第四章层流、湍流与湍流流动

1、第四章 层流、湍流与湍流流动4.1 流动的两种状态4.2 层流流动的定解问题4.3 流动问题求解方法4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解4.5 湍流4.6 可压缩流体流动4.1 流动的两种状态18831883年雷诺实验年雷诺实验 结论：当流速不同时，流体质点的运动可能有两种完全不同的形式。结论：当流速不同时，流体质点的运动可能有两种完全不同的形式。层流：规则的层状流动，流体层与层之间互不相混，质点轨迹为平滑层流：规则的层状流动，流体层与层之间互不相混，质点轨迹为平滑的随时间变化较慢的曲线。的随时间变化较慢的曲线。湍流：无规则的运动方式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化，流体微湍流：无规则的运动方

2、式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化，流体微团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动，与周围流团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动，与周围流体混掺，随机、非定常、三维有旋流。体混掺，随机、非定常、三维有旋流。层流层流湍流转变：临界速度。湍流转变：临界速度。 速度速度 发生转变，除此之外，发生转变，除此之外，、L L、也对转变时机构成影响。也对转变时机构成影响。所以，定义无量纲特征数：所以，定义无量纲特征数：临vvRe 衡量流动状态衡量流动状态 ：流体粘性对流动状态有何影响？流体粘性对流动状态有何影响？ 粘性对扰动有耗散的作用，保证低粘性对扰动有耗散的作用，保证低ReRe下层

3、流的稳定。下层流的稳定。 在边界层内，粘性作用使流体内产生较高的速度梯度，产生有旋，粘在边界层内，粘性作用使流体内产生较高的速度梯度，产生有旋，粘性力小于惯性力不能阻止其湍流化。性力小于惯性力不能阻止其湍流化。uLRe54102310623002100.Re边界层流：光滑管流：临4.2 层流流动的定解问题求解实际流体的流动问题应用连续方程和运动方程。对于不可压缩及求解实际流体的流动问题应用连续方程和运动方程。对于不可压缩及粘性为常量的情况下方程组封闭。否则，需补充状态方程、温度场方粘性为常量的情况下方程组封闭。否则，需补充状态方程、温度场方程等。我们首先分析定解条件。程等。我们首先分析定解条件

4、。1 1 初值问题：初值问题：非稳态问题需给出初始时刻值：非稳态问题需给出初始时刻值：2 2 边值问题（边界值）：边值问题（边界值）： 固体壁面无渗透、无滑移边界条件贴近固体壁面处一层流体的速固体壁面无渗透、无滑移边界条件贴近固体壁面处一层流体的速度与固体壁面保持相对静止：度与固体壁面保持相对静止：zyx,0zyxtvzyxtvwwt,：固体壁面的切线速度。：固体壁面的切线速度。在与固体边壁垂直方向上，流体不能穿透而进入固体之内，即：在与固体边壁垂直方向上，流体不能穿透而进入固体之内，即： 对称边值条件。对称边值条件。对称面：物理量在对称面上的变化率为零。对称面：物理量在对称面上的变化率为零。

5、wv0wnzyxtv,如：管道流中坐标选在管道中心线上时：如：管道流中坐标选在管道中心线上时：00rr出入口边值条件。出入口边值条件。入口：入口： （给定）（给定）出口：已知或单方向无影响。出口：已知或单方向无影响。zyxtzyxtin,04.3 流动问题求解方法数值法，近似逼值确解解析法，积分变换求精初值条件边值条件控制方程4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解1.1.两平行平板间的等温层流流动（两平行平板间的等温层流流动（P68P68）两无限大平板，其一静止，其二以两无限大平板，其一静止，其二以 速度匀速运动，流体为等温、速度匀速运动，流体为等温、不可压层流流动不可压层流流动( ( = =

6、常数常数) )求稳定后的速度场分布。求稳定后的速度场分布。定解问题：实际流体定解问题：实际流体两平面无限大两平面无限大稳定态稳定态0v连续性方程连续性方程 ：运动方程运动方程X X方向：方向：Y Y方向：方向：边值条件：边值条件：xvx+yvy=022221xxxxxyvvvvpvvxyxxy 22yyyyy221xvvvvpvvgxyyxy 0000,0,0 xyyyxyy hy hvvvvv定解问题简化定解问题简化平板无限大，不同平板无限大，不同x x处任意截面上速度分处任意截面上速度分 布相同布相同220 xxvvxxxxvdvydy据连续性方程：据连续性方程：0yvy设：设： 代入边值

7、：代入边值： yvfx 000yyyyy hvf xv0yv 变动量方程为：变动量方程为：X X方向：方向： Y Y方向：方向：2210 xvpxy 1 pgy 简化后的方程为：简化后的方程为：则得：则得：由边界条件：（由边界条件：（y=0y=0时，时，y=hy=h时）时） ， 代入得：代入得：2121xd vpCxdy212xCvyDyB0B 012vpDhhx20012xvyhp yyvhvx hh讨论：讨论： 无压力下流动无压力下流动 ，速度分布为一直线，速度分布为一直线 ，压力梯度使流体加速，压力梯度使流体加速，00 xvdPydxvh0Pddx10yh第二项为正，第二项为正， 增大，

8、向前突出增大，向前突出xv ，压力梯度使流动减速，可能有部分返流。，压力梯度使流动减速，可能有部分返流。0Pddx圆管内的层流流动（圆管内的层流流动（P71P71）不可压流体，在长为不可压流体，在长为L L，半径为，半径为R R的圆管内做充分发展的稳态层流，的圆管内做充分发展的稳态层流，求管内速度分布及沿程阻力。求管内速度分布及沿程阻力。定解问题：定解问题： 圆管中心对称圆管中心对称 二维问题二维问题连续方程：连续方程：动量方程动量方程：10zrvrvrrzX X方向：方向：Y Y方向：方向：边值条件：边值条件：2211 rrrrzrvvvpvvrvrzrr rrz2211 zzzzrzzvv

9、vvpvvgrrzzrrrz00,0zzr Rrvvr00,0rrr Rrvvr问题简化：设问题简化：设L L为足够长为足够长无限长，流动达到稳态后速度分无限长，流动达到稳态后速度分布与布与z z无关无关0zvz220zvz0rvr r方向：方向：z z方向：方向：10pr110 zzvpgrzrrr11 zzvdpgrdzrrr1zzdpvgrdzrrr0LdpppdzL1zdpgCdz11()zvCrrrr1 zCdvrrrdr212zCdvrrAdr记：记： ，（3）简化后方程的解：）简化后方程的解：由上式由上式 积分一次得：积分一次得：r=0r=0时，时， 00zdvAdr12zCdv

10、rdr再积分再积分214zCrvBr=Rr=R时，时， =0 ,=0 ,将将 替换替换zv214CBR1zdpCgdz1C0224LzzppgLvrR220214LzzppRrvgLR讨论讨论水平管道：水平管道：gzgz=0,=0,水平管内最大速度：水平管内最大速度：r=0r=0时：时： max=max=截面的平均速度：截面的平均速度： 220214LzppRrvLR204LppRL2020112max82RLzzzppRvvrdrvRL水平管内阻力：水平管内阻力：摩擦阻力损失摩擦阻力损失: : 则：则：摩擦阻力系数：摩擦阻力系数0Lhpp22286422RezzzLvLvLvhRdd2503

11、164064.Re.Re光滑管湍流光滑管流层4.5 湍流湍流脉动及其时均化湍流脉动及其时均化流体在做湍流运动时，流体质点在运动中不断混掺，因此，诸如：速流体在做湍流运动时，流体质点在运动中不断混掺，因此，诸如：速度、压力等物理量都不断随时间而变化，发生不规则的脉动现象。度、压力等物理量都不断随时间而变化，发生不规则的脉动现象。以速度为例，我们按图所示，以速度为例，我们按图所示，可做如下处理：可做如下处理：式中：式中： 为某时刻实际速度为某时刻实际速度 为时均速度为时均速度 为瞬态脉动速度为瞬态脉动速度zzzuuuzuzuzu则：则： 而：而： =0=0同样有：同样有： 01tzzuut dtt

12、 01tzzuut dttPPP湍流连续性方程湍流连续性方程湍流流体仍满足连续性方程：湍流流体仍满足连续性方程：0ut如对方程做时均化可得：如对方程做时均化可得：对于不可压流体：对于不可压流体： 上式说明，不可压湍流体的时均速度仍满足连续性方程。上式说明，不可压湍流体的时均速度仍满足连续性方程。3 3湍流流动的运动方程湍流流动的运动方程湍流流动仍满足实际流体的运动方程，但同样，我们把握不住规律性。湍流流动仍满足实际流体的运动方程，但同样，我们把握不住规律性。对于不可压缩流体：对于不可压缩流体：N NS S方程（以方程（以X X方向为例）取时均：方向为例）取时均：0iiiiuutx0u0yxzu

13、uuxyz2222222xxxxxxxxyzyxxzxvvvvpvvvvvvtxyzxxyzv vvv vxyz 后三项可写为：后三项可写为：对照对流动量通量对照对流动量通量 , ,可以认为可以认为 是由于流体脉动所附加的动量通量，是由于流体脉动所附加的动量通量，定义其为雷诺应力，并据此假设（仿粘性力定义）：定义其为雷诺应力，并据此假设（仿粘性力定义）： ：湍流粘性系数：湍流粘性系数则可引入有粘度系数：则可引入有粘度系数： ，并有，并有N NS S方程：方程：xjjxjxxjv vuuxj iijijtjvvvxtefftxxxxxyzvvvvvvvtxyz222222xxzeffpvvvxx

14、yz ltdvpgdt 4.4.普朗特混合长度模型普朗特混合长度模型据分子运动论，气体分子杂乱无章的运动会产生粘性：据分子运动论，气体分子杂乱无章的运动会产生粘性：L L：分子运动平均自由程，：分子运动平均自由程， ：分子运动平均速度：分子运动平均速度普朗特据此提出，湍流粘性是由于杂乱无章的微团运动引起，形式上普朗特据此提出，湍流粘性是由于杂乱无章的微团运动引起，形式上有：有：普朗特混合长度，：普朗特混合长度， ：微团脉动速度：微团脉动速度进一步假设：进一步假设： 则，则，13LvvtmtL vmLtvitmjvvLx2itmjvLx如何求？经验式如何求？经验式mL5.5.光滑管中湍流光滑管中

15、湍流层流底层的流动层流底层的流动 由于厚度很小，假设速度分布为线性：由于厚度很小，假设速度分布为线性：sdvdy则：则：svy定义摩擦速度：定义摩擦速度： 则，速度分布方程为：则，速度分布方程为： 引入无量纲速度和距离：引入无量纲速度和距离： ； ，则有：，则有： 实验测定结果：实验测定结果： 为层流底层。为层流底层。svvv yvvvvv yyvy5y湍流中心速度分布：湍流中心速度分布： 设：设： 雷诺应力雷诺应力 ：距壁面距离，：距壁面距离， ：常数：常数ttsLl kym常量：yk则：则：22tdvldy222tsdvk ydy则：据则：据 定义：定义： 积分得：积分得：进一步令：进一步

16、令： （将（将 变成变成 ）得：得：尼古拉兹结论：尼古拉兹结论： ，此时，此时， 。如：如： ，则：，则：vsvdvvkydy1lnvyCvk1lnCCkvyy1lnvvyCvk2.5ln5.5vy30y530y11 632 55 5. ln.vyyvy层流6311.y湍流6311.y4.6 可压缩流体流动流动过程密度变化对运动的影响不可忽略。本节内容主要讲述气流动过程密度变化对运动的影响不可忽略。本节内容主要讲述气体一维稳态等熵（可逆绝热过程）流动。体一维稳态等熵（可逆绝热过程）流动。用途：喷枪，喷嘴设计用途：喷枪，喷嘴设计1 1一维等熵流动的运动方程一维等熵流动的运动方程 如过程阻力不计，

17、如过程阻力不计， 据：据： ， 是是 质量体积质量体积 则：则： 积分得：积分得：10pp212vddpd10gdzdpvdv10,dz0dpvdv11vpvpvdvdp 流股与介质换热不考虑，则视该过程为绝热过程：流股与介质换热不考虑，则视该过程为绝热过程： ， ：气体绝热指数：气体绝热指数 ，空气的，空气的 将其代入积分式可得：将其代入积分式可得： 当当 时，由连续性方程，时，由连续性方程， 说明：说明： 减小，减小， 变大，直到变大，直到 止。止。1 1ppPVCC1.4k 1211 11211pvvpp1AA10v 11 11211pvpppv0pp2 2一维稳态等熵流动的基本特性一维

18、稳态等熵流动的基本特性 由连续性方程：由连续性方程： 为截面面积。为截面面积。 将速度式及代入上式：将速度式及代入上式： 1 11xxxGAvA vxxxGAvA111xxpp21111121xxxGAppppp分母极大时，分母极大时， 有极小，以有极小，以 为自变量求导可得，分母有极大为自变量求导可得，分母有极大值的条件是：值的条件是： 此状态用下标此状态用下标C C表示，并据此定义临界界面和临界压力：表示，并据此定义临界界面和临界压力： ： 将上式代入速度式：将上式代入速度式： 临界速度临界速度xA1xpp1121xpp,ccP A1121cpp21112211cvpRTu v ccccvpRT 相等说明压缩气体流出时临界速度为该条件下音速。相等说明压缩气体流出时临界速度为该条件下音速。 可压缩性气体流出特点：可压缩性气体流出特点： 流出后流出后 为止为止 流出气体流股截面有极小值流出气体流股截面有极小值临界截面，对于空气临界截面，对于空气 ， 此时气体速度达到音速此时气体速度达到音速 产生音速流速条件，原始气体压力等于或超过外部介质压力两产生音速流速条件，原始气体压力等于或超过外部介质压力两倍以上（空气）。倍以上（空气）。M287RJ kg K空气spvpRT ,csv v0,PvP1.4k 1112112ccPPPP11ppddpvs另据音