中考攻略专题9几何三大变换之对称探讨含答案

1、【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方

2、形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】ABCD【答案】B。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。故选B。例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的

3、是【 】A B C D【答案】A。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。故选A。例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】【答案】A。【考点】轴对称图形，中心对称图形。【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。故可

4、得选项A与其他图形的对称性不同。故选A。例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【 】【答案】C。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可： A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。故选C。例5. （2012福建三明8分）如图，已知ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（3，3），C（1，3）.画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）画出ABC关于原点O对称的A2B

5、2C2，并写出点A2的坐标.（4分）【答案】解：如图所示，A1（2，1）。如图所示，A2（2，1）。 【考点】轴对称和中心对称作图。【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。例6. （2012四川乐山9分）如图，在1010的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出ABC关于直线l对称的A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积【答案】解：（1）如图，A1B1C1 是ABC关于直线l的对称图形。（2）由图得四边形BB1C1C

6、是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4。S四边形BB1C1C。【考点】作图（轴对称变换）。【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分作BM直线l于点M，并延长到B1，使B1M=BM，同法得到A，C的对应点A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形。（2）由图得四边形BB1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可。例7. （2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 【答案】309087。【考点】镜面对称。【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是309087。例8. （2012福建

7、宁德4分）将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线裁剪，最后将图中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】A B C D【答案】B。【考点】剪纸问题【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项B中所示。故选B。例9. （2012福建龙岩12分）如图1，过ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再将BED和CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为ABC的边BC上的折合矩形 （1）若ABC的面积为6，则折

8、合矩形EFGH的面积为 ；（2）如图4，已知ABC，在图4中画出ABC的边BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为 【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形EFGH： （3）2a ； 。 【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。 【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为ABC的面积的一半， （2）按题意，作出图形即可。 （3）由如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a

9、。 根据勾股定理可得正方形EFGH的对角线长为。 例10.（2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形则下列下子方法不正确的是【 】说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)A黑(3，7)；白(5，3) B黑(4，7)；白(6，2)C黑(2，7)；白(5，3) D黑(3，7)；白(2，6)【答案】C。【考点】利用轴对称设计图案。【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋

10、也是轴对称图形；B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。故选C。练习题：1. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【 】ABCD2. （2012江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【 】 A B C D3. （2012贵州遵义4分）在44的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有

11、 种4.（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再如图挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【 】 A B C D5.（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形6. （2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼

12、成的各个四边形的两条对角线长的和7. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 8. （2012广东广州12分）如图，P的圆心为P（3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方（1）在图中作出P关于y轴对称的P根据作图直接写出P与直线MN的位置关系（2）若点N在（1）中的P上，求PN的长9. （2012湖南郴州6分）作图题：在方格纸中：画出ABC关于直线MN对称的A1B1C1二、线段、角的轴对称性：典型例题：例1

13、. （2012湖北恩施3分）如图，ABCD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分BEF，交CD于点G，1=50，则2等于【 】A50 B60 C65 D90【答案】C。【考点】平行线的性质，角平分线的定义。【分析】ABCD，BEF+1=180（两直线平行，同旁内角互补）。1=50，BEF=130（等量代换）。EG平分BEF，BEG=BEF=65（角平分线的定义）。2=BEG=65（两直线平行，内错角相等定理）。故选C。例2. （2012海南省3分）如图，在ABC中，B与C的平分线交于点O. 过O点作DEBC，分别交AB、AC于D、E若AB=5，AC=4，则ADE的周长是 .【答案】9。

14、【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【分析】OB是B的平分线，DBO=OBC。 又DEBC，OBC =BOD。DBO=BOD。DO=DB。 同理，EO=EC。 又AB=5，AC=4， ADE的周长=ADDEAE=ADDOEOAE=ADDBECAE=ABAC=54=9。例3.（2012广东梅州3分）如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若EC=1，则EF= 【答案】2。【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】作EGOA于F，EFOB，OEF=COE=15，AOE=15，EFG=15+15=30。EG=CE=1，EF=2

15、1=2。例3.（2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）【答案】解：作图如下：M即为所求。【考点】作图（应用与设计作图）。【分析】连接AB，作出线段AB的垂直平分线，在矩形中标出点M的位置（以点C为圆心，AB长为半径画弧交AB的垂直平分线于点M）。例4.（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图电信部门要

16、修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置（保留作图痕迹，不要求写出画法）【答案】解：作图如下：C1，C2就是所求的位置。【考点】作图（应用与设计作图）。【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点。（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG。则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置。练习题：1. （2012湖南怀化3分）如图，已

17、知ABCD，AE平分CAB，且交CD于点D，C=110，则EAB为【 】A30 B35 C40 D452. （2012贵州黔南4分）如图，已知直线ABCD，BE平分ABC，交CD于D，CDE=1500，则C的度数是【 】A1500 B1300 C1200 D10003. （2012云南省3分）如图，在中，AD是的角平分线，则CAD的度数为【 】4. （2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为 5.（2012湖南娄底4分）如图，FEON，OE平分MON，FEO=28，则MFE= 度三、等腰（边）三角形的轴对称性：典型例

18、题：例1. （2012黑龙江牡丹江6分）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线【答案】解：能拼成3种平行四边形，如图： 图1中，对角线的长为5； 图2中，对角线的长为3和；图3中，对角线的长为4和【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。【分析】根据平行四边形的性质拼图。图1中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为。

19、例2.（2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】A 2个 B 3个 C4个 D5个【答案】C。【考点】等腰三角形的判定。【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。 以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。例3. （2012湖北荆门3分）如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q若BF=2，则PE的长为【 】A 2 B 2 C D 3【答案

20、】C。【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。【分析】ABC是等边三角形，点P是ABC的平分线，EBP=QBF=30，BF=2，FQBP，BQ=BFcos30=2。FQ是BP的垂直平分线，BP=2BQ=2。在RtBEF中，EBP=30，PE=BP=。故选C。例4. （2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 【答案】4。【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重

21、心到对边的距离为：， 它们的一边重合时（图1），重心距为2，解得a=3。当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=。例5. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= 【答案】4或1或9。【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，根据题意， AB=10，BC=3，E为AB边的中点， AE=5，AD=3。 若AE=AP=5，则在RtADP1中， 由勾股定理，得DP1=4。 若AE=PE=5，A作EFCD于点F，则EF=3，DF=5在RtEFP2中，P2F=4，DP2=DFP2

22、F=1：在RtEFP3中，P3F=4，DP3=DFP3F=9。另AP=EP=5不成立。综上所述，DP=4或1或9。例6. （2012湖北随州8分）如图,在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.求证：（1）ABDACD；(2)BE=CE【答案】证明：（1）D是BC的中点，BD=CD。 在ABD和ACD中，BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，ABCACD（SSS）。（2）由（1）知ABDACD，BAD=CAD，即BAE=CAE。在ABE和ACE中， AB=AC，BAE=CAD，AE=AE，ABEACE （SAS）。BE=CE（全等三角形的对应边相等）。【考点】等腰三角形的

23、性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS可以证得ABDACD。（2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知BAE=CAE；根据全等三角形的判定定理SAS推知ABEACE；由全等三角形的对应边相等知BE=CE。练习题：1. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC若ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】A2 B3 C D2. （2012湖北孝感3分）如图，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于点D若AC2，则AD的长是【 】3. （2012江苏淮安3分）如图

24、，ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，若BAC=700，则BAD= 0。4. （2012四川泸州5分）如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。求证：AEBC5. （2012甘肃白银10分）如图，已知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，EFB=60，DC=EF（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性：典型例题：例1. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】A

25、4个 B6个 C8个 D10个【答案】C。【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。【分析】正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，ACBD。图中的等腰直角三角形有AOB、AOD、COD、BOC、ABC、BCD、ACD、BDA八个。故选C。例2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为【 】A.2 B. 3 C. 4 D.5【答案】A。【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方

26、形的性质。【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：。故选A。例3. （2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD的对角线ACBD的长分别为6cm、8cm，AEBC于点E，则AE的长是【 】A B C D【答案】D。【考点】菱形的性质，勾股定理。【分析】四边形ABCD是菱形，CO=AC=3，BO=BD=，AOBO，。又，BCAE=24，即。故选D。例4. （2012江苏南通3分）如图，矩形ABCD的对角线AC8cm，AOD120，则AB的长为【 】Acm B2cm C2cm D4cm【答案】

27、D。【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，AOD=120，AOB=180120=60。AOB是等边三角形。AB=AO=4cm。故选D。例5. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，则图中阴影部分的面积是【 】A B2 C3 D【答案】A。【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，设BF、CE相交于点M，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，BCMBGF，即。解得CM=1.2。DM=21.2=0.8。A=120，ABC

28、=180120=60。菱形ABCD边CD上的高为2sin60=2，菱形ECGF边CE上的高为3sin60=3。阴影部分面积=SBDM+SDFM=0.8+0.8。故选A。例6. （2012广东深圳3分）如图，RtABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 例7. （2012上海市12分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，BAF=DAE，AE与BD交于点G（1）求证：BE=DF；（2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形【答案】证明：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD，

29、ABC=ADF，BAF=DAE，BAFEAF=DAEEAF，即：BAE=DAF。BAEDAF（ASA）。BE=DF。（2）四边形ABCD是菱形，ADBC。ADGEBG。又BE=DF ，。GFBC。DGF=DBC=BDC。DF=GF。又BE=DF ，BE=GF。四边形BEFG是平行四边形。【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定。【分析】（1）由菱形的性质和BAF=DAE，证得ABF与AFD全等后即可证得结论。（2）由ADBC证得ADGEBG，从而；由和BE=DF即可得证得。从而根据平行线分线段成比例定理证得FGBC，进

30、而得到DGF=DBC=BDC，根据等腰三角形等角对等边的判定和BE=DF ，证得BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。例8. （2012湖南娄底9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是ADBC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点（1）求证：MBANDC；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90。 在矩形ABCD中，M、N分别是ADBC的中点，AM=AD，CN=BC。AM=CN。在MAB和NDC中，AB=CD，A=C=90，AM=CN MABNDC（SAS）。（2）四边形MPNQ是菱形

31、，理由如下：连接AN，易证：ABNBAM，AN=BM。MABNDC，BM=DN。P、Q分别是BM、DN的中点，PM=NQ。DM=BN，DQ=BP，MDQ=NBP，MQDNPB（SAS）。MQ=PN。 四边形MPNQ是平行四边形。M是AB中点，Q是DN中点，MQ=AN，MQ=BM。又MP=BM，MP=MQ。四边形MQNP是菱形。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定MBANDC。（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，由（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明MQDNPB得到MQ

32、=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，从而证明四边形MQNP是菱形。例9.（2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. 求证：AMDF.【答案】证明：ABCD是正方形，OD=OC。 又DE=CF，ODDE=OCCF，即OF=OE。在RtAOE和RtDOF中，AO=DO ，AOD=DOF， OE=OF ，AOEDOF（SAS）。OAE=ODF。OAE+AEO=90，AEO=DEM，ODF+DEM=90。AMDF。【考点】正方形

33、的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明AOEDOF，得出OAE=ODF，然后利用等角代换可得出DME=90，即得出了结论。例10.（2012贵州贵阳10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长练习题：1. （2012陕西省3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OEAB，垂足为E，若ADC=1300，则AOE的大小为【 】A75 B65 C55 D502. （2012江苏苏州3分

34、）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC.若AC=4，则四边形CODE的周长是【 】A.4 B.6 C.8 D. 103. （2012江苏徐州3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【 】A1对 B2对 C3对 D4对4. （2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】（参考数据：，取3.14）A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.365. （2012安徽省5分

35、）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若S3=2 S1，则S4=2 S2 若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）.6. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为S1；当AB=2时，AME的面积

36、记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记为Sn当n2时，SnSn1= 7. （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME8. （2012四川凉山7分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EFBE交CD于F（1）求证：ABEDEF；（2）求EF的长9.（2012四川内江9分）如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，BAE=BCE，AED=CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相

37、交于点F。（1） 求证：四边形ABCD是正方形；（2） 当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。10. （2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AEEF，BE=2（1）求EC：CF值；（2）延长EF交正方形BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。五、等腰梯形的轴对称性：典型例题：例1. （2012广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BCAD，AD=5，DC=4，

38、DEAB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【 】A26B25C21D20【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。【分析】BCAD，DEAB，四边形ABED是平行四边形。BE=AD=5。EC=3，BC=BE+EC=8。四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC=4。梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选C。例2. （2012福建漳州4分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=80o，则D的度数是【 】 A120o B110o C100o D80o【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。【分析】ADBC，B=80

39、，A=180B=18080=100。四边形ABCD是等腰梯形，D=A=100。故选C。例3. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD相交于点O，下列结论不一定正确的是【 】AAC=BDBOB=OCCBCD=BDCDABD=ACD【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。【分析】A四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD，故本选项正确。B四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，ABC=DCB，在ABC和DCB中，AB=DC，ABC=DCB，BC=CB，ABCDCB（SAS）。ACB=DBC。OB

40、=OC。故本选项正确。CBC和BD不一定相等，BCD与BDC不一定相等，故本选项错误。DABC=DCB，ACB=DBC，ABD=ACD。故本选项正确。故选C。例4. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为【 】A4B5C6D不能确定【答案】B。【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】如图，连接BD，由题意得，OB=4，OD=3，根据勾股定理，得BD=5。又ABCD是等腰梯形，AC=BD=5。故选B。例5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ACB

41、D，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】A25 B50 C D【答案】A。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】 过点D作DEAC交BC的延长线于点E，作DFBC于F。ADBC，DEAC，四边形ACED是平行四边形。AD=CE=3，AC=DE。在等腰梯形ABCD中，AC=DB，DB=DE。ACBD，ACDE，DBDE。BDE是等腰直角三角形。DF=BE=5。S梯形ABCD=（AD+BC）DF=（3+7）5=25。故选A。例6. （2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、

42、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。【答案】（1）证明：在ABC中， E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。在梯形ABCD中，AB=DC，AC=BD。EF=FG=GH=HE，四边形EFGH是菱形。设AC与EH交于点M，在ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EHBD，同理GHAC。又ACBD，BOC=90。EHG=EMC=90。四边形EFGH是正方形。（2）解：连接EG。在梯形ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，。在RtEHG中，EH2+GH2=EG2，

43、EH=GH，即四边形EFGH的面积为。【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由ACBD入手，进行正方形的判断。（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出 ，也即得出了正方形EHGF的面积。例7. （2012湖南永州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC求证：四边形AEFG为平行四边形【答案】证明：梯形ABCD是等腰梯形，ADBC，B=C（等腰梯形底角相等）。GF=GC，GFC=C（等边对等角）。GFC=

44、B（等量代换）。ABGF（同位角相等，两直线平行）。又AE=GF，四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。【分析】由等腰梯形的性质可得出B=C，再根据等边对等角的性质得到C=GFC，所以B=GFC，故可得出ABGF，再由AE=GF即可得出结论。练习题：1. （2012江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【 】A17B18C19D202. （2012福建厦门4分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对

45、角线AC 与BD相交于点O，若OB3，则OC 3. （2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，过点D作DFBC于F若AD=2，BC=4，DF=2，则DC的长为 4. （2012江苏苏州6分）如图，在梯形ABCD中，已知ADBC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC. 求证：ABECDA； 若DAC=40，求EAC的度数.5. （2012湖南怀化10分）如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连结AE、DE求证：AE=DE6. （2012四川南充6分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD，求证：B=E六、圆

46、的轴对称性：典型例题：例1. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【 】A3 B4 C D例2. （2012江苏泰州3分）如图，ABC内接于O，ODBC于D，A=50，则OCD的度数是【 】A40 B45 C50 D60【答案】A。【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。【分析】连接OB， A和BOC是弧所对的圆周角和圆心角，且A=50，BOC=2A=100。又ODBC，根据垂径定理，DOC=BOC=50。OCD=1800900500=400。故选A。例3. （2012四川内江3分）如图，AB是O的直径，

47、弦CDA，CDB=300，CD=，则阴影部分图形的面积为【 】 A. B. C. D.【答案】D。【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。【分析】连接OD。CDAB，CD=，CE=DE=（垂径定理）。阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。又CDB=30，COB=BOD，BOD=60（圆周角定理）。OC=2。，即阴影部分的面积为。故选D。例4. （2012山东泰安3分）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】ACM=DMBCACD=ADCDOM=MD【答案】D。【考点】垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质。【分

48、析】AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即，选项B成立；在ACM和ADM中，AM=AM，AMC=AMD=90，CM=DM，ACMADM（SAS），ACD=ADC，选项C成立。而OM与MD不一定相等，选项D不成立。故选D。例5. （2012浙江衢州4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm【答案】8。【考点】垂径定理的应用，勾股定理。【分析】连接OA，过点O作ODAB于点D，则AB=2AD，钢珠的直径是10mm，钢珠的半径是5m

49、m。钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，OD=3mm。在RtAOD中，mm，AB=2AD=24=8mm。例6. （2012山东东营4分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm 【答案】30。【考点】垂径定理的应用，勾股定理。【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径：如图，连接OB， 当O为ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，O点在AD上，BD=24cm。在Rt0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48r。r2=（48r）2242，解得r=30。圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm。例7. （2012青海省2分）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，BOC=46，则AED的度数为 度【答案】69。【考点】圆周角定理。【分析】B、C分别是劣弧AD的三等分点，BOC=46，AOD=138（等弧所对圆心角相等）。AED=1382=69（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。例8. （2012江苏南通8分）如