初等多值函数

1、第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念与柯西与柯西黎曼条件黎曼条件1.1 复变函数的导数与微分1.2 解析函数及其简单性质1.3 柯西柯西黎曼条件黎曼条件1.4 小结与思考 21.1 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:00 ( ) , , wf zD zDzz D 设设 函函 数数定定 义义 于于 区区 域域为为 中中 的的 一一点点, )( . )( 00的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记作记作000()( ) lim zf zzf zz 如如

2、果果极极限限存存在在且且有有限限定义定义2.13在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都都趋趋于于同同一一个个数数比比值值时时内内以以任任意意方方式式趋趋于于在在区区域域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf4例例1 .)(2的导数的导数求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上处处处处可可导导

3、52.可导与连续的关系可导与连续的关系: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 , 0可导的定义可导的定义根据在根据在 z, 0, 0 , |0 时时使得当使得当 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令6, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因为因为 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0连续连续在在即即zzf证毕证毕 ,)( )(0zzzzf ( ) f

4、zzz 在在 平平面面上上处处处处连连续续但但却却处处处处不不可可导导例例2 解解 (1) f(z)= z的连续性显然的连续性显然 1 0,0(2) =10,0zxi yxxyfzzzzxi yzzzxyi y 1(0,0)fxyz 1(0,0)fxyz ( ) f zzz 处处处处处处处处不不可可在在 平平面面上上但但却却导导连连续续( ) f zzz 在在 平平面面上上处处处处不不可可导导7例例3 .Im)(的可导性的可导性讨论讨论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而而使使向向当当点点

5、沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方 zy8zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极极限限值值不不同同时时当当点点沿沿不不同同的的方方向向使使 z.Im)(在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导故故zzf 9例例4 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着

6、平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 y10 xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 113.求导法则求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广实

7、变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来到复变函数中来, 且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn 12 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的

8、单值是是与与其中其中134.微分的概念微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定定义义0000( ),()()()()wf zzwf zzf zfzzzz 设设函函数数在在可可导导 则则0lim()0,(), zzzzz 是是0 0时时的的高高阶阶无无穷穷小小0() ( ) .fzzwf zw 是是函函数数的的改改变变量量的的线线性性部部分分+ 0000()( )( )lim.zf zzf zwf zzz .

9、 )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz14特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内内可可微微区区域域在在则则称称内内处处处处可可微微区区域域在在如如果果函函数数DzfDzf151. 解析函数的定义解析函数的定义 000Analys( ) , is( ) .f zzzf zz如如果果函函数数在在及及的的处处处处可可 导导 那那末末称称在在解解析析邻邻域域

10、内内( ), ( ). ( ) ().f zDf zDf zD如如果果函函数数在在则则称称在在区区域域内内解解析析 或或称称是是区区域域内内的的一一个个解解析析函函数数 全全纯纯区区域域内内每每一一点点可可微微( (解解函函数数或或正正则则函函数数析析) )定义定义 2.2z0记作：记作：f(z)A(D):, ( ).()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在区区域域闭闭区区域域且且则则称称在在闭闭区区域域 上上解解析析 记记作作DG1.2 解析函数的概念解析函数的概念16根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的

11、的.但但是是函数解析比可是与区域密切相函数解析比可是与区域密切相伴的伴的,要比可导的要求要高得多要比可导的要求要高得多即函数在即函数在z0点解析点解析函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导不等价不等价函数在函数在z0 0点可导点可导函数函数闭区域上解析闭区域上解析与在与在闭区域上可导闭区域上可导不等价不等价即函数在闭即函数在闭区域上解析区域上解析函数在函数在闭区闭区域上域上可导可导说说明明172. 奇点的定义奇点的定义000( ) , ( ) ( ).zf zf zzzf z不不解解析析都都有有如如果果函函数数在在但但在在 的的任任一一邻邻域域, ,那那末末称称解解析析点

12、点的的解解析析为为的的奇奇点点点点定义定义2.3例如例如:1wz 以以z=0为奇点为奇点:通常泛指的解析函数是容许有奇点的通常泛指的解析函数是容许有奇点的:例例5 22 ( ), ( )2 ( ).f zzg zxyih zz 研研究究函函数数和和的的解解析析性性解解由本节例由本节例1和例和例3知知: ; )( 2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ; 2)(处处不解析处处不解析yixzg 18 , )( 2的解析性的解析性下面讨论下面讨论zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zz

13、hzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趋于趋于沿直线沿直线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 1119 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义不可导不可导而在其他点都而在其他点都处可导处可导仅在仅在因此因此 zzzh20例例6.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 解解 , 0 1 处处可导处处可导在复平面内除在复平面内除因为因为 zzw ,1dd 2zzw 且且

14、, 0 外处处解析外处处解析在复平面内除在复平面内除所以所以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z21例例7.)Re()( 的可导性与解析性的可导性与解析性研究函数研究函数zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 处可导处可导在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()(22)Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因为因为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy

15、 23 . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义可导可导而在其他点都不而在其他点都不处可导处可导仅在仅在因此因此 zzf , )( , 0 不可导不可导时时即当即当zfz 课堂练习课堂练习.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .24定理定理 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解解析析的的两两个个函函数数在在区区域域DzgzfD. )( , )( , . )(

16、 , )( )2(内内解解析析在在那那末末复复合合函函数数于于都都属属的的对对应应值值函函数数内内的的每每一一个个点点对对如如果果内内解解析析平平面面上上的的区区域域在在函函数数内内解解析析平平面面上上的的区区域域在在设设函函数数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法则可利用求导法则.()(h zddddwf hdzdzh 25根据定理可知根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内是解析零的点的区域内是解析在不含

17、分母为在不含分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP通过上述用定义讨论函数的解析性，通过上述用定义讨论函数的解析性，我们深深地体会到：我们深深地体会到：用定义讨论函数的解析用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！性绝不是一种好办法！寻求研究解寻求研究解析性的更好析性的更好的方法的方法任务！任务！261.3 C-R 条件条件目的：研究复变函数目的：研究复变函数w=f(z)可微或解析的条件。可微或解析的条件。研究函数解析性的利器研究函数解析性的利器引言：设引言：设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则则 函数函数w=f(z)的连续性由的连续性由u(x,y),v(x,y)连续性

18、唯一确定。连续性唯一确定。那么那么w=f(z) 的解析性与的解析性与u(x,y),v(x,y)之间有什么关系之间有什么关系呢？呢？先看如下例子先看如下例子设设w= z=x-iyu(x,y)=x,v(x,y)=-y则：则：u(x,y)=x,v(x,y)=-y对对x,y的一切偏导数都存在且连的一切偏导数都存在且连续，但是续，但是w= z却是一个处处不可微的函数却是一个处处不可微的函数由此说明：由此说明：有必要探讨函数有必要探讨函数w=f(z) 的可微（解析性）的可微（解析性）与与u(x,y),v(x,y)之间的进一步的关系之间的进一步的关系27D1. 函数函数w=f(z)的在一点处的可微的在一点处

19、的可微 与与u(x,y),v(x,y)之间的关系之间的关系假设假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一点在某一点z=x+iy可微可微0()( )lim( ) (2.3)zf zzf zfzz z= xi y = ( +,)( , )u u xx yyu x y =v( +,)( , )vxx yyv x y ()( )wf zzf zui v 代数化代数化00limxyuivixiy ( )fzi 图图2.12.1z+xzx y0 z 2.4因为因为z=x+iy无无论按什么方式趋论按什么方式趋于零于零, (2.4)总是成总是成立的立的, 于是，我们于是，我们可让变点可让变点z+z分别分

20、别沿着平行于实轴沿着平行于实轴与虚轴的方向趋与虚轴的方向趋于点于点z ，即分别让，即分别让（y=0,x0） （x=0,y0）,从而从而可得可得z+iy2800limxyuivixiy 000limlimxyxui vixi yiivxux 000limlimyxxui vixi yiiuyvy ,uvxxuvxx 存存在在且且,vuvyyuyy 存存在在且且 vxxvuyyu 称为称为Cauchy-Riemann条件，简称条件，简称C-R条件条件定理定理2.1 (可微的必要条件可微的必要条件) 设函数设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D内有定义内有定义,且在且在D内内一点

21、一点z=x+iy可微可微,则必有则必有: (1)偏导数偏导数ux,uy,vx,vy在点在点(x,y) 存在存在;(2)u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)满满 足足C-R条件条件: ux= vy uy=-vx 柯西介绍柯西介绍黎曼介绍黎曼介绍29 ( ) 0 0 .f zxyzz 证证明明函函数数在在点点满满足足 柯柯西西黎黎曼曼方方程程但但在在点点不不可可微微( (导导) )例例8 证证, )( xyzf 因为因为0, , vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuu

22、yy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在点 z30 , 趋于零时趋于零时沿第一象限内的射线沿第一象限内的射线但当但当kxyz 0)0()( zfzf iyxxy |,1kik , 变化变化随随 k , 0)0()(lim 0不存在不存在故故 zfzfz . 0 )( 不可导不可导在点在点函数函数 zxyzf将定理将定理2.1中的条件适当加强就得到可微的充要条件中的条件适当加强就得到可微的充要条件31( ).uvvvfziixxyxuuvuiixyyy 定理定理2.2(可微得充要条件可微得充要条件) ( )( , )( , ) , ( ) : ( , )

23、( , ) ( , ) , , . f zu x yiv x yDf zDzxyiu x yv xuvuvxyyyxx y 设设函函数数定定义义在在区区域域内内 则则在在内内一一点点可可( (微微) )导导的的是是与与在在点点可可微微 并并且且在在该该点点满满足足柯柯西西黎黎曼曼要要方方程程充充条条件件32 代数化代数化 证证(1) 必要性必要性. ( )( , )( , ) ,f zu x yiv x yDzxyi设设在在内内一一点点可可导导 0, yixz则对于充分小的则对于充分小的,)()()()( zzzzfzfzzf 有有, 0)(lim 0 zz 其中其中,)()( viuzfzz

24、f 令令,)(ibazf , )(21 iz ui v )(iba )(yix )(21 i )(yix )()(1221yxyaxbiyxybxa 33, 21yxybxau 于是于是.12yxyaxbv , 0)(lim 0 zz 因为因为100lim yx所以所以200lim yx, 0 , ),( ),( ),( 可微可微在点在点与与由此可知由此可知yxyxvyxu. , xvyuyvxu 且满足方程且满足方程34(2) 充分性充分性. ( , ) ( , ) ( , ) , u x yv x yx y假假设设: :与与在在点点可可微微, 21yxyyuxxuu 于是于是, 43yxy

25、yvxxvv 00 lim0, (1,2,3,4)kxyk 其其中中 )()( zfzzf),(),(),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu , viu 由于由于 , uvuvxyyx 且且有有35 )()(zfzzf )(yixxvixu.)()(4231yixi , , 2xvixvyuyvxu 由柯西黎曼方程由柯西黎曼方程 zzfzzf)()( xvixu.)()(4231zyizxi )()( zfzzf因此因此.)()(4231yixiyyviyuxxvixu 36 , 1, 1 zyzx因为因为, 0)()(lim42310 zyizxiz zzfzzfzfz)()(lim

26、)( 0所以所以.xvixu . ),(),()( 可导可导在点在点即函数即函数yixzyxivyxuzf 证毕证毕37 ( )( , )( , ) , ( ) : (1) , , ( , , .)2( , ), ( , )( , ) xyxyf zu x yiv x yDf zDzxyiu uvvx yu x yuvuvxyyv x yyxx 设设函函数数定定义义在在区区域域内内 则则在在内内一一点点可可( (微微) )导导的的是是在在点点连连续续 ( ) ( ) 在在点点满满足足C-RC-R条条件件充充分分条条件件382. 函数函数w=f(z)的在区域的可微性的在区域的可微性（解（解析性）

27、析性）(x,y),v(x,y)之间的关系之间的关系 ( )( , )( , ) , ( )(): (1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) , . f zu x yiv x yDf zA Du x yv x yDuuvux yv xvxxDyyy 设设函函数数定定义义在在区区域域内内 则则的的是是与与在在 内内微微; ; 与与在在 内内满满足足C-RC-R条条件件充充要要条条件件定理定理2.4(函数在区域函数在区域D内内可微可微的充要条件的充要条件)39 ( )( , )( , ) , ( )(): (1) , , C()2( , ), ( , ) , . xyxyf z

28、u x yiv x yDf zA Du uvvDuvuvu x y v x yxyyxD 设设函函数数定定义义在在区区域域内内 则则的的是是 ( ) ( ) 在在 内内满满足足C-RC-R条条件件充充要要条条件件403.3.解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :. )( , )( )1(内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(内内解解析析在在的的充充要要条条件件可可以以

29、断断定定那那么么根根据据解解析析函函数数方方程程并并满满足足可可微微因因而而、连连续续的的各各一一阶阶偏偏导导数数都都存存在在内内在在中中如如果果复复变变函函数数DzfyxvuDvuivuzf 414. 例题选讲例题选讲例例9 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 42)sin(cos)()2(yiy

30、ezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏导数均连续均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指数函数指数函数43)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不

31、不解解析析44例例10 . sin)2(;)1( 2在复平面上不解析在复平面上不解析证明证明zz证证,2)1(222xyiyxz ,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 x ,0 2上可导上可导仅在直线仅在直线故函数故函数 xzw .在在复复平平面面内内不不解解析析45,sinhcoscoshsinsin)2(yxiyxz ,coshsinyxu ,sinhcosyxv ,coshcosyxxu ,coshcosyxyv , ), 2, 1, 0(2 时时仅当仅当 kkx.yvxu .sin在复平面上不解析在复

32、平面上不解析z46? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf 例例11 解解,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求47. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析内解内解在区域在区域设设 例例12解解)1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入将将, 0 x

33、u, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由48, 0 (2) yu得得由由 ),( 常数常数所以所以cu ).( )( 2常数常数于是于是icczf 课堂练习课堂练习. , , , )( 2323的值的值试确定试确定函数函数为解析为解析设设nmllxyxiynxmy 答案答案. 1, 3 mnl49例例6. )( , )( 内为一常数内为一常数区域区域在在则则内处处为零内处处为零在区域在区域如果如果DzfDzf 证证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常数常数常数常数所以所以 vu . )( 内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf50参照

34、以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明: . , )( 则以下条件彼此等价则以下条件彼此等价内解析内解析在区域在区域如果如果Dzf ;)( )1(恒取实值恒取实值 zf; 0)()2( zf ;)( )3(常数常数 zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常数常数 zf ;)(Im )6(常数常数 zf;)7(2uv .)( arg )8(常数常数 zf51例例7 7. , , ),( ),( 0,)( , )( 2121为常数为常数其中其中必相互正交必相互正交与与那末曲线族那末曲线族且且为一解析函数为一解析函数设设cccyxvcyxuzfivuzf 证证 )( zf因为因为

35、, 01 yuiyv , 不全为零不全为零与与所以所以yuyv , 都不为零都不为零与与如果在曲线的交点处如果在曲线的交点处yuyv 根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,52线的斜率分别为线的斜率分别为中任一条曲中任一条曲与与曲线族曲线族 ),( ),( 21cyxvcyxu ,21yxyxvvkuuk 根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21, 1 yyyyvuuv . ),( ),( 21相互正交相互正交与与故曲线族故曲线族cyxvcyxu . , , , , 它们仍然相互正交它们仍然相互正交一条是铅直的一条是铅直的另另的切线一条是水平的的切线一条是水平的两族中的曲线在交点处两族中的曲线在交点处则另一个必不为零则另一个必不为零中有一个为零中有一个为零和和如果如果yyvu53例例8. 0 , 0 Im)( 2不可微不可微但在点但在点满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程的实、虚部在点的实、虚部在点证明函数证明函数 zzzzf证证, 2)( xyzf 因为因为0, , 2 vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),