计算机控制系统经典设计方法——模拟控制器的离散化方法

1、2. 加零阶保持器的加零阶保持器的Z变换法变换法（阶跃响应不变法阶跃响应不变法或或保持保持Z变换法变换法）基本思想基本思想：用零阶保持器与模拟控制器相串连，然后再进行：用零阶保持器与模拟控制器相串连，然后再进行Z变换离散化成数字控变换离散化成数字控制器。要求脉冲传递函数和连续传递函数的单位阶跃输出响应在采样时刻相等。制器。要求脉冲传递函数和连续传递函数的单位阶跃输出响应在采样时刻相等。 )(1)()()z-1 ()(1)(z-11)(1 -1 -sGseZzDssGZzDssGZzDTs或者模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续二）图图7-21 阶跃响应不变法阶跃响应不变法-模拟控制

2、器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续三）例例7.6 已知模拟控制器已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用保持，用保持Z变换法求变换法求 数字控制器数字控制器D(z)。【答案【答案】1111)(zeezzDaTaT）（?)(ku保持保持Z变换法特点变换法特点pD(s)稳定，稳定，D(z)稳定；稳定；pD(z)不能保持不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。的脉冲响应和频率响应。3. 差分变换法差分变换法基本思想基本思想：模拟控制器若用微分方程的形式表示，其导数可用差分近似。：模拟控制器若用微分方程的形式表示，其导数可用差分近似。模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续四）常用的一阶

3、差分近似方法有：常用的一阶差分近似方法有：前（正）向差分前（正）向差分和和后（反）向差分后（反）向差分。Tkukudttdu) 1()()(Tkukudttdu)() 1()(后向差分后向差分前向差分前向差分模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续五）TzssDzD11)()(一阶后向差分一阶后向差分:图图7-22 后向差分矩形积分法后向差分矩形积分法)()1()(kTeTkukTu一阶向后差分的一阶向后差分的s与与z替换关系是替换关系是z变量与变量与s变量关系的一种近似变量关系的一种近似sTeezsTsT111Tzs11ssEsUsD1)()()(模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离

4、散化方法（续六）后向差分变换法特点后向差分变换法特点图图7-23 后向差分法的映射关系后向差分法的映射关系pD(s)稳定，稳定，D(z)稳定；稳定；pD(z)不能保持不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应；的脉冲响应和频率响应；pD(s)不稳定，不稳定，D(z)稳定吗？稳定吗？模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续七）图图7-24 前向差分矩形积分法前向差分矩形积分法一阶前向差分一阶前向差分:TzssDzD1)()()()()1(kTekTuTku一阶向前差分的一阶向前差分的s与与z替换关系是替换关系是z变量与变量与s变量关系的一种近似变量关系的一种近似sTezsT1Tzs1ssEsU

5、sD1)()()(模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续八）图图7-25 前向差分法的映射关系前向差分法的映射关系前向差分变换法特点前向差分变换法特点pD(s)稳定，稳定，D(z)不一定稳定；若不一定稳定；若D(s)有离虚有离虚轴较远的点，只有缩小采样周期轴较远的点，只有缩小采样周期T才有可能才有可能稳定；稳定；pD(z)不能保持不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。的脉冲响应和频率响应。模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续九）例例7.7 已知模拟控制器已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用后向差分求数字控制器，用后向差分求数字控制器D(z)。例例7.8 已知模拟控制

6、器已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用前向差分求数字控制器，用前向差分求数字控制器D(z)。【答案【答案】【答案【答案】11)(zaTaTzD) 1()(aTzaTzD4. 双线性变换法双线性变换法(Tustin变换法变换法)模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续十）112)()(zzTssDzD图图7-26 梯形积分法梯形积分法这种方法相当于数学的梯形面积积这种方法相当于数学的梯形面积积分法，即以梯形面积近似代替积分分法，即以梯形面积近似代替积分tdttetutedttdussEsUsD0)()()()(1)()()() 1()(2) 1()(kekeTkukusTsTzzz

7、TzzTs212111211211s与与z的关系是双线性函数，即的关系是双线性函数，即模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续十一）图图7-27 双线性变换的映射关系双线性变换的映射关系双线性变换法双线性变换法特点及应用特点及应用pD(s)稳定，稳定，D(z) 一定稳定；一定稳定；p双线性变换是一对一映射，保证了离散频率特性不产生频双线性变换是一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变（见图率混叠现象，但产生了频率畸变（见图7-28）；）；p双线性变换后稳态增益不变；双线性变换后稳态增益不变；p比较适合工程上应用的一种方法；比较适合工程上应用的一种方法；p由于高

8、频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化。由于高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化。图图7-28 双线性变换的频率关系双线性变换的频率关系5. 零极点匹配法零极点匹配法模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续十二）)()()()()(2121nmspspspszszszsKsD基本思想基本思想：将D(s)的极点（s=-pi）和有限零点（s=-zi）都按z=eTs的映射关系，一一对应地变换为D(z)的极点z=e-Tpi和零点z=e-Tzi,其中T为采样周期。mnTpTpTpTzTzTzzzezezezezezezKzDnm) 1()()()()()(2121sTez 模拟控制器的离散化方法模拟控制器的离散化方法（续十三）例例7.9 已知模拟控制器已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用双线性变化法求数字控制器，用双线性变化法求数字控制器D(z)。【答案【答案】azzTazD11112)(例例7.10 已知模拟控制器已知模拟控制器D(s)=