第三章扭转11文理

1、3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 (p73(p73) )对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽传动轴传动轴汽车传动轴汽车传动轴2扭转的实例扭转的实例3外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系tWP tMe eM602 nMe 功率功率功功时间时间力偶矩力偶矩 角位移角位移角速度角速度每分钟每分钟的转数的转数min)/(2)(60rnkWPMe mNnPmkNnP.9549)(549. 9 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算. 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图Me1 Me2 Me3 从动轮主动轮从动轮4杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 圆轴受扭时

2、其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号，用符号T T 表示。表示。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定来确定. .A11Me eMT eMT Me 11Me Me AB11B5扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩的符号规定扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定: : 仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表明沿杆，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。轴线各横截面上扭矩的变化情况。T (+)T (+)T (-)T (-)扭矩的正负规定与轴扭矩的正负规定与轴扭转变形直接相关扭转变

3、形直接相关.6例例 1. 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率主动轮输入的功率P1=36kW，三个，三个从动轮输出的功率分别为：从动轮输出的功率分别为： P2= 11kW， P3= 11kW， P4= 14kW。 试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩解：解： mN 1461mN)300369549(1 M m350NmN)300119549(32 MM mN 446mN)300149549(4 M2M3M1M4MBCAD7x3M2M222TBCD m350N21 MT mN 700)(

4、322 MMT mN 44643 MT分别计算各段分别计算各段的扭矩的扭矩 :0 ixFm 021 MT :0 ixFm 0)(322 MMT :0 ixFm034 TM mNM.11461 mNM.3502 mNM.3503 mNM.4464 : 对待求的对待求的截面上的扭矩截面上的扭矩应设之方向与应设之方向与外法向一致外法向一致(正向假定正向假定)2M3M1M4M112233BCADBx2M1T111 1 截面截面:2 2 截面截面:3 3 截面截面:33x3T4MDn8BCAD1M2M3M4MTmax = 700Nm 在在CA段内段内M1 =1146N.mM2 = 350N.mM3=35

5、0 N.mM4 =446N.m350700446 m350N1 T mN 7002 T mN 44613 T扭矩图扭矩图(内力图内力图)x mNT 1122339扭矩图的意义扭矩图的意义:BCAD1M2M3M4M350700446 轴内任轴内任意截面内意截面内力的大小力的大小及变化情及变化情况况mm3MmmB2MC1TAD1M4M1Tmmdx1T1T 10BCD4M112233A1M2M3MTmax = 1146Nm 在在DA段内段内M1 =1146N.mM2 = 350N.mM3=350 N.mM4 =446N.m m350N1 T mN 7002 T mN 44613 T扭矩图扭矩图(内力

6、图内力图)1146350700 x mNT 如果将输入力偶如果将输入力偶M1 与输出力偶与输出力偶M4 对调对调,(将主动轮移至轴右端将主动轮移至轴右端)11TT3.3 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力1. 变形几何关系变形几何关系dxdxeMeM实验观察实验观察横截面上存在剪应力横截面上存在剪应力,不存在正应力不存在正应力.平面截面假设平面截面假设: :圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴右端截面上所绘的径向线保持圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。直线。取圆轴上取圆轴上dx一段分析变形与受力的关系一段分析变形与受力的关系dx12xdd 相对扭转角沿杆长的变化率，

7、对于给定的横截面为常量相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量.即即xdd dDGGETTO1O2ababdxDAdDGGEO1O2DAdxd RdxdRR)(max显然有显然有 一般记一般记dxd (单位扭转角单位扭转角)( ( 单位扭转角单位扭转角, 单位单位:rad/m )( 的范围为的范围为0 R )132. 物理关系物理关系剪切胡克定律剪切胡克定律( (钢材的切变模量值约为：钢材的切变模量值约为：G = 80 103 MPa .) )(p在在弹弹性性变变形形的的范范围围内内时时当当 G这就是这就是剪切胡克定律剪切胡克定律其中：其中：G材料的材料的切变模量切变模量t p剪切弹性

8、极限剪切弹性极限 12EG GGdxd dxdG 143. 静力学关系静力学关系dTdA AAdAGdAT2 dAIAp 2 I Ip p称为极惯性矩，是截面的几何性质，称为极惯性矩，是截面的几何性质，仅与截面的几何形状、尺寸有关仅与截面的几何形状、尺寸有关TpAIGdAGT 2即即pGIT pGITdxd 于是有于是有或或其中其中,记记TR15 GIp表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。pITG （横截面上剪应力的计算公式（横截面上剪应力的计算公式)tpWTITRR max 时时，当当RIWpt 式中式中 称为称为抗扭截面系数抗扭截面系数.

9、GGpIT pGITdxd 又由又由pGITdxd dxGITl 0 如果在如果在l 长内长内T是常数是常数pGITl pGIT 164. 公式中几何量公式中几何量Ip与与Wt的计算的计算 a. 实心圆截面实心圆截面 ddA2 因此因此440223222DRddAIRAp 33162DRRIWpt D=2RddAb.空心圆截面空心圆截面Dd 444444121323232 RDdDIp式中式中RrDd 4343121162/ RDDIWpt175.圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件受扭圆轴破坏的标志：受扭圆轴破坏的标志：塑性材料塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线，：首先

10、发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线， 最后沿横截面被剪断。最后沿横截面被剪断。脆性材料脆性材料：变形很小，在与轴线约成：变形很小，在与轴线约成45的面上断裂。的面上断裂。圆轴的强度条件为圆轴的强度条件为maxmax tWT18例例 2. 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率主动轮输入的功率P1=36kW，三个，三个从动轮输出的功率分别为：从动轮输出的功率分别为： P2= 11kW， P3= 11kW， P4= 14kW。 如果轴的直径为如果轴的直径为D = 50mm, 求轴内最大的切应力求轴内最大的切应力.轴内扭矩图轴内扭矩图(内力图内力图)

11、350700446x mNT tWTmaxmax MPa52.28501610007003 19解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：)1(1643 DWt)2(11643DtDD 361024.29m 轴的最大剪应力轴的最大剪应力例例3.(书上例书上例3.2) 某汽车传动轴用某汽车传动轴用45号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D = 90mm, 壁厚壁厚 t=2.5mm，使用时最大扭矩为，使用时最大扭矩为 T=1500 N.m,试校核此轴的强度试校核此轴的强度. 已知已知 =60MPa.若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，若此轴改为实

12、心轴，并要求强度仍与原空心轴相当， 则实心轴的直径则实心轴的直径 D1为多大？为多大？tWTmaxmax MPa3 .511024.2915006 MPa60 所以此轴安全。所以此轴安全。若此轴改为实心轴，若此轴改为实心轴，31161DWt 式中式中解得：解得：mTD053. 0103 .511636max1 MPaWTt3 .511maxmax 令令20实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为2114DA 22205mm 空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积2222687)(4mmdDA 空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：%3122056871212 AAGG因此在承载能力

13、相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。约材料、比较经济。213.4 等截面薄壁圆筒扭转等截面薄壁圆筒扭转 纯剪切纯剪切 剪切互等定理剪切互等定理一一. 薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力eMT 100r 通常指通常指 的圆筒的圆筒薄壁圆筒薄壁圆筒nnMeMe lT Me nnr0 理论分析及实际测试表明理论分析及实际测试表明: :假定其切应力沿壁厚方向均匀分布假定其切应力沿壁厚方向均匀分布, ,则与实则与实际相差不大际相差不大. .T r0 回顾圆轴扭转回顾圆轴扭转: 0r这里这里, 0GrGr0 : 圆筒的平均半径圆筒的平均半径

14、 AAdAGrdArT 200 0202 rGr 0Gr GrT302 202 rT AT2A: 薄圆环截面面积薄圆环截面面积22平衡吗？平衡吗？此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体等直圆杆表面处截取一微小的正六面体 . . 单元体单元体 二二. .单元体的概念和单元体的概念和切应力互等定理切应力互等定理TTAA 由力矩平衡理论由力矩平衡理论dydxdzdxdydz)()( 在相互垂直的两个平面在相互垂直的两个平面上，切应力必成对出现，上，切应力必成对出现，两切应力的数值相等，两切应力的数值相等，方向

15、均垂直于该平面的方向均垂直于该平面的交线，且同时指向或背交线，且同时指向或背离其交线。离其交线。v不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。v因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。所以因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。v若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切纯剪切应力状态。应力状态。xyzdxdydz :0 iz

16、Fm.切应力互等定理切应力互等定理24三三. . 切应变切应变 . . 剪切胡克定律剪切胡克定律 22 rT lr / 由图中产生的变形可知由图中产生的变形可知薄壁圆筒的扭转实验曲线薄壁圆筒的扭转实验曲线Me Me ABDCl薄壁圆筒扭转的应力公式薄壁圆筒扭转的应力公式25钢材的切变模量值约为：钢材的切变模量值约为：G = 80 103 MPa . )(p在在弹弹性性变变形形的的范范围围内内时时当当 G这就是这就是剪切胡克定律剪切胡克定律其中：其中：G材料的材料的切变模量切变模量 p剪切弹性极限剪切弹性极限对于任何各向同性材料对于任何各向同性材料: 12EG26ATT A Tmax max m

17、ax max max max max max A A圆轴扭转时横截面上的应力分布圆轴扭转时横截面上的应力分布 圆轴面上一点的应力表示圆轴面上一点的应力表示 pIT tWT max 27RTTl lR ldxd RGG l : 0 R AAdAGdAT2 dAIAp 2 pAIGdAGT 2即即pGIT 于是有于是有pGITl 或或283.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形在前面有关圆轴扭转的几何形变分析、剪切虎克定律及静力学关系的研究在前面有关圆轴扭转的几何形变分析、剪切虎克定律及静力学关系的研究后后, 我们已得到了其形变的方程我们已得到了其形变的方程.pGITdxd 又由又由pGITdxd

18、 dxGITl 0 如果在如果在l 长内长内T是常数是常数pGITl pGIT dxd 称为单位扭转角称为单位扭转角如果在如果在l 长内长内T是常数是常数l 从数学关系分析从数学关系分析, 的单位是的单位是弧度弧度/米米, 但是工程中习惯于但是工程中习惯于/m, 故扭转刚度的条件是故扭转刚度的条件是 180maxmaxpGIT29例例2. ( 书上例书上例3.4) 某组合机床主传动轴在正常工作时作用有如图的三个力偶某组合机床主传动轴在正常工作时作用有如图的三个力偶. M1 = 39.3N.m, M2 = 194.3N.m , M3 =155.0N.m . 设轴匀角速转动设轴匀角速转动 , 材料

19、为材料为45号钢号钢 , 剪切模量剪切模量G = 80GPa . = 40MPa . = 1.5()/m . 试设计此轴的直径试设计此轴的直径.1M2M3M解解: 由已知条件可作其内力图由已知条件可作其内力图 mNT.x39.3155 由强度条件由强度条件 63maxmax104016155 DWTt 63104016155D mD027. 0 由刚度条件由刚度条件 5 . 118032108015549max DGITp8294103 .755 . 1108018032155 D mD0295. 0 综上所述综上所述, 取取D = 0.03 (m).30例例3. 图示等截面圆轴图示等截面圆轴

20、.已知已知 d=90mm ,l = 500mm . M1 = 8kN.m , M2 = 3kN.m . 轴的材料为钢轴的材料为钢. G = 80MPa . 求（求（1）轴的最大剪应力；（）轴的最大剪应力；（2）截面）截面B和截面和截面C的扭转角；的扭转角； （3）若要求）若要求BC段的单位扭转角与段的单位扭转角与AB段的相等，则在段的相等，则在BC段钻孔的孔径段钻孔的孔径d 应应 为多大？为多大？解解: 作扭矩图作扭矩图2C1MAB112ll2Mxd先求先求A处约束力偶处约束力偶MAAM由由:0 xm021 MMMA mkNMA 5用截面法分别截用截面法分别截2 2 截面和截面和1 1 截面可

21、得截面可得:AM2TxxAM1T1MA B 段段:mkNT 52B C 段段:mkNT 3131M1 = 8kN.m , M2 = 3kN.m .（1）轴的最大剪应力）轴的最大剪应力mkNT.5max tWTmaxmax 3390161000105 MPa9.34 C1MABd1122ll2MmkN .5（+）（）mkN .3TxA B 段段:mkNT 52B C 段段:mkNT 31扭矩图扭矩图AM3max16dT 32C1MABd1122ll2M（2）截面）截面B和截面和截面C 的扭转角的扭转角 截面截面B：pABABABBGIlT 493)1 . 0(3210825 . 0105 178

22、.0 rad00311.0 ACC BCAB 00311.0 pBCBCGIlT 截面截面C:493)1 . 0(3210825 . 0103 00311.0 rad00125.0 072.0 AM33Cll1M2MABd1122（3）若要求）若要求BC段的单位扭转角与段的单位扭转角与AB段的相等，则在段的相等，则在BC段钻孔的孔径段钻孔的孔径d 应应 为多大？为多大？ABBCppTTIddI )(3244 BCAB 由由pBCpABIGTGIT 得得pBCpABITIT 解得：解得：mmmTTddABBC7 .710716. 053109. 0144 A B 段段:mkNTAB 5B C 段

23、段:mkNTBC 334 n n n n 3.6 圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力 TTATTA? 35 n n bef0 F0 F 0cossindsincosdd AAA 0sinsindcoscosdd AAA设斜截面设斜截面ef 的面积为的面积为dA取三角块为平衡受力体取三角块为平衡受力体联立求解可得斜截面上的正应力和剪应力分别为联立求解可得斜截面上的正应力和剪应力分别为: :,2sin 2cos 讨论：讨论：1. 0 当当0 max454 当当 min0 3.454 当当 max0 4.2.232 当当0 090364545x max max min min1. 0

24、当当0 max454 当当 min0 3.454 当当 max0 4.2.232 当当0 TTATTA 低碳钢低碳钢(a) 、铸铁、铸铁(b)试件扭转时的破坏断面试件扭转时的破坏断面:37TTATTATTATTA383.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧密圈螺旋弹簧:假定假定: (1) 弹簧丝直径弹簧丝直径d 远小于弹簧圈本身直径远小于弹簧圈本身直径D . (2) 螺旋角很小螺旋角很小(小于小于50) , 视过弹簧轴线的面切簧丝的面为其横截面视过弹簧轴线的面切簧丝的面为其横截面.d DF过轴线截簧丝任意横截面过轴线截簧丝任意横截面,取弹簧取弹簧上部为研

25、究对象上部为研究对象, 受力如图示受力如图示由平衡可得由平衡可得:FFS FDT2 由剪切及扭转公式可得由剪切及扭转公式可得:214dFAFs 3max28dDFWTt sF1 T2 d一一. 应力应力 DddDF2183max21max 若若Dd 3max2max8dDF 由剪切及扭转由剪切及扭转, 横截面应力分布如图横截面应力分布如图:FsFT2D39FsFTsF1 T2 考虑各种误差因素考虑各种误差因素, 可得其修正的应力公式可得其修正的应力公式:33max88615. 04414dDFkdDFccc 其中其中,dDc 密螺圆柱形弹簧受载的强度条件密螺圆柱形弹簧受载的强度条件 max40

26、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点等直非圆形截面杆扭转时的变形特点3.7 非圆截面直杆扭转的概念非圆截面直杆扭转的概念41横向线变横向线变成曲线成曲线平面假设不再平面假设不再成立，可能产成立，可能产生附加正应力生附加正应力横截面发生横截面发生翘曲翘曲不再保持为平面不再保持为平面42例例5. (书上习书上习 3.17 ) 由厚度由厚度 = 8mm的钢板卷成的圆筒的钢板卷成的圆筒,平均直径平均直径D = 200mm. 接缝处用铆钉铆接接缝处用铆钉铆接. 若铆钉的直径若铆钉的直径d = 20mm, 许用切应力许用切应力 = 60MPa , 许用许用挤压应力挤压应力 bs = 160MPa . 圆筒两端

27、受扭转力偶矩圆筒两端受扭转力偶矩M = 30kN.m的作用的作用, 试求试求铆钉的间距铆钉的间距.MM MM解解: 由剪应力互等定理可知由剪应力互等定理可知 , 圆筒纵向截面的圆筒纵向截面的剪应力与对应的横截面上的剪应力相等剪应力与对应的横截面上的剪应力相等. 若如此切开后若如此切开后, ,为保证圆筒能与未切开时为保证圆筒能与未切开时一样承受相同的扭矩一样承受相同的扭矩, , 则在切口处铆上钢则在切口处铆上钢板板, ,而上下两纵向剖面的剪应力便应该由两而上下两纵向剖面的剪应力便应该由两排铆钉来承受排铆钉来承受. . 在扭转力偶矩的作用下在扭转力偶矩的作用下, 如果将圆筒某如果将圆筒某处沿纵向处

28、沿纵向(母线方向母线方向)截开截开, 则圆筒壁将沿母则圆筒壁将沿母线方向错动线方向错动, 说明圆筒在扭转时沿母线与说明圆筒在扭转时沿母线与轴线所截圆筒的截面上存在剪轴线所截圆筒的截面上存在剪(切切)应力应力.MM 43TT 若如此切开后若如此切开后, 则原在上下两纵向剖面则原在上下两纵向剖面的剪应力便由两排铆钉来承受的剪应力便由两排铆钉来承受. MParT7 .598100210302262 由题意由题意, 应有应有: 24ds TT 62636102041060108107 .59 s ms03946. 0 dsbs33636108102010160108107 .59 s ms0536.

29、0 取取s = 0.0395mMM sS 长度上切应力长度上切应力 合力不超过一个铆钉横截面的剪力合力不超过一个铆钉横截面的剪力 S 长度上切应力长度上切应力 合力也不能超过一个铆钉挤合力也不能超过一个铆钉挤压面的挤压力压面的挤压力44圆轴扭转补充例题圆轴扭转补充例题例例1.(书上例书上例3.5) 图示圆轴有图示圆轴有A、B两个凸缘两个凸缘, 该圆轴在力偶该圆轴在力偶Me 作用下发生了扭作用下发生了扭转变形转变形. 这时将一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起这时将一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起,然后解除力偶然后解除力偶Me . 设圆轴设圆轴和圆筒的抗扭刚度分别是和圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和

30、和G2Ip2 .求轴内和筒内的扭矩求轴内和筒内的扭矩. (凸缘视为刚体凸缘视为刚体.)解解:属装配应力属装配应力设所求圆轴和圆筒上扭矩分别为设所求圆轴和圆筒上扭矩分别为T1和和T2 .由整体平衡可得由整体平衡可得:21TT 1T2 )(eM1 2T 21 由形变协调可得由形变协调可得:由扭转变形可得由扭转变形可得:11222111peppIGlMIGlTIGlT eMeMABl22112221PppeIGIGIGMTT 45 TO例例2. (书上习书上习3.15) 设圆轴横截面上的扭矩为设圆轴横截面上的扭矩为T, 试求四分之一截面上的合力试求四分之一截面上的合力的大小、方向及作用点的大小、方向及作用点. 圆轴直径为圆轴直径为d .解解: 求应力系的主矢与主矩求应力系的主矢与主矩取四分之一圆截面取四分之一圆截面, 建立座标系如图建立座标系如图.xyO sindAFFAixRx AdddT sin324dTdddTd 34sin32202024 432dTITp 任意点上有任意点上有方向如图方向如图 cosdAFFAiyRy dTdddTd 34cos32202024 46 xyOdTFRx 34 dTFRy 34 432dTITp dddTdAMAAO 3432432222034TdddTd 合力大小合力大小dTFFFRyRxR 32422 1tan RxRyFF 045