线性定常系统的状态空间分析与综合

1、机机 械械 控控 制制 理理 论论第七章第七章线性定常系统的状线性定常系统的状态空间分析与综合态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论经典控制理论现代控制理论线性定常系统线性定常、非线性、时变系统单输入-单输出系统多输入-多输出系统传递函数（或者微分方程）状态空间分析法（由状态变量构成的一阶微分方程组）只研究输入-输出的关系，不包含其他相互独立的中间变量的信息（即不包含系统的所有信息）输入-输出通过中间变量反映，反映了系统的全部独立变量的变化，即反映了全部内部状态o经典控制理论和现代控制理论之间的区别 2.研究方法 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间

2、分析与综合1.研究问题区别 机机 械械 控控 制制 理理 论论7-1 状态变量及状态空间表达式 一、定义一、定义 1 1、状态变量的定义、状态变量的定义：能够完全确定系统运动状态的最小个数的一组独立变量 注：、n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变量； 、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的； 、状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且tt0时输入给定时，可完全确定系统在任何时刻tt0时的行为（因n个独立的初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解） 2 2、状态矢量、状态矢量 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制

3、理理 论论由n个状态变量x1(t),x2(t)xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即12( )( )( )( )nx tx tx tx t 或12( )( ),( ),( )Tnxtx t x tx t3 3、状态空间和状态轨迹、状态空间和状态轨迹 状态变量 为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。 为状态空间的一个初始点， 为状态空间中对应t t时刻的一个点。当t t由 时 在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。 12nx xx、 、00( )( )t tx tx t( )x t0tt( )x t第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控

4、控 制制 理理 论论4 4、状态方程、状态方程 由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 例建立如图所示R-L-C网络的状态方程。 解:当给定独立变量 和 的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定，故选 和 为状态变量 由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态方程 即 cuicuiccduicdtdiR iuLUdt 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为 111ccuicRiuiULLL 1cxu2xi若令 写成矩阵形式112210011

5、xxcuxxRLLL第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论01bLxAxbu12xxx12xxx101cAcLL 或式中( (要适应矩阵表达方法要适应矩阵表达方法) ) 写出状态方程的步骤：写出状态方程的步骤： 确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数） 写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式 由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论1cxu1yx5 5、输出方程、输出方程 反

6、映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，若输出用Y表示，确定 作为输出，则输出方程为 或 写成矩阵形式 或 式中 (或 )cyu1210 xyxTyc x0Tc 110c 步骤步骤：写入输出和状态变量的表达式将该表达式写成矩阵形式第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论7 7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性 如之例 取 和 为两个状态变量 令 和 则 即 由电路原理（在原状态方程中消去 i） cucu 1cxu2cxu 12cxux12xx11cccRuuuu

7、LLcLc即21211RxxxuLcLLc 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合6、状态空间表达式、状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。机机 械械 控控 制制 理理 论论 可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。一般地，从工程实际出发，把容易测量的量作为状态变量。 状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只有矩阵P是非奇异的（满秩），那么也是状态矢量。01011xxuRLcLLc第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论二、单输入二、单输入-单

8、输出定常系统状态空间表达式的一般形式单输出定常系统状态空间表达式的一般形式 设状态变量为12,nx xx，则状态方程的一般形式为：111 112211221 1222221 122nnnnnnnnnnnxa xa xa xbuxa xa xa xb uxa xa xa xb u输出方程式一般有： 1 122nnyc xc xc x写成向量矩阵形式的状态空间表达式为xAxbuTy Cx 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论式中 12nxxxx 为n维状态矢量111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 为（n

9、 n）维系统矩阵（反映了系统内部状态的联系）12nbbbb为（1n）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者控制矩阵（反映了输入对状态的作用） 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论12ncccc为（1n）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系） 111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnrrnnrrnnnnnnnnnrrxa xa xa xb ub ub uxa xa xa xb ub ub uxa xa xa xb ub ub u第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性

10、定常系统的状态空间分析与综合三、多输入-多输出的状态空间表达式（如具有r个输入，m个输出）状态方程一般为机机 械械 控控 制制 理理 论论输出方程一般为111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnrrnnrrmmmmnnmmmrryc xc xc xd ud ud uyc xc xc xd ud ud uyc xcxcxd udud u其状态空间表达式的矢量矩阵形式为xAxBuy CxDu 式中 和 -同单输入系统，分别为xAn维状态矢量和nn维系统矩阵12nuuuu-为r维输入（或控制）矢量第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常

11、系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论12nyyyy-为m维输出矢量1112121222123nnnnnbbbbbbbbbB-为nr维输入（控制）矩阵1112121222123nnnnncccccccccC-为mn维输出矩阵第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 -为 维直接传递矩阵 （输入直接传递到输出） 一般地（除特别说明），为简单起见，令 ，即不考虑输入矢量的直接传递作用。1112121222123nnnnndddddddddDm r0D第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统

12、的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论7-2状态空间表达式的模拟结构图 一、状态空间表达式的系统方块图一、状态空间表达式的系统方块图 1、什么是系统方块图及模拟结构图？ 以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。 用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。 2、状态空间表达式结构图的绘制步骤： 确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数； 每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态 变量的系数； 根据状态方程和输出方程，确定加法器和比例器； 用箭头将这些元件连接起来。第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空

13、间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 3、状态空间表达式一般形式的系统方块图 单输入-单输出系统 多输入-多输出系统 4、举例 画出 的模拟结构图。 画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图 分析：微分方程为三阶，故有3个积分器 先画出3个积分器；xaxbu210 xa xa xa xbu第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为 其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器有4个分支输入。 经过上述分析，

14、不难画出： 画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图 210 xa xa xa xbu 1223312312632xxxxxxxxuyxx 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 解仿上例 第1步，先画出3个积分器； 第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器； 第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相加； 第4步，画出输出方程的关系。 对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论7-3状态空

15、间表达式的建立（一）状态空间表达式建立的状态空间表达式建立的3 3种方式种方式 由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结； 由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得； 由系统运动的微分方程和传递函数。一、由系统方块图建立状态空间表达式一、由系统方块图建立状态空间表达式 该方法的关键是由方块图模拟结构图； 取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的； 根据实际连接写出状态方程和输出方程。 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论例1、如图第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与

16、综合机机 械械 控控 制制 理理 论论从图可知31232223221413311111KxxTKxxxTTK KKxxuTTT 状态方程1yx输出方程第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为3322211411100010010100KTKxxuTTKK KTTTyx 对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即1111()1ssszzpzpspspp 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 二、从系统的机理出发建

17、立状态空间表达式二、从系统的机理出发建立状态空间表达式1000()0100axKKxKuzppzpyx1C例 7-2 电网络如图所示，输出量为电流源，并指定以电容和2C上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论解：取电容1C和2C上的电压1Cu和2Cu及电感1L和2L中的电流1i和2i为状态变量。（四个独立储能元件，故有四个独立变量） 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论即令：11Cux22Cux13ix2

18、4ix从节点a、b、c, 按基尔霍夫电流定律列出电流方程 33221 1342244000aiixC xbC xxxcC xxi点：点：点：流经电容*注：22CduCdt的电流；2C流入节点为正；流出节点为负。从三个回路l1、l2、l3 ，按基尔霍夫定律列出电压方程 1311 31242 424132000L xxRixL xR iL xL xx第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论由以上6式消去独立变量3i和4i得1341111xxxCC 由第1式得：3223iC xxi代入4式得 由第2式得：122131131RC

19、xL xxR xRi 由3式得，4224iC xx代入5式得 2222412313242R C xL xxR xL xL xx由6式13242L xL xx第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论从上式解出：111112221221221223311212111211211244212122212212212110010()()()1()()()1()()()CCxxRRxCRRCRRCRRxxxRR RR RLL RRL RRL RRxxRR RR RLLRRLRRLRR121212112122120()()()RCRR

20、iR RL RRR RLRR1121322410000100CCxuxyxyux第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论7-3状态空间表达式的建立（一） 例7-3由即11xy22xy131dyxvdt242dyxvdt由牛顿定律，对12MM、为脱离体进行受力分析2211112212111112()()dydydyd ydvKyyBK yBMMdtdtdtdtdt221222212222()()dydyd ydvfKyyBMMdtdtdtdt第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机

21、械械 控控 制制 理理 论论13242231212123411112222412342222211()()1xxxxKBxKKxxBB xxMMMMKKBBxxxxxfMMMMM 将14xx代入整理，即得第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论f注为输入指定 和1y2y为输出11223410000100 xyxyxx112212212211113344222222222001000001001xxxxKKKBBKfMMMMxxxxKKBBMMMMM 即 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分

22、析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论l例7-4 试写出如图所示机械系统的状态空间表达式，其中K为扭转轴的刚性系数（类似弹簧刚度） B为粘性阻尼系数 T为外扭矩 J为转动惯量第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合令1x2xuT解：选择扭转轴的转角 为及其角速度 为为状态变量机机 械械 控控 制制 理理 论论由牛顿定律，得1xTKBJ即 从而有 1KBTJJJ 2121KBxxxTJJJ 而12xx指定为输出，即 1x1yx整理得：112212010110 xxuKBxxJJJxyx第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分

23、析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论u例7-5 如图是直流他励电动机的示意图，写出该系统在电枢电压作为控制作用时的状态空间表达式。e由电枢回路知 diRiLeudti解：流过电感回路的电流 和转体的角速度 为状态变量（转体有两个独立的状态变量，另一个为转角）即 1xi2x（ 为反电动势） 由动力系方程 adK iBJdt第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论由电磁感应关系 beK代入 1xi2x关系，得到112210baKRxxLJuLxxKBJL若指定角速度 为输出，则 12201xyxx若指定电动机的转角 为输

24、出，则需要增加状态变量 3x即3x32xx第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论112233012000010baKRLLxxKBxxuJJxx输出方程为 1323001xyxxx第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论若考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线形常系数微分方程( )(1)()(1)110110nnmmnmmyaya ya yb ububub u相应的传递函数为11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsbs

25、bY sW sU ssasa samn所谓实现问题，就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式所谓实现问题，就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式TxAxbuyC xdu 7-4状态空间表达式的建立（二）第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论注意：1、实现的存在条件是 11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsb sbY sW sU ssasa samn当 时，状态空间表达式中 0d 当 mnmn时，0mdb在这种情况下传递函数可写成12112211001110()()()()( )nnmnmmnmmmm

26、nnnba b sba b sbab sbabW sbsa sas a2、实现并非唯一的， TAbCd、 、可以取无穷多种形式 3、若原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点对消，系统矩阵 的元素取值不同，但其特征根是相同的。通常把这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为最小实现。最小实现。 ATxAxbuyC xdu第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论一、传递函数中没有零点时的实现（一、传递函数中没有零点时的实现（即没有输入系数项即没有输入系数项）在这种情况下，系统的微分方程为 相应的传递函数为( )(1

27、)1100( )nnnyaya ya yb u t01110( )nnnbW ssasa sa（7-22） （7-23）将(7-22)移项，并两端同除以0b(1)( )0110000nnna yaya yyubbbb 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论令则1020(2)10(1)0nnnnyxbyxbyxbyxb120230(1)10( )011210nnnnnnnyxxbyxxbyxxbyxa xa xaxub 输出方程为 0yb x第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机

28、 械械 控控 制制 理理 论论表示成矩阵形式为 112211012100100000100000101000TnnnnnbuxxACxxxxuxxxaaaaxybx 上述 A A阵为友矩阵，即主对角线上方元素为1；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论( )(1)1100( )nnnyaya ya yb u t例例7-67-6 系统的输入输出微分方程为 64176yyyyu写出其状态空间表达式。传递函数标准形式传递函数标准形式1122110121001000001000001010

29、00TnnnnnbuxxACxxxxuxxxaaaaxybx 07a 141a 26a 06b 解：对比标准形式，故 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 故状态方程为 1122330100001074161xxxxuxx 输出为 123600 xyxx二、传递函数中有零点时的实现（二、传递函数中有零点时的实现（即方程中包含输入函数的系数即方程中包含输入函数的系数）此时，系统的微分方程为( )(1)()(1)110110nnmmnmmyaya ya yb ubub ub u第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合

30、线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论相应地，系统传递函数为11101110( )mmmmnnnb sbsbsbW smnsasa sa 实现一：实现一：为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，如待实现的系统传递函数为 32321032210( )( )3( )b sb sbsbY sW snmU ssa sa sa即222 311 300 3332210()()()( )ba b sbab sba bW sbsa sa sa第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论该式可分解为 令

31、 1322101( )( )Y sU ssa sa sa则 23122 311 300 3( )( )( )()()()Y sbU sY sba b sba b sba b即原传递函数 ( )W s可分解为以下二式：311 300 31( )( )1( )( )( )()()()Y sU ssa sasaY sbU sY sba b sbab sba b 由1得， 1132210( )1( )( )Y sW sU ssa sa sa第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论可由上面“1中没有输入系数

32、项命题”求得状态方程及它的输入方程 12233011223322 3311 3200 31()()()xxxxxa xa xa xuyb uba b xbab xba b x 11112123yxyxxyxx由2式取拉氏反变换求输出方程322 3111 3100 31322 3311 3200 31()()()()()()yb uba b ybab yba b yb uba b xbab xba b x第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论或表示为 112230123100 312 322 3233011000101()

33、()()xxxxuxaaaxxyba bba bba bxb ux 其模拟结构图可仿上“1”，只是输出不同罢了。第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论对于 n 阶系统类似地有 11221101211200111110100000100000101()()()nnnnnnnnnnnnxxxxuxxxaaaaxxxyba bba bbabxx nb u 对于“1”可见两者状态方程式相同，不同的是输出方程。因此，可根

34、据传递函数中系数写出状态空间表达式。第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论实现二：实现二：书中的方法是图1-15将所有系数项等效地处理一个无系数的如此按“1”中方法求解，然后令图1-16（a）和图1-15等效，再将图1-16（a）等效变换成图1-16（b），因图1-16（b）和图1-15等效，并结构完全相同，求得传递函数后，故可求得u(0,1, )iin本题也可直接用数学方法求得。 取状态变量为输出 和输入 的多阶导数的适当组合 yu第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械

35、 控控 制制 理理 论论121312(2)(2)(3)(4)11232(1)(1)(2)(3)1221( )( )(1)(2)1121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxyuuxyuuuxyuuuuuxyuuuuuxyuuuu0u取分别用 0a1ana乘上式中的前 n项，并移项得第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论00 1011 211132222122(2)(2)(3)(4)221221222 32 2( 1)( 1)(2)11111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

36、nnnnnay ax a uay axa u auay axa u au aua ya xauauauau aua ya xauau (3)121 21 1( )( )( 1)(2)11210nnnnnnnnnnnnnauau auyxuuuuu 上式左端相加后，即为线性微分方程的左端，因此， 上式右端相加后，也应等于线性微分方程的右端。 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论即 (1)(2)11 20 1112112112211011221100( )(1)110() ()()()() nnnnnnnnnnnnnnnn

37、nnnnnnnnnxaxaxaxuauaauaaauaaaaubub ubu bu 如 mn则自然就有 0nb 等式 1112211211132200031221nnnnnnnnnnnnbbabaabaabaaa 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论或记为 1112122010010111nnnnnnnnnbabaabaab系统状态空间表达式为 1212132(1)(1)(2)11321()()(1)12110nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuuxuxyuuuuxu 第七章第七章 线

38、性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论注意到上*式 112010nnnxa xa xa x1121120112112010nnnnnnnnnnxaxaxa xa xxaxaxa xa xu 再令状态变量中第一式 得， 1nyxu第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论即 111222111012101210100001000011000nnnnnnnnnnxxxxuxxxaaaaxxxyuxx 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析

39、与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论例7-7 已知系统的输入输出微分方程为 28196740360440yyyyuu，试写出其状态空间表达式。20b 解：由微分方程得 0740a 1196a 228a 0440b 1360b 30b 302223000ba111322360baa0003122144028 3609640baaa 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论状态方程表达式为 1122331230100001360740196289640100 xxxxuxxxyxx第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与

40、综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论三、多输入三、多输入-多输出系统微分方程的实现简介（举例）多输出系统微分方程的实现简介（举例） 以双输入双输出的三阶系统为例，设系统的微分方程为 111221 121322324142ya ya ybub ub uya ya yb u2y注：虽然第一式导数最高阶为2，但式中为求得 ，需要对第一式求导 原式可写为 1111 1222132ya ybua yb ub u 2324142ya ya yb u 对每一个方程积分 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理

41、 论论由上面式子，可得模拟结构图（注意一次积分相当一个积分器，两次积分相当两个积分器） 21111 12223222111 12132222111 12132222324142()()()()()()ya ybua yb ub u dta ybu dtb ub ua y dta ybu dtb ub ua y dtya ya yb u dt第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论取每一个积分器的输出为一个状态变量

42、，如图，则根据模拟结构图可列出一种实现，11 121 122321323413342xa xxbuxa xb ub uxa xa xb u 输出： 1123yxyx写成矩阵形式： 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论1111122223234334112231000000100001xaxbuxaxbbuxaaxbxyxyx 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 7-5 7-5 状态向量的线性变换（坐标变换）状态向量的线性变换（坐标变换）一、系

43、统状态空间表达式的非唯一性 x对于任意状态变量 为什么要进行线性变换？说明状态变量不同，但实际可以通过线性交换互相转换；交换成标准形式可使后面的研究简化。选择不同的状态变量，可以得到不同的状态空间表达式。实质上不同的状态变量可以通过非奇异交换实现。 设系统为xAxBu& 00 xxyCxDu，我们可以找到一个非奇异矩阵（满秩），通过线性变换，将 x变换为 z第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论T 左边乘 1T，即得 1111000zT ATzT BuzT xT xyCTzDu&因 为 任意非奇异矩阵，故状态空间表达式非

44、唯一。新的状态空间表达式zAzBuyCzDu11AT ATBT BCCT令 即 xTz1zTx为变换矩阵（ T为非奇异阵， 1T存在） 代入原状态空间表达式得0(0)TzATzBuTzxyCTzDuT第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论例7-8 若系统状态空间表达式为 022130 xxu & 101x 03yx即 解：若取变换矩阵 16220T11011132T则变换后的状态矢量将为 11011132zTxx即 1212zx2121322zxx 亦即新的状态变量 1z、 2z是原始状态变量 1x2x的线性组合。 第七

45、章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论又 111010262011131320232ATAT111012011301262036020BTBCCT 1110111(0)(0)213121zTx 从而得交换后的状态空间表达式为第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论11111010231zTAT zTBuzu &160TyC T zz 1110021zTx书本2）、3）举了其他交换矩阵下（我们也可举出任意的非奇异矩阵），可以得到不同的状态空间表达式。第七章

46、第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论二、系统特征值的不变性及系统的不变量二、系统特征值的不变性及系统的不变量1、系统特征值的概念 系统 xAxBu的特征值，也即特征方程： yCxDu系统特征值就是系统矩阵 A0IA的根。 n n若 方阵 有n个特征值； 实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对 共轭复数； A为是实数对称方阵，则其特征值都是实数。 A第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论T2、系统的不变量与特征值的不变性定理：定理：系统

47、 xAxBu&yCxDu经非奇异变换后（交换阵为 ），其特征值不变，且特征多项式11100nnnIAaaaL的系数 1na2naL1a0a也不改变。 T证明：证明： 设变换矩阵 为非奇异，则系统可变换为其特征方程为 10IAITAT而 11111ITATT TTATTTTAT第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论11TIA TTIA T1T TIAIA将特征方程写成多项式形式 11100nnnIAaaaL而特征多项式的系数 1na2naL1a0a唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，即这些系数 1na2naL1a0a

48、也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。设 A3、特征变量i为 的一个特征值，若存在等个非零矢量 ip，满足 iiiApp，则称 ip为 A的对应于 i的特征矢量。 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论例7-9 试求 01161166115A 的特征矢量。 A解： 的特征方程为11611606115IA即 32611601230解之 11 22 33 对应于 11 的特征矢量 1P第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论设 111213

49、1pPpp，按特征矢量定义 11 1APP则有 11112121313101161166115pppppp 亦即 1121310PPP11213161060PPP11213161160PPP解之得 210P 1131PP第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论令于是 11311PP1101P 同理，可以算出对应于2 时的特征矢量2124P 对应于3 时的特征矢量3169p 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论三、状态空间表达式变换为对角线标准型和约

50、旦标准型三、状态空间表达式变换为对角线标准型和约旦标准型 1zTx xAxBu即使&1zTx定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，12,n L1、系数矩阵A具有任意形式yCx经过变换， 化为 1zJzTBu&则必存在非奇异矩阵T，经过变换，状态方程化为对角线标准型。yCTz第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论其中 如果特征值包含有q个重根时，则将状态方程化为约旦标准型12100nJTAT OO1111110100000qnJOOO第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综

51、合机机 械械 控控 制制 理理 论论 证明：证明：先证特征值无重根 设是 A 的 n 个互异特征根 ， 是 A 对应于这些特征值的特征矢量。 由于特征值 互异，故特征矢量 线性无关。它们构成的矩阵 必为非奇异，即 存在。 由特征矢量的意义： 1,2,inLiP12,n L12,nP PPL12nTPPPL1T11 1APP1,2,inL第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论121211221212120000nnnnnnnATA PPPAPAPAPPPPPPPTLLLLOO两端左乘1T得到：12100nTAT从而，证得经

52、非奇异矩阵T变换后，系统矩阵为对角矩阵第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 7-5 7-5 状态向量的线性变换（坐标变换）状态向量的线性变换（坐标变换）1qPPL当 A 的特征值包含 q 个重根时不加证明地给出变换矩阵 T ：其中， 是对应于 (n-q) 个单根的特征矢量，求法同前，对应于 q个 重根的各向量 的求得，应根据下式计算显然， 仍为 对应的特征矢量，其余 则称之为广义特征矢量。 121qqnTPPPPPLL1qnPPL11 111221110qqqPAPPAPPPAPP L L L1P12qPPL第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论讲了三个问题：讲了三个问题： 特征值的求法特征值的求法 特征向量的求法特征向量的求法 状态空间表达式线性变换状态空间表达式线性变换 当矩阵当矩阵 A 为任意矩阵形式时为任意矩阵形式时 a、特征值互异、特征值互异