张立钧-DC-DC变换器Jacobian矩阵的改进求解方法

1、学校代码： 10184学 号： 2084020394 延 边 大 学本 科 毕 业 论 文 题 目：DC-DC 变换器 Jacobian 矩阵的改进求解方法学生姓名：张立钧学 院：工学院专 业：电子信息工程年 级：2008级指导教师：徐红梅 讲师二一二年六月延边大学本科毕业论文摘 要开关功率变换器是现代电力电子系统的核心环节，其运行状态直接关乎整个电力电子系统的工作性能。由于器件的非线性和开关的切换作用，反馈控制的开关变换器表现为一类强非线性、时变系统，运行中会产生各种非线性现象，如倍周期分岔、边界碰撞分岔、混沌等，使得系统难以按期望的要求工作。本文从分段线性角度提出了 PWM 控制 DC-D

2、C 变换器雅克比( Jacobian )矩阵的改进求解方法，推导出了具有更好通用性的 Jacobian 矩阵数学表达式。现有DC-DC 变换器系统 Jacobian 矩阵的求解主要是基于数据采样法实现，求解过程复杂，其结果通用性不强，不利于解析分析。为此利用微扰思想推导出了单开关 PWM 控制 DC-DC 变换器系统 Jacobian 矩阵的较为通用的数学表达式，并推导出了三个相关的快标行为稳定性结论，结合典型的 PWM 控制 DC-DC 变换器的快标行为稳定性分析，验证了所提方法的有效性。关键词：开关功率变换器； Jacobian 矩阵；微扰；稳定性AbstractSwitching Pow

3、er Converters are the core parts of the modern power electronic systems, its operating status directly relates to the performance of the entire power electronic system. Because of the nonlinear of the converters and the switching effect, feedback-control converters manifest a class of strongly non-l

4、inear time-varying system, during its operating, it will produce a variety of nonlinear phenomena, like period-doubling bifurcation, border collision bifurcation, Chaos, etc. Make the system difficult to work according to our expectation.According to the common piecewise-linear characteristic of PWM

5、 control DC-DC converter system, an improved solution to its Jacobian matrix is put forward to obtain its general expression. In the existing literatures, the Jacobian-matrix expression usually derived with the data-sampled method is not adaptable to analytical analysis and not applicable in most of

6、 DC-DC converters. Based on linear perturbation method, the general expression of the Jacobian matrix of a single-switch PWM control DC-DC converter system is derived and based on the derived expression three concerning stability conclusions about fast-scale behavior are given. The validity of the p

7、roposed method is confirmed by applying the conclusions to two typical PWM control DC-DC converters.Key words: Switching Power Converters; Jacobian -matrix; Perturbation; StabilityIII延边大学本科毕业论文目 录摘 要IAbstractII引 言1第一章 绪论21.1课题的研究背景与意义21.2国内外的研究现状21.3主要研究内容3第二章 DC-DC 变换器 Jacobian 矩阵的改进求解方法52.1 基于数据采样

8、法的 Jacobian 矩阵求解52.2 Jacobian 矩阵的改进求解方法8第三章 基于 Jacobian 矩阵通用表达式的稳定性结论123.1 倍周期分岔点方程组123.2 系统稳定性的必要条件133.3 基于 Jacobian 矩阵的 Lyapunov 指数谱13第四章 DC-DC变换器仿真结果分析154.1 比例控制电压模式 Buck 变换器仿真结果分析154.1.1 计算结果分析154.1.2 仿真结果分析214.2 峰值电流模式 Boost 变换器仿真结果分析224.2.1 计算结果分析224.2.2 仿真结果分析28结 论30参考文献31谢 辞32 引 言 Jacobian 矩

9、阵分析法是分析系统非线性动态比较有效的方式，目前 DC-DC 变换器 Jacobian 矩阵求解主要是基于数据采样建模法得到，求解中对每个变换器系统都要进行单独计算，数学处理麻烦，其结论通用性不强，不利于解析分析。为此，本文将选择典型 PWM 控制 DC-DC 变换器为研究对象，提出其 Jacobian 矩阵的改进求解方法，推导出具有更好通用性的 Jacobian 矩阵数学表达式。由此进一步给出相关的快标行为稳定性结论，结合电压模式 Buck 变换器为例进行验证分析。便于说明改进求解法的优点。本文将先给出 DC-DC 变换器快标行为的数学模型描述及传统的基于数据采样法的 Jacobian 矩阵

10、求解思路，之后利用微扰思想推导出单开关 PWM 控制 DC-DC 变换器系统 Jacobian 矩阵的较为通用的数学表达式，并推导出了三个相关的快标行为稳定性结论。最后通过实例来验证所提方法的有效性。33- 第一章 绪论1.1课题的研究背景与意义开关功率变换器是现代电力电子系统的核心环节，是电子电路中不可或缺的重要模块，小到数码产品，大到通信电源系统中，都可以发现它的身影。由于器件的非线性和开关的切换作用，反馈控制的开关变换器表现为一类强非线性、时变系统，运行中会产生各种非线性现象，如倍周期分岔、边界碰撞分岔、混沌等。为此，上世纪90 年代开始，国、内外学者就开始广泛开展了开关功率变换器非线性

11、行为分析与控制的研究。现有研究表明，工作在混沌态下的变换器是有意义的，可以利用混沌广谱性来降低开关功率变换器的EMI1,10-11, 也可以采取混沌调制方式来改善变换器的 EMC2-5,12, 此外利用混沌吸引子中不稳定周期轨道(UPO)之间快速切换可能会提高变换器的动态响应13等。因此，从变换器工作性能优化角度而言，期望开关变换器系统状态能达到两种可能性控制。即当开关变换器的混沌行为恶化了系统的主要性能指标时，期望能稳定系统到稳定态运行，DC-DC 变换器期望的稳定态就是单周期态。反之，当需要利用变换器的混沌特性或非线性特性来改善系统某些工作性能时，则期望变换器能有意的工作在混沌态或多周期态

12、。变换器的混沌控制是实现上述可能性的前提，而非线性认识则是实现混沌控制的基础。由此也认识到进一步深入研究开关变换器非线性分析与控制所具备的必要性和深远意义。1.2国内外的研究现状开关变换器非线性特性的认识是实现其有效控制的基础。目前，DC-DC 变换器非线性行为研究已形成了比较统一的建模和分析体系。PWM 控制 DC-DC 变换器属于一类典型右侧不连续分段线性系统，此类系统的稳定性问题广受关注，其运行中普遍存在复杂非线性行为，如倍周期分岔、混沌等。系统表现出的非线性行为有两个方面，一就是高频非线性行为，也称之快标非线性行为，二是低频(慢标)非线性行为14。典型纹波级非线性行为，如倍周期分岔、混

13、沌等其工作状态的周期为开关周期的整数倍，属于高频行为。慢标非线性行为主要表现为低频振荡，也称霍夫分岔(Hopf bifurcation)。低频行为可以通过平均模型来描述，稳定时表现为平衡点，不稳定时多为低频振荡情形，但平均模型丢失了开关频率级的快标行为信息，因此不能利用其来进行系统快标行为的稳定性分析。本文关注的是快标非线性行为的分析与控制，其中纹波级倍周期分岔和混沌行为是常见的非线性行为类型，也是研究者关注的重点。目前，有关 DC-DC 变换器快标行为的建模方法主要是数据采样法(频闪映射法)15，相应比较有效的稳定性分析方法主要有雅可比( Jacobian )矩阵特征值法和李雅谱诺夫( Ly

14、apunov )指数法。数据采样建模法是一类时域建模方式，思路清晰且易于操作，尽管等效小参量法6也能描述 DC-DC 变换器的快标行为，但它是时频混合方式，计算相对要复杂。另外，受学者关注的 DC-DC 变换器快标非线性行为还有边界碰撞分岔，它是开关变换器系统特有的分岔行为，符号序列法是分析此类行为比较有效的方式16。采用数据采样建模法可以求得 DC-DC 变换器系统的 Jacobian 矩阵，观察 Jacobian 矩阵特征值可确定出系统分岔类型和分岔边界，而能描述系统混沌边界的 Lyapunov 指数谱同样可以由 Jacobian 矩阵特征值计算得到。因此 DC-DC 变换器系统快标行为稳

15、定性分析可以统一到系统 Jacobian 矩阵的求解问题上。现有文献关于 DC-DC 变换器 Jacobian 矩阵求解的主要思路17是：基于数据采样建模法，构建出 DC-DC 变换器的非线性离散映射模型，线性化处理后得到系统的 Jacobian 矩阵。采用这种方式得到的 Jacobian 矩阵数学表达式数值计算偏多，不利于解析分析，而且变换器的拓扑或控制方式不同时需重新进行大量数学计算，其结果通用性不强。为此，本文将开展 DC-DC 变换器 Jacobian 矩阵的改进求解方法研究，推导出具有较好通用性的 Jacobian 矩阵表达式，为不同 DC-DC 变换器系统提供比较统一的快标行为稳定

16、性分析思路。1.3主要研究内容目前 DC-DC变换器 Jacobian 矩阵的求解存在数学处理麻烦，结论通用性不强且不利于解析分析的问题。为此，本文将从分段线性系统角度开展 DC-DC 变换器 Jacobian 矩阵改进求解方法的研究，推导出具有更好通用性的 Jacobian 矩阵表达式，以简化求解计算，为不同 DC-DC 变换器提供比较统一的快标行为稳定性分析思路。具体的研究内容包括：首先对当先Jacobian矩阵的求解方法进行了推算，推导出了比较常用的Jacobian矩阵，之后利用微扰思想，提出了DC-DC变换器Jacobian的改进求解方法，经过进一步演算，推导出了改进后的Jacobia

17、n矩阵，同时根据所得结论，总结出三个快标稳定性结论，最后对Buck变换器和Boost变换器进行了仿真分析，验证了所提方法的有效性。第二章 DC-DC 变换器 Jacobian 矩阵的改进求解方法2.1 基于数据采样法的 Jacobian 矩阵求解任一 PWM 控制 DC-DC 变换器，开关的切换作用会使系统在一个开关周期内表现为多个不同线性电路结构。图 2.1 为典型的二阶 Buck 变换器系统，考虑该变换器工作在连续导电模式(CCM)下)可以表示为， (2-1)其中，x 为系统状态向量(电感电流和电容电压)，x=x1,x2T=iL,uCT；u 是取值为0或1的开关控制量；vr 为外加时钟周期

18、信号，这里是锯齿波vramp ；s(x,vr)=k1(Vref-x2)-vramp ，表示由反馈状态变量和时钟周期信号构成的控制切换函数。图 2.1 电压模式 Buck 变换器原理图考虑到 vr 为关于时间的函数，可以定义超平面：h(x,t)=s(x,vr(t)=0，该切换面将状态相空间，系统在每个子空间内可用一个线性状态方程表示，即可表示为， (2-2)其中，Vs 为输入电压；A1、A2、B1和B2 分别对应于开关通断状态下两个线性系统的状态和输入矩阵，由系统中电路参数决定。同样，记第n 个开关周期对应的开关占空比为 dn ，则系统在该第n 个开关周期内两个子状态(开通状态S1和关断状态S2

19、状态)可以描述为， (2-3)对于Buck变换器，有A1=A2=0,-1/L;1/C,-1/(RC)，B1=1/L;0，B2=0。 PWM 控制 DC-DC 变换器的系统行为表现为与开关周T 有关的周期特性，可以利用庞加莱( Poincare )截面来处理此类周期性系统。在相空间合理选取一适当截面(即Poincare截面)，利用相空间连续轨线穿越截面的交点(截点)之间形成的离散映射，把 n 阶连续系统的流降为 n-1 阶的离散系统。若 Poincare 截面上的截点为系统状态方程的解在开关周期T 整数倍时刻采样，此时就是频闪映射( stroboscopic map)18。图 2.2 为频闪映射

20、示意图，其中xn=x(nT),xn+1=x(n+1)T),.,h(x,t)=0为开关切换超平面，当状态轨迹达到切面上时，开关状态出现切换。图 2.2 频闪映射示意图建立频闪映射中的某个开关周期相邻状态的数学关系，如xn+1 和xn ，就得到了系统迭代映射模型。图 2.3 为 DC-DC 变换器在第 n 个开关周期内的状态运行轨迹。状态从xn 出发，tdn 时刻达到切换面h(x,t)=0。若记开关的占空比为dn ，则不妨定义xdn=x(tdn)=x(dnT+nT)。由式(2.3)可知，系统的状态轨迹(方程的解)可表示为， (2-4)其中，。图 2.3 DC-DC 变换器第 n 个开关周期状态轨迹

21、结合图 2.3，有 (2-5) (2-6)将(2-5)代入(2-6)，得到离散映射方程如下， (2-7)上式就是 DC-DC 变换器的功率级(主电路)离散映射模型。同时控制切换面方程满足， (2-8)上式为由控制环节决定的控制映射方程，其中s1和s2为相应控制切换函数。联立功率级和控制级映射方程(2-7)和(2-8)，反馈控制DC-DC变换器系统(2-1)可以等价于如下离散系统， (2-9)非线性离散模型(2-9)保留了快标行为信息，可以利用其来分析系统快标行为特性。若映射模型(2-9)系统稳定，其平衡点记为xn=xn+1=XQ，D=dn，则有， (2-10)上述方程中含有指数形式项，属于超越

22、方程，可以用数值方法来求取相应的平衡点(对应系统的单周期解)。若稳定态(单周期态)占空比 D 近似取为稳态(平均值)的占空比，则可以得到其占空比的解析形式解。在平衡点附近做小信号扰动，记利用泰勒公式的一阶近似可得到线性化模型， (2-11)其中，J为离散非线性系统(2-9)的雅克比( Jacobian )矩阵，其表达式为， (2-12)式(2-12)即为变换器系统对应的 Jacobian 矩阵表达式，上述求解过程是目前 DC-DC变换器快标行为稳定性分析的主要思路。表达式(2-12)求解有赖于系统的离散映射模型 g(xn,dn) 和切换控制函数 S2(xn,dn)，不同的变换器系统前述二者均不

23、同，都需进行大量计算，因此(2-12)的 Jacobian 矩阵表达式通用性不强。为此，从 PWM 控制 DC-DC 变换器的分段线性角度出发，下面将利用微扰思想推导出具有更好通用性的 Jacobian 矩阵表达式。2.2 Jacobian 矩阵的改进求解方法依前面所述，工作在 CCM 下单开关 PWM 控制 DC-DC 变换器系统可以用式(2-2) 来描述。当系统状态轨迹通过开关切换面h(x,t)=0时，系统将由一个线性结构过渡到另一个线性结构中，表现为一类典型分段线性系统。开关变换器第n开关周期T 内状态运行轨迹如图2.4所示。下面利用微扰思路来求取具有更好通用性的系统 Jacobian

24、矩阵数学表达式。假设图 2.3中稳定状态轨迹的初始状态xn出现微小的扰动偏离xn，那么系统扰动状态轨迹如图 2.4中虚线所示。图中实线为系统稳定时的运行轨迹，若此时稳定占空比为D，则有tdn=nT+DT。记扰动轨迹在tdn时刻(不妨认为比tdn小)达到切换面h(x,t)=0，各时刻扰动状态量与稳定量之间的偏差定义如下， (2-13)如此，系统的 Jacobian 矩阵可通过下式求得， (2-14)利用泰勒公式一阶近似公式，有如下结果， (2-15) (2-16)其中，XD为稳定态切换时刻值。图 2.4 第 n 个开关周期内 PWM 控制 DC-DC 变换器系统状态运行轨迹各个向量的关系也可以从

25、图3.1观测得到，结合图有， (2-17)同时在切换面上满足关系， (2-18)同样利用泰勒公式一阶近似有， (2-19)其中，由式(2-19)得， (2-20)将上式代入(2-16)得， (2-21)当t<tdn,即h(x,t)>0区间，系统表现为线性子系统x=f_(x)=A1x+B1VS，由式(2-4)有， (2-22)同理，也有 (2-23)由式(2-14)的 Jacobian 矩阵定义，可得 (2-24)其中，I为单位矩阵。结果(2-24)与(2-12)是数学意义一致的，均表示了线性化模型的 Jacobian 矩阵，而式(2-24)是关于PWM控制DC-DC变换器更为一般性

26、的结果，所得 Jacobian 矩阵表达式直接与系统的系数矩阵、切换面方程和稳定态平衡点有关系，不仅计算要方便，而且也有利于解析分析工作开展。结论(2-24)基本适用于线性控制单开关DC-DC变换器系统，而求解思路对大部分DC-DC变换器系统通用。因此，利用改进求解法得到的 Jacobian 矩阵表达式具有比较好的通用性。另外，若要进行 Jacobian 矩阵计算，还需要确定出稳定态值XD=x(DT)，即需要求解系统的稳定单周期解D和xn=xn+1=XQ。系统稳定运行时，依据式(2-10)，平衡点(系统单周期解)可联立下面的方程组得到。 (2-25)第三章 基于 Jacobian 矩阵通用表达

27、式的稳定性结论前面得到的 Jacobian 矩阵是包含快标行为信息映射模型的线性化结果，可以用来识别系统快标分岔行为。通过表达式(2-24)，可以进一步推导出三个稳定性结论：3.1部分的结论1是利用倍周期分岔的边界特性(特征值为-1)得到的倍周期分岔点方程组；3.2中的结论2给出了系统快标行为稳定性的必要条件；3.3中的结论3是基于 Jacobian 矩阵特征值的系统Lyapunov指数谱求解表达式。3.1 倍周期分岔点方程组开关切换面存在使 Jacobian 矩阵式表达式(2-24)中间增加了S部分，S不妨称之为切换面矩阵。由分岔理论和线性系统理论可知9,20-21，特征值与系统分岔类型的关

28、系结论可描述为：当所有i全部位于单位圆内时候，系统稳定(单周期态)；当存在i=-1时，系统发生倍周期分岔；当存在i=1时，系统发生鞍结分岔；当i中存在一对共扼复根穿越单位圆时，系统发生Hopf分岔(低频振荡)。倍周期分岔是快标行为的主要表现形式，下面就基于 Jacobian 矩阵式(2-24)给出有关倍周期分岔点求解方程组。不妨记为J特征值，即 (3-1)对(2-24)结果代入上式，处理后有， (3-2)其中一般而言，不会是J2J1的特征值，即满足detI-J2J10,则由式(3-2)可得， (3-3)若系统发生了倍周期分岔，此时=-1，不妨假设-1不是J2J1的特征值，则有， (3-4)公式

29、(3-4)包含系统一周期到二周期的临界值，即该式同时满足系统一周期解和二周期解特性。联立(3-4)和一周期方程(2-13)，则系统的分叉点(发生倍周期的分岔参数值)可以通过数值方式求得。方程(3-4)和(2-13)可以看做倍周期分岔点方程组。3.2 系统稳定性的必要条件变换器系统是稳定的(单周期态)，那么 Jacobian 矩阵的特征值必须全部位于单位圆内，特征的模均小于1，而det(J)是所有特征值的乘积，因此有， (3-5)整理后有， (3-6)一般而言，开关周期T比较小，因此上式等价位， (3-7)式(3-7)为DC-DC变换器系统处于单周期稳定的必要而非充分条件，因此即使 Jacobi

30、an 矩阵中某个特征值落在单位圆外，而另一个很小，那么二者乘积同样可能小于1。3.3 基于 Jacobian 矩阵的 Lyapunov 指数谱依据前面的 Jacobian 矩阵(2-24)，n维变换器系统的Lyapunov指数可以表示为， (3-8)式中，i，i=1,2,.,n,为对应的n个Lyapunov指数；j为迭代的周期数，理论要求迭代足够长时间；xi，i=1,2,.,j-1，为每个周期的初始值。通过观察最大Lyapunov指数就可以界定出系统的稳定性，包括分叉和混沌，当Lyapunov指数为正，表明系统处于混沌态。第四章 DC-DC变换器仿真结果分析4.1 比例控制电压模式 Buck

31、变换器仿真结果分析4.1.1 计算结果分析 Jacobian 矩阵表达式对于如图2.1所示的P控制电压模式Buck变换器，定义状态空间向量x=x1,x2T=iL,uCT，则，A1=A2=A=0,1/L；1/C,1/(RC )；B1=1/L；0，B2=0。切换面方程为，因此，有此外有，所以，同时，有，因此，P控制电压模式Buck变换器 Jacobian 矩阵为， (4-1)计算系统 Jacobian 矩阵之前，首先要确定出系统稳定后的单周期解D、XQ和XD，求解可以采用下述两种思路。思路一：利用式(2-25)进行数值计算，代入P控制电压模式Buck变换器的有关参量，有， (4-2)整理得方程组如

32、下， (4-3)其中，D是变换器稳定单周期态的占空比。式(4-3)中的方程组为超越方程，需要通过数值计算方法来求解。思路二：利用变换器稳态时的参量关系先求解占空比D，再求状态变量解。稳态时，Buck变换器输入和输出之间的关系满足， (4-4)同时，可以认为开关切换时刻满足， (4-5)联立(4-4)和(4-5)，得到近似的稳定态占空比D为， (4-6)将(4-6)代入(4-3)前两个式子，则可以简便地求出稳定态单周期解。上面结果是将开关切换时刻的输出电压值用其输出平均值来代替，不妨假定系统稳定时，输出电压的最小值为Vmin，那么输出电压的平均值为， (4-7)由于电压纹波本身很小，如果占空比接

33、近0.5，那么系统稳定时，上述近似是成立。对比两种思路，显然后者近似计算要简单些。 Jacobian 矩阵的特征值轨迹P控制电压模式Buck变换器系统参数选择如表4.1所示。 表4.1系统参数参考电压变量名参数取值输入电压20V35V参考电压 11.3V电感 20mF电容 电阻 开关周期 锯齿波信号 3.8+(8.2-3.8)mod(t/T,1)V反馈增益 8.4不妨选择输入电压Vs为分岔参数。利用式(4-1)和(4-3)来计算系统 Jacobian 矩阵 J。图4.1为输入电压Vs从22V变化到28V时，J的特征值变化轨迹。由图可看出，当Vs大约为24.5V时，J的一个特征值为1，系统发生倍

34、周期分岔而出现不稳定，该结果与已有文献22结论一致。此时系统稳定性结果是：Vs小于24.5V时，系统为单周期态稳定；Vs约等于24.5V时，系统为发生倍周期分岔；Vs大于24.5V后，系统为逐渐由多周期态进入混沌态。 图 4.1 Jacobian 矩阵 J 的特征值轨迹分岔点方程组前面研究结果表明，以输入电压Vs作为分岔点时，电压模式Buck变换器经倍周期分岔而进入混沌态。因此，当系统发生倍周期分岔，式(4-4)成立，代入具体物理参量后有， (4-8)其中，db为发生倍周期分岔时刻的占空比，Xdb为倍周期分岔时刻的状态变量值。因此有，整理后得临界二周期解(倍周期分岔解)为， (4-9)上式是临

35、界二周期态时输入电压(分岔参数)与占空比之间的关系式，此时输入电压与占空比也满足单周期特性(4-1)，且切换时刻满足， (4-10)整理后有， (4-11)在倍周期分岔点时，显然有Vs1=Vs2，联立(4-9)和(4-11)可以求出输入电压分岔点 Vsb，式(4-9)和(4-11)也可以看成是系统的分岔点方程组。求解上，也可以近似处理， (4-12)即，有 (4-13)一般而言，系统采用P控制时，放大系数k1取得较大时，上式也可以等价为， (4-14)观察分岔点方程组(4-9)和(4-13)可得定性的结论如下：1) m=(Vh-Vl)/T，调节 Vh和Vl差值，Vs2变化不大，而 Vs1增加了

36、，系统分岔点增大，输入电压的稳定范围变宽。2) 增大k1，Vs2变化不大，而Vs1变小，分岔点变小，系统输入电压稳定范围变窄。3) 调节电路参数R、L 和C，Vs2变化不大，对Vs1影响结论不容易直接看出，可基于数值计算结果进行判断。图4.2为方程(4-9)和(4-11)对应的两条曲线，其交点就是对应分岔点Vs=24.5与前面利用 Jacobian 矩阵计算结论(见图4.2 )一致。图4.2 分岔点曲线若仅需确定出系统的参数稳定边界，应用倍周期分岔点方程比直接求 Jacobian 矩阵特征值要方便，因为不需要求解稳态单周期解。 Lyapunov 指数谱依据式(3-8)，P控制电压模式Buck变

37、换器的最大Lyapunov指数谱(LLE)如图4.3 所示。大概在Vs=24.5V时，出现第一次分岔；当Vs=30.5V时，系统发生第二次分岔；而当Vs>31.5V后，系统的最大Lyapunov指数大于0，系统进入混沌态。上述结论与前面其它方式得到的结果一致。Lyapunov指数谱的优点也在于能全局性描述系统的分岔和混沌演化过程。 图4.3 电压模式Buck变换器的最大Lyapunov指数谱双分岔参数时的特征值轨迹和分岔边界在输入电压Vs这个分岔参数的基础上，考虑增加控制参数k1为另一个分岔参数。图4.3为输入电压Vs=22V35V，而控制参数k1=210时，对应 Jacobian 矩阵

38、特征值最大模 max 的曲面轨迹，其中 max=max(i)，i=1,2。当 max小于1(图示稳定边界面以下)，系统处于稳定态，而且特征值模越小，系统动态响应越好。图中，最大模max曲面与单位 1 稳定边界面的交线即为系统的稳定边界线，也就是倍周期分岔边界。当 k1=8.4，系统处于临界稳定时对应的输入电压约为24.5V，即对应于图中A点；当输入电压为34V时，处于临界稳定的k1约为4.5，即对应图中B点。图 4.4 max轨迹图 4.5 双分岔参数的分岔边界系统的稳定边界线也可以联立(4-9)和(4-11)得到，图4.5为相应的计算结果曲线，图中A、B点与图4.4中一一对应。综合来看，可以

39、通过评估系统特征值来优化选择参数，确保系统的稳定性和较好的动态性能。4.1.2 仿真结果分析本小节将通过电路仿真对前面理论及计算结果加以验证分析。图4.6为以输入电压 Vs为分岔参数时，Vs=20V35V 对应的全局分岔图，由图可以看出，系统在输入电压为2425V之间出现倍周期分岔，在31V32V之间进入混沌态，其结果与前面分析是一致的。系统参数选择以典型值k1=8.4进行观察。由图4.6可知：Vs=24V时，系统处于稳定单周期态；Vs=25V 时，系统处于二周期态；Vs=34V时，系统处于混沌态。图4.7分别给出了上述三种情形下的时域仿真波形，其结果与计算结果一致。 图4.6 以输入电压为分

40、岔参数的输出电压分岔图 (a) Vs=24V，稳定单周期态 (b) Vs=25V，二周期态(c) Vs=34V，混沌态 图4.7 不同输入电压时的电容电压和电感电流波形4.2 峰值电流模式 Boost 变换器仿真结果分析峰值电流控制Boost变换器是一类被广泛开展非线性行为研究的功率变换电路，本章将应用第四章的稳定性结论来分析其的快标行为稳定性。4.2.1 计算结果分析 Jacobian 矩阵表达式图4.8为典型峰值电流控制Boost变换器系统原理图，这里只考虑电流单环结构，定义状态空间向量，则有，图4.8峰值电流控制Boost变换器系统原理图。这里切换面方程为，因此，有，此外，有同时，有因此

41、，电流模式 Boost 变换器 Jacobian 矩阵为， (4-15) 特征值轨迹峰值电流控制Boost变换器系统参数选择如表4.2所示。表4.2系统参数参数名称变量名参数取值参考电流14A输入电压10V电感10Mh电容电阻开关周期1ms选择电感电流作为分岔参数，利用式4-15可计算出系统 Jacobian 矩阵J的特征值。图4.9为参考电流从1A变化到4A 时J的特征值变化轨迹。由图可以看出，当大约为1.7A时，J的一个特征值2为1，系统发生倍周期分岔而出现不稳定，该结果与已有研究结论7-8,19是一致的，也证实了前面得到的 Jacobian 矩阵表达式的正确。图4.9 Jacobian

42、矩阵J的特征值轨迹 分岔点方程前面研究结果说明，以参考电流作为分岔点时，峰值电流控制Boost变换器是经倍周期分岔进入混沌态。因此，当系统发生倍周期分岔，式(3-4)成立，代入具体物理参量后有， (4-16)其中和分别为倍周期分岔时对应占空比和切换时刻状态值，因此有，上式是临界二周期解，可以看出参考电流分岔点与占空比无关，利用数值计算可以得到发生倍周期分岔时的占空比。同时切换时刻满足, (4-17)整理后有， (4-18)将前面求出的分岔时刻占空比代入(4-17)，即可得到此时分岔点。观察分岔点方程组(4-17)和(4-18)，大致的结论有：由(4-16)可以看出，式中输入电压在分子和分母可以

43、对消，故发生倍周期分岔时系统的占空比与输入电压无关。在同样的占空比下，增大输入电压时，电感电流的峰值变大，则参考电流的分岔点也随之增大。图4.10为输入电压=1015V变化时，利用方程(4-16)和(4-18)得到的倍周期器分岔时占空比和参考电流分岔值两条曲线。由图可以看出，占空比与输入电压无关，而随输入电压增加而变大。图4.10 占空比和参考电流分岔值曲线 电流模式 Boost 变换器稳定的充要条件对于电流控制的Boost变换器而言，若系统时间常数远大于开关周期T时，此时不难发现有， (4-19)因此，系统的 Jacobian 矩阵可整理为， (4-20)若记 Jacobian 矩阵的特征值

44、为，i=1,2，则满足 (4-21)从上式不难发现，其中某个特征值约等于小于1，这是因为， (4-22)同时，依照变换器稳定性必要条件，即第四章结论2，有 (4-23)上式为系统两个特征值的乘积，由于系统存在，另外一个特征值决定了系统的稳定性，依前面论述，系统是经倍周期分岔进入混沌，因此另一个特征值一般小于0，且等于， (4-24)由于电流模式 Boost 变换器的特征值特殊性，容易知道，只要满足 (4-25)就可以确保系统的单周期态稳定，因此(4-25)就是系统稳定的充要条件。而对于峰值电流控制Boost变换器而言，m=0，因此有， (4-26)系统稳定的必要条件是， (4-27)上式就是峰

45、值电流控制的稳定性经典结论。显然采用峰值电流方式控制应用中存在占空比D受限的问题。如果(4-24)中的m不为零，那么条件(4-25)就可能成立，系统就能稳定在单周期态，避免了次谐波发生。比较直接的想法是，m取为小于零的数，由于m是切换面函数对时间的一阶导数，此时切换面函数就是包含了一项斜坡函数项，这也就是工程上用来抑制系统次谐波的经典斜坡补偿控制。如下是加了斜坡补偿后系统稳定性的充要条件。 (4-28)其中，和分别是电感电流的上升和下降斜率，为斜坡补偿函数的斜率。由此也不难得到一些启示：可以选择不同形式m，即在切换面函数增加不同函数项来稳定系统行为，比如抛物线项和正弦函数项等，这是开环的控制思

46、路；也可以考虑闭环反馈思路，如状态变量反馈引入来改变系统稳定的充要条件。系统参数按表4.2取值时，此时有，相应系统 Jacobian 矩阵的特征值轨迹如图4.11所示，可以看出存在一个略小于1 的特征值，与前面理论分析一致。图4.11 T为时，Jacobian 矩阵特征值轨迹此时另外一个特征值就是式(4-28)对应的。相应参考电流的分岔点近似可以认为是，由于是落在单位圆内，因此只要保证也位于单位圆内即可保证系统的单周期态稳定。事实上，工程中开关周期一般都比较小，因此其稳定的充要条件(4-27)一般都是成立的。另外由前面的分析不难发现，若远大于开关周期T，只要是峰值电流控制模式，其特征值就具有前

47、面所提的特殊性，此时系统稳定的充要条件(4-28)就成立，该结论与具体电路拓扑形式无关。4.2.2 仿真结果分析开关周期取，其它参数选择与表4.2相同，图4.12给出了参考电流时对应的电感电流分岔图。可以看出，当 左右，系统出现分岔，当系统大于后进入混沌态，该结论与4.2.1部分Lyapunov指数谱计算结果是一致的。图4.13给出了不同参考电流对应的时域仿真波形，其结果与前面计算结果吻合，由此也证实了本章提出的 Jacobian 矩阵改进求解法有效和稳定性结论的正确。图4.12 以参考电流为分岔参数的电感电流分岔图 (a) =1.5A (b) =1.8A(c) =4A图 4.13不同输入电压

48、时的电感电流和电容电压波形结 论本文对DC-DC变换器 Jacobian 矩阵的常规求解方法进行了分析，发现了该种方法存在的不足之处，即计算量较大，计算过程复杂，不能广泛应用在DC-DC变换器快标行为稳定性分析之中。因此，在第三章通过微扰思想，改进了当前DC-DC变换器 Jacobian 矩阵的求解方法，推导出了单开关PWM控制DC-DC变换器系统较为通用的 Jacobian 矩阵数学表达式，其结果便于数学解析分析。同时，利用改进的 Jacobian 矩阵数学表达式，给出了三个相关的快标行为稳定性结论。最后通过两个实例，对比例控制电压模式Buck变换器与峰值电流模式Boost变换器的快标行为稳

49、定性进行了分析与仿真，验证了所提方法的有效。本文的研究成果是：从分段线性系统角度提出了DC-DC变换器的雅可比( Jacobian )矩阵的改进求解方法，简化了计算过程，有利于解析分析。此外，本章提出的改进求解思路是基于单切换面分段线性系统导出，所得结论具有一般性，稍加改进就可以应用到其它DC-DC变换器系统中。参考文献1 杨汝,张波.DC/DC buck 变换器时间延迟反馈混沌化控制J.物报,2007,56(7):37893795.2 高金峰,吴振军,赵坤.混沌调制技术降低 Buck 型变换器电磁技术水平的研究J.电工技术学报,2003,18(6):2327.3 李志忠,丘水生,张黎.混沌频率调制增强开关变换器 EMC 的研究J.电子学报,2005,33(11):19831987.4 李志忠,丘水生,陈艳峰.混沌映射抑制 DC-DC 变换器 EMI 水平的实验研究J.中国电机工程学报,2006,26(5):7681.5 李志忠,丘水生,陈艳峰.混沌调制对开关变换器