高数常系数非齐次线性微分方程

1、型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn)(xfyqypy ),(为常数qpYy *y*y给出特解)(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx型)(e)(xPxfmx)(xPm, )(e*xQyx)(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm)(xfyqypy , 02qp即),(xQm. )(e*xQymx, 02qp,02 p)(xQ则xmxQxye)(*, 02qp,02 p)(xQ 则xmxQxye)(*2)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk)(

2、xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp *kxmyx Qx e 0,1,2,k 若若 不不是是特特征征根根若若 是是特特征征单单根根若若 是是特特征征重重根根代入方程代入方程( )xmypyqyePx 即可确定系数：即可确定系数：1011( )mmmmmQxb xb xbxb 011,mmb bbb 从而确定特解从而确定特解. .特解的形式为特解的形式为 mQx其其中中为为待待定定多多项项式式, ,即即将将 1011()kmmxmmyx b xb xbxb e 提示提示 因为因为f(x) Pm(x)e x 3x 1 0不是特征方程的根不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为所以

3、非齐次方程的特解应设为 y* b0 x b1 把它代入所给方程把它代入所给方程 得得 例例1 求微分方程求微分方程y2y 3y 3x 1的一个特解的一个特解 解解 齐次方程齐次方程y2y 3y 0的特征方程为的特征方程为r2 2r 3 0 比较两端 x 同次幂的系数 得 b01 因此所给方程的特解为31* xy b0 x b12b0 x b1 3b0 x b13b0 x 2b0 3b1 2b0 3b0 x 3b1 3b0 x 2b0 3b1 3x 1 提示提示 3b0 3 2b0 3b1 1 x 同次幂的系数 得 b01 311b 例例2 求微分方程求微分方程y5y 6y xe2x的通解的通解

4、 解解 齐次方程齐次方程y5y 6y 0的特征方程为的特征方程为r2 5r 6 0 其根为其根为r1 2 r2 3 提示提示 齐次方程齐次方程y5y 6y 0的通解为的通解为Y C1e2x C2e3x 因为因为f(x) Pm(x)e x xe2x 2是特征方程的单根是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为所以非齐次方程的特解应设为 y* x(b0 x b1)e2x 把它代入所给方程把它代入所给方程 得得 2b0 x 2b0 b1 x 比较系数 得 b11 故xexxy2) 121(* 系数 得210b b11 故提示提示 2b0 1 2b0 b1 0 因此所给方程的通解为因此所给方程的通解

5、为xxxexxeCeCy223221)2(21 型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxPyqypy)i(e)( yqypyxmxP)i(e)(xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixxixmkxQxy)i(1e)()(次多项式为mxQmxmxPyqypy)i(111e)()()( xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明xmx

6、Pyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)( 11*yyy xkxexmxmQQiiee yqypyxxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(的特点yxRxRxyyymmxksincose1111yy*yy所以mmRR,因此11yyy11yyxxPxxPnlxsin)(cos)(eyqypy ),(为常数qpxRxRxymmxksincose*ilnm,maxxxyy2cos 求方程, 2, 0 xdxcxbxay2sin)(2cos)(

7、*i2ixxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn9431,da.2sin2cos*9431xxxy13 a043cb03 c043ad0 cbxxyy3sin303cos189 求方程, 092rxCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy,5a,3b)3sin33cos5(*xxxyi32, 1rxaxb3sin63cos6xCxCy3sin3cos213i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18xmxPyqypye)(. 1 xmkxQxye)(*sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx ixkxye*sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,maxxxxfcos)() 1当xxxxf2e2cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e)(xfyy xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xkxye*lnm,maxxdcxsin)(sin)(cos)(xxRxxRmmxyyye44 ,0442rr221 rrxxCCY221e)(2,exAy令,2)2(1AxxCCy221e)(xe2)2(12,e2x