得逆矩阵，再利用分块矩阵

35、的初等行变换：故有所以有2.2利用分块矩阵简化高阶行列式的计算假设在计算高阶行列式的时候，不进行化简而直接进行繁杂的计算的话，计算量不仅非常大，而且计算极易出错。而如果我们利用矩阵分块的方法将高阶的行列式简化成几个低阶的矩阵块组成的行列式，便可以使矩阵的结构变得更简单，将高阶的行列式简化成低阶行列式，从而达到简化行列式计算的目的。以下有两个已知的结论：定理1设都是阶方阵，其中有，并且，则有：证明：由已知条件可知是存在的，并且，用乘矩阵的第一行后加到矩阵的第二行中去之后得到矩阵：，从而就有：由上可知，结论得证。例7：计算行列式解：设，其中，由计算可知：并且；所以定理2 设分块矩阵分别为阶方阵，则

36、有证明：由上述分块矩阵的乘法运算规则可知：，将两边分别取行列式，得到：。由上可知，结论得证。例8：试计算行列式的值解：首先将矩阵进行分块，令，则由定理2得到：由上可见，对于解决一些特殊的高阶行列式的计算问题，可以将高阶行列式进行适当的分块，将高阶行列式进行降阶，会大大地简化高阶行列式的计算。使用这种简化的方法，不仅可以使得行列式与矩阵这两个非常重要的概念前呼后拥、相互承接，而且还可以使学习者能对分块矩阵加深理解，同时，又能达到对高阶行列式降阶的目的，从而得以计算出高阶行列式的结果。2.3分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用在线性代数的学习中，得知矩阵的秩作为矩阵理论的一个基本概念，在矩阵计算过程

37、中起着非常重要的作用。在涉及矩阵以及矩阵的秩的命题的证明题目时，由于本身的抽象性而使矩阵的秩的问题证明起来感到十分困难，然而，利用矩阵的分块方法可以使这些命题的证明得以简单而直观耳朵解决。通常采用的方法一般有以下两种，一是：利用已知的矩阵作为矩阵的元素来构成矩阵，进而进行命题的证明；二是：将已知高阶矩阵拆分成级数较低的矩阵块，再来证明有关矩阵秩的命题。以下有几个已知的结论；结论1：设为矩阵，为矩阵，则有：证明：设有矩阵令，且表示的行向量，表示的行向量，则有：即的行向量组应当可以由的行向量组线性表示，那么就有；同理，可令表示来的列向量，表示来的列向量，则有：那么就有；综上所述，可得到结论2：矩阵的和的秩不会超过这两个矩阵的秩之和，即有证明：设有分块矩阵，对分块矩阵作初等变换：所以有而又因为综上，所以由上可知，推论结论得证。结论3：假设为矩阵，为矩阵，则有证明：假设有分块矩阵，将其进行分块矩阵的初等变换，得到：所以，又因为，所以，值得注意的是：当时，有高等代数中学习，可知有关矩阵秩的证明问题是一大难点，通过构造适当的分块矩阵使高阶矩阵达到降阶的目的