机械振动第1章习题

1、第一章习题第一章习题P57.1-1: , 0.05m, 0.1m0.2m/s0.08m/s一物体作简谐振动 当它通过距平衡位置为处时的速度分别为和。 求其振动周期、振幅和最大速度。( )sin()u tat( )cos()u tat两边平方，相加2222( )( )au tu t 代入已知条件222222220.05 0.20.1 0.08aa解出0.1069, =2.1167a 2 /2 /2.11672.9684T 振动周期： 0.1069a 振幅：0.1069 2.11670.2263a最大速度=P57.1-2: Hz 一物体放在水平台面上， 当台面沿铅垂方向作频率为5的简谐振动时， 要

2、使物体不跳离平台，对台面的振幅有何限制？mummgN2( )( )u tu t ( )mNmgmu t质量 运动方程： ( )Nmu tmg : 0N 不跳离条件( )0mu tmg2( )gu t2sin()gat( ) sin()0, t如果则上式恒成立2229.8( ) sin()0, 9.9mmsin()(25)ggtat 如果则上式变为00(30 )(90 )121P57.1-3: ( )5( )7( ), ( )( )jtjtu teu teu tu tu t求简谐位移与的合成运动并求与的相位差。00000(30 )(90 )30901200(65.5 )( )( )( )57(5

3、7) (5cos30(5sin307)10.44jtjtjjj tj tjtu tu tu teeeeejee0001( )( ) 65.53035.5u tu t与的相位差：12P57.1-4: ( )5cos40 , ( )3cos39 u tt u tt求两简谐运动的合成运动的最大振幅和最小振幅，并求其拍频和周期。4039123939( )39( )( )( )Re53 Re(53) Re(5cos3)5sin ) Re ( ) ( )cos(39( )jtjtjtjtjtjtjtu tu tu teeeetjt eu t eeu ttt22( )(5cos3)(5sin )3430co

4、su tttt5sin( )arctan()5cos3ttt21| | 4039| 1 rad/s拍频21222 (s)| 4039|拍周期max34308umin34302u55123P57.1-5: 2.5kg, 2 10 N/m, 3 10 N/m mkkk写出图示系统的等效刚度的表达式。 当时，求系统的固有频率。123 kkk分析表明： 和并联， 之后与 串联1212eqkkkkk和并联后的等效刚度：261.86 rad/seqnkm系统的固有频率：31233123()eqeqeqk kkkkkkkkkk整个系统的等效刚度：P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。11kx22

5、kxfab1x2x12b xa xab o1122 fkxkx垂直方向力平衡：1122o kx akx b对 力矩平衡：12 eqeqb xa xkfkab 设等效刚度系数为， 则：22221 () eqabkabkk由以上各式得到：625P57.1-7: 4m,1.96 10 Nm4.9 10 N/m, 400kg lEIkm图中简支梁长 抗弯刚度, 且。分别求图示两种系统的固有频率。任意截面处的弯矩：FF 2F 2xw( )22FlM xxFx挠曲线微分方程：22( )22FlxFxd wM xdxEIEI积分：331( )1262Fxlw xxCxDEI边界条件：( )( )0w 0w

6、l2222llx xlxl0 x当当32313( )126248Fxllw xxxEI FF 2F 2xw3348( /2)48beamFFEIkl Fw llEI656334848 1.96 104.9 101.96 10 (/)4eqbeamEIkkkkN ml53.675 10beameqbeamk kkkk61.96 1070(/ )400eqnkrad sm30.3(/ )eqnkrad sm( )a( )b32313( )126248Fxllw xxxEI 5P58.1-8: 4 10 N/m, 100kg0.5m/s 钢索的刚度为绕过定滑轮吊着质量为的物体以匀速下降，若钢索突然卡

7、住， 求钢索内的最大张力。 nkm系统固有频率：0 (0)0, (0)uuv初始条件：220000 ()nnuvmauvk振幅：054 1000 9.80.5 1000 4 10 1.98 10 (N)Tmgkamgvmk 最大张力：P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动， 不计刚杆质量， 求其固有频率。P58.1-12: l图示摆， 其转轴与铅垂方向成 角， 摆长 ， 质量不计。 求摆动固有频率。412nklmgml2sin( ) sinmlmgl 2sin( ) sin0mlmgl sin很小，2sin( )0mlmgl 2sin( )sin( )nmglgmll222(2)4lml

8、mlkmgl sinmgP58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。(1) 对临界阻尼情形000( )() ntnu tuuu t e000( )() ntnnu tuuu t e11( )0, ( )0u tu t越过平衡位置的条件：000,0 uu 如果， 系统静止在平衡位置上。#000,0uu 如果#( )0u t 10t 10( )0u tu经过平衡位置一次000,0uu 如果#( )0u t 1 t 为负值， 无意义， 即无解， 表明系统不经过平衡位置000,0uu 如果#( )0u t 0100nutuu 000100( )0nnuu

9、unu tuu e经过平衡位置一次33P58.1-14: 10kg =0.01m20 6.4 10 m .6 10 m 20mcs一单自由度阻尼系统，时， 弹簧静伸长。自由振动个循环后， 振幅从降至1。 求阻尼系数 及个循环内阻尼力所消耗的能量。01112ln, ln, , lnnnAAAAAA010112ln()lnnnnAAAAnA AAA01ln2nAnA01ln2nAnA033222ln()106.4 109.8 ln()6.91(Ns/m)201.6 100.01ssnsAmggmgcmkmmnA2222003 23 21120()()2210 9.8 (6.4 10 )(1.6 1

10、0 ) )0.19(NM)2 0.01nnsmgk AAAA周阻尼器消耗的能量123P58.1-15: 1kg224N/m, 48Ns/m, 0.49m,/2, /4 mkcllllll图示系统的刚杆质量不计，。 求系统固有频率及阻尼比。222()01644llmglmlck224 0.49 1 9.87.14(rad/s)44 1 0.49nklmgml 22248160.211 9.816()16 1 (224)2()0.4944clcmgklmglm kmll12222112P59.1-16: , , , 2, 2 2 dmTTfA uAumTTATT 图示系统的薄板质量为系统在空气中(

11、认为无阻尼)振动周期为在粘性液体中振动周期为液体阻尼力可表示为其中为板的面积， 为粘性系数，为板 运动的速度。求证：12nT22221dnT 2121TT21221TT1122222nA TcAmmmT2221122 mTTATT0P59.1-17: 17.5kg, 7000N/m, ( )52.5sin(1030 )Nmkf tt已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为求该系统在零初始条件下被简谐力激发的响应。系统的运动方程：0( )( )sin()mu tku tft特解为：( )sin()dutBt20/()0.01dBfkm响应：43P59.1-18: 100kg9 10 N/m2.4

12、 10 Ns/m ( )90sin N (1) ; (2) ; (ndkcf ttB质量为的机器安装在刚度和阻尼系数的隔振器上，受到铅垂方向激振力作用而上下振动。求当 时的稳态振幅振幅具有最大值时的激振频率3) max();ddBB与的比值0( )( )( )sin()mu tcu tku tft0( )( )( )jtmu tcu tku tf e()*( )ddjtjj tddu tB eB ee稳态解：02djdfB ekmjc奇次方程通解：12( )cossinnnu tatat7000/17.520(/ )nrad s12( )cossin0.01sin()nnu tatatt(0)

13、0, (0)0uu10.005a 20.0043a 响应：0( )0.005cos0.0043sin0.01sin(1030 )nnu tttt02djdfBek mjc200022222222|()()()(2)ndnnffBBkmjckmjc 00fBk其中：3004901.25 10 (m)2220.4 9 10dBfBk (1) ndB求当 时的稳态振幅(2) 求振幅具有最大值时的激振频率(3) max()ddBB求与的比值2222()(2)nn 22 ; nn 令22()4nn 对求导， 并令其等于零, 得到2(12)n=42291012120.424(rad/s)100n=342.

14、4 100.422 100 9 10cmk 系统的阻尼比202222()(2)ndnnBB 212n =02max21dBB2222222(1)(2)max1.36 (1)0.6421ddBBn其中：P59.1-19: , dm一质量为 的单自由度系统， 经试验测出其阻尼自由振动的频率为在简谐激振力作用下位移共振的激励频率为 。 求系统的固有频率， 阻尼系数和振幅对数衰减率。2 12n位移共振：2211()2n21dn 221()dn 222nd系统固有频率：222221() 2dndd阻尼比：222222222 222 2nddddcmmm 阻尼系数：222211d振幅对数衰减率：6P59.

15、1-20: kg 3 10 N/m 20kg 0.01m. (1) (2) 1000rpm 一电机总质量为250， 由刚度为的弹簧支承， 限制其仅沿铅垂方向运动，电机转子的不平衡质量为， 偏心距不计阻尼， 求临界转速；当转速为时， 受迫振动的振幅。2 ( )( )sinMu tku tmet系统运动方程：*0 ( )sinu tft特解：220222nmemeMfkM2*22( )sinnmeMu tt稳态解： (1) 求临界转速(2) 1000rpm 当转速为时， 受迫振动的振幅。63 10109.55(rad/s)250nkM临界转速nkM其中：22026220 0.01 (104.72)

16、0.0085(m)3 10250 (104.72)mefkM受迫振动振幅：1000 21000(rpm)104.72 (rad/s)60P60.1-22: 2 nnm图示系统中刚性杆质量不计， 写出运动微分方程。 并分别求出和 时质量的线位移幅值。2220493sinmlclkllft20032sinsinnnftBtml 3nkm23ckm()*( )ddjtjj tddteee稳态解：202j tnnB e 003fBml0222djdnnBej00222222|2()(2)dnnnnBBj nm当时质量 的线位移幅值：0012222|4()(2)nndnnBfmullck /2nm当时质

17、量 的线位移幅值：002/222222/24|()(2)81 64/()nndnnBfullkckm P60.1-23: 求图示系统的稳态响应。( )( )( ( )( )mu tku tc v tu t 0 ( )( )( )cosmu tku tcu tcvt00 ( )( )( )j tj tmu tku tcu tcveB e()* ( )ddjtjj tddu tB eB ee特解：02djdBB ekmj c002222()()dBBBkmj ckmc2arctandcmk* ( )cos()ddu tBt稳态响应：P60.1-24: , lhmkv某路面沿长度方向可近似为正弦波,

18、波长为 ， 波峰高为 。 一汽车质量为减振板簧总刚度为 , 在 该路面上以速度 行驶。 不计阻尼， 求汽车铅垂振动的稳态响应和临界行驶速度。vlukmhxy2sinyhxlxvt路面形状为：运动方程为：( )( ( )mu tk u ty 02( )( )sinsinvmu tku tkykhtftl2sinvyhtl02, vfkhl*02( )sinfu ttkm稳态解：20km2lkvm临界行驶速度：P60.1-25: 22kg, 3000rpm, 4 10%一电机质量为转速为通过 个同样的弹簧对称地支承在基础上。 预使传到基础上的力为偏心质量惯性力的, 求每个弹簧的刚度系数。2( )(

19、 )sineqMu tk u tmet*0( )sinu tBt202eqmeBkM22*22( )sinsin()eqeqmemeu tttkMMk2220.1eqeqmekmeMk22522 (100 )1.97 10 N/m1111eqMk3000 210060541.97 104.94 10 (N/m)44eqkk每个弹簧的刚度系数：P60.1-26: 15002000rpm, 90% 发动机的工作转速为要隔离发动机引起的电子设备以上的振动，若不计阻尼， 求隔振器在自重下的静变形。隔振系统的固有频率：nsg绝对运动传递率：2221111dnT15002000(rpm)157.1209.

20、4(rad/s)222111(209.4)(157.1)211sdgT222111111(209.4)(157.1)sdddgggTTT2211110.1(209.4)0.1(157.1)sgg0.00250.0044s由以上两式得到：31P60.1-28: 60rpm 20kg, 3.5 10 N/m 200Ns/m vmkkc图示凸轮转速， 基础位移 是如图所示的锯齿波。 已知， 求系统的稳态响应。顶杆的运动方程为：0.025, 0vttTT 01(Hz), 2 (rad/s)激励频率为则。 vfourier的级数为：010.0251( )0.0125sinrv trtr1( )( )(

21、)( ( )( )mu tcu tku tk u tv t 振系的运动方程：111010.0251( )( )() ( )0.0125sinrkmu tcu tkk u tkrtr振系的运动方程：11022 221000.0250.0251 sin sin()()(1)(2)rkkrr trtrr kkrr 对于 次谐波激励， 系统的稳态响应为：102202tan1rrr 1110.01250.0125()kkkk静态力引起的响应1022 2211000.02511( )1sin()()(1)(2)rrku trtkkrrr 稳态响应：稳态响应(代入数值后)：2 22111( )0.0125

22、1sin( 2)(1 0.113)0.033rru trtrrr120.18tan0.1131rrr010,nnkkm00P60.1-29: (0), (0)uu uu单自由度无阻尼系统受图示力激励， 求系统在初始条件下的响应。单自由度无阻尼系统的单位脉冲响应：1( )sin, 0nnh tttm000110 ( ) 0 ttf tfttttt 强迫函数： Duhamel,:利用积分 得到系统的响应1 (1) , :tt求时 系统的响应为自由响应001( )cossin, 0nnnuu tutttt12 (2) , :ttt求时 系统的响应为1100000010( )cossin0sin()c

23、ossin1cos()ttnnnnnntnnnufufu tuttdtduttttmk2 (3) , :tt求时 系统的响应为1212000000210( )cossin0sin()0cossincos() cos()tttnnnnnnnttnnnufufu tuttdtdduttt tt tmk0P60.1-30: ,a图示系统， 基础有阶跃加速度求系统的相对位移响应。:m质量 的运动方程( )()()mu tk uvc uv ( )( )( ),:ru tu tv t令则得到相对运动方程0( )( )( )( )rrrmu tcu tku tmv tma :单自由度阻尼系统的单位脉冲响应函数1( )sin, 0ntddh tettm:单自由度阻尼系统的自由振动解000( )cossinntnrddduuu teutt:零初始条件下的响应()()*00000221( )sin()sin() 1cos()1nnnttttrddddtdnau tmaetdetdmaet :系统的相对位移响应*( )( )( )rrru tu tu t