第二章流体静力学

1、工程流体力学工程流体力学中国地质大学工程学院力学课部中国地质大学工程学院力学课部石奎石奎第二章流体静力学第二章流体静力学v2-1流体静压强特性流体平衡微分方程流体静压强特性流体平衡微分方程v2-2流体静力学基本方程流体静力学基本方程v2-3液体的相对平衡液体的相对平衡v2-4静水总压力计算静水总压力计算v2-5浮力定律及固体在液体中的沉浮问题浮力定律及固体在液体中的沉浮问题 2-1流体静压强及其特性流体静压强及其特性 v流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力。体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力。PAP表面力表面

2、力静压强静压强图21 设截面面积为设截面面积为 ，则，则对对的平均静压强为的平均静压强为 AAPp APp若在截面上任一点截取一微小面积若在截面上任一点截取一微小面积 ，作用在，作用在上的作用力为上的作用力为 ，则，则 AP若若 趋向于无穷小，则表示该点的静压强为趋向于无穷小，则表示该点的静压强为 AdAdPp 二、静压强两个特性二、静压强两个特性 （1 1）静压强的垂向性：流体静压强的方向总是）静压强的垂向性：流体静压强的方向总是垂直于作用面并指向作用面内，即沿作用面的内法垂直于作用面并指向作用面内，即沿作用面的内法线方向。线方向。 pnptp切向压强切向压强静压强静压强法向压强法向压强图2

3、2v 假假 设：设：在静止流体中，流体静压强方向不与作用面在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，与作用面的切线方向成相垂直，与作用面的切线方向成角角切向压强切向压强p pt t法向压强法向压强p pn nv 则存在则存在流体流动流体流动与假设静止流体相矛盾与假设静止流体相矛盾ABCFED（2 2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处沿各个方向上的静压强大小相等，即沿各个方向上的静压强大小相等，即xyzppppv 证明如下证明如下 在静止的流体内在静止的流体内部取一个微四面体部取一个微四面体OABCOABC形状的流体，建形状的流体，建立如图立

4、如图2-32-3所示坐标所示坐标系。系。 OABCxyzdxdydzxpypzpnp 图23四个平面上受到的静水总压力分别为：四个平面上受到的静水总压力分别为： dydzpPxx21dxdzpPyy21dydxpPzz21Pp dA 由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切力由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于零。在任意轴上投影的总和等于零。 0 xF 0yF 0zF 设设 、 、 分别为沿三个坐标轴方向上的单位分别为沿三个坐标轴方向上的单位质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：XYZdxdydzXFx61dxdydzYFy6

5、1dxdydzZFz61由平衡条件易知由平衡条件易知 061X),cos(21, 0dxdydzxnpdAdydzpFxx061Y),cos(21, 0dxdydzynpdAdzdxpFyy110,cos( , )026zzFpdydxpdAn zZdxdydz其中其中dydzxndA21),cos(dydxzndA21),cos(dzdxyndA21),cos(ppppzyxv 结论结论由于斜平面由于斜平面ABCABC的方位是任意的，上式即证明的方位是任意的，上式即证明了在同一点处各个方向上的静压强值是相等了在同一点处各个方向上的静压强值是相等的。的。 因为流体是连续介质，不同的点上流体静压

6、强大小因为流体是连续介质，不同的点上流体静压强大小一般不相等，故各点的静压强是空间坐标位置的单值函一般不相等，故各点的静压强是空间坐标位置的单值函数，即：数，即：),(zyxfp 其全微分为其全微分为dzzpdyypdxxpdp2-2流体平衡微分方程流体平衡微分方程 在静止的流体中取一微六面体，如图在静止的流体中取一微六面体，如图2-42-4所示。取六面所示。取六面体内中心点体内中心点C C点，设点，设C C点的静压强为点的静压强为 ，过，过C C点作轴的平行线点作轴的平行线交左右侧面分别为交左右侧面分别为A A、B B点，将静压强按泰勒级数展开，并略点，将静压强按泰勒级数展开，并略去高阶微量

7、，则去高阶微量，则p2Ap dxppx2Bp dxppxzyxxppddd21pzyxxppddd21CAB dx图24由于微六面体处于平衡状态，所以由平衡条件得由于微六面体处于平衡状态，所以由平衡条件得 022, 0XdxdydzdydzdxxppdydzdxxppFX）（）（022, 0YdxdydzdxdzdyyppdxdzdyyppFy）（）（022, 0ZdxdydzdydxdzzppdydxdzzppFz）（）（化简得：化简得：101010pXdxxpYdyypZdzz流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式压差公式压差公式)(ZdzYdyXdxdp

8、等压面方程等压面方程 0ZdzYdyXdx重力等压面方程重力等压面方程 Cz 这表明，对于重力流体等压面是水平面；同一容器中装有两这表明，对于重力流体等压面是水平面；同一容器中装有两种互不相溶流体时，其分界面也必为等压面。种互不相溶流体时，其分界面也必为等压面。v 举例说明（图举例说明（图2-52-5） 液体与气体的分界面，即液体的自由液面就液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。气体的压强。 互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。0pp 等压面等压面等压面等压面

9、0pp 油油水水图252-32-3流体静力学基本方程流体静力学基本方程a.a.质量力只有重力质量力只有重力b.b.均质不可压缩流体均质不可压缩流体P0G = mg一、重力作用下的静力学基本方程式一、重力作用下的静力学基本方程式gZYX, 0, 0图26压差公式压差公式gdzdppzcg流体静力学流体静力学基本方程基本方程v 适用范围适用范围重力作用下的平衡状态重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体均质不可压缩流体二、流体静力学基本方程的物理意义二、流体静力学基本方程的物理意义 表示单位重量流体所具有的压强势能，简称压表示单位重量流体所具有的压强势能，简称压能；能； /pg 表示单位重量流体相对于

10、基准面所具有的位置势能，表示单位重量流体相对于基准面所具有的位置势能，简称位能；简称位能； z 表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。 C 在重力作用下，静止流体中各点的单位重量流体的总在重力作用下，静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。势能是相等的。三、流体静力学基本方程的几何意义三、流体静力学基本方程的几何意义 表示该点到基准面的高度，称为位置水头，简称位水头；表示该点到基准面的高度，称为位置水头，简称位水头； z 称为压强水头称为压强水头 ，简称压水头；，简称压水头；/pg 称为总水头称为总水头 。Cv 单位重量流体具有的能量用液柱高

11、度来表示称为单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头水头。 0p基准面基准面完全真空完全真空gp /111p1zgp /22p22zAA静水头线静水头线 在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的静水头线是水平直线静水头线是水平直线图27四、四、 静力学基本方程的另一种形式静力学基本方程的另一种形式pzcg在静止液体中任取两点在静止液体中任取两点l l和和2 2点点1 1和点和点2 2压强各为压强各为p p1 1和和p p2 2， 位置坐标各为位置坐标各为z z1 1和和z z2 2另一表达式另一表达式1212ppzzrgrgP0P1P2Z1

12、Z212图2800ppzzgg0ppgh A A点与自由液面之间有点与自由液面之间有 根据根据1212ppzzggh=zh=z0 0-z -z 静止流体静止流体中任意点中任意点的液深的液深ZO0ppAzh0z图29五、压强的计量单位和表示方法五、压强的计量单位和表示方法1.1.计量单位计量单位: :第一种单位是从压强的基本定义出发，用单位面积上的力第一种单位是从压强的基本定义出发，用单位面积上的力出发，其单位为出发，其单位为 。Pa51atm=760mmHg=1.013 10 Pamm760第二种用大气压来表示，国际上规定一个标准大气压相当第二种用大气压来表示，国际上规定一个标准大气压相当于于

13、 水银柱，即水银柱，即 第三种单位用工程大气压表示，即第三种单位用工程大气压表示，即41at=736mmHg=9.8 10 Pa2.2.压强的表示方法压强的表示方法绝对压强：绝对压强：以完全真空时的绝对零压强以完全真空时的绝对零压强(p(p0)0)为基为基 准来计量的压强称为绝对压强准来计量的压强称为绝对压强, ,用用 表示。表示。p相对压强：相对压强：以当地大气压强为基准来计量的压强称以当地大气压强为基准来计量的压强称 为相对压强，用为相对压强，用 表示。表示。 mp真空压强：真空压强：当压强比当地大气压强低时，流体压强当压强比当地大气压强低时，流体压强 与当地大气压强的差值称为真空度，用与

14、当地大气压强的差值称为真空度，用 表示。表示。vp 绝对压强计示压强真空绝对压强app 大气压强大气压强app app 完全真空完全真空p0pmppp00pppmpppv0六、压强的量测六、压强的量测液柱式测压计液柱式测压计U U型管测压计型管测压计U U型管测压差计型管测压差计倾斜微压计倾斜微压计h10ph12AphpAhphpoyxapa2-4液体的相对平衡液体的相对平衡gZYaX, 0,)(gdzadxdp()paxgzC 一、液体随容器作等加速直线运动一、液体随容器作等加速直线运动建立如图所示动坐标系建立如图所示动坐标系0pC 00()ppaxgzpgh液深液深zxgah1.1.压强分

15、布压强分布2.2.等压面方程等压面方程Cgzax3.3.自由液面方程自由液面方程0axgz4.4.等压面倾角等压面倾角gaarctg思考一下：思考一下：绝对静止和相对平衡两种情况下，液深有什么异同？绝对静止和相对平衡两种情况下，液深有什么异同？斜平面方程斜平面方程二、液体随容器作等角速度旋转运动二、液体随容器作等角速度旋转运动Axr2y2x2y rAzoxxyyop0g建立如图所示动坐标系建立如图所示动坐标系gZyYxX,22)(22gdzydyxdxdp222222()22()2xypgzCrgzC1.1.等压面方程等压面方程Cgzyx222222旋转抛物面方程旋转抛物面方程 2.2.压强分

16、布压强分布22000()2rppgzzpghg液深22()2hrzg3.3.自由液面方程自由液面方程 0)(2022zzgr4.4.液面抛物面高度液面抛物面高度 gRH22022-5静水总压力计算静水总压力计算工程背景工程背景 双曲拱坝双曲拱坝贮油罐贮油罐建立如图示坐标系建立如图示坐标系 平面平面abab内一点内一点A A处的静压强为处的静压强为0sinppgy1.1.总压力计算总压力计算 00(sin)()CAAPdPpgydApghA通常取大气压通常取大气压 ，故，故 00pCCPgh Ap AChxCAydASy A平面形心点的淹没深度平面形心点的淹没深度2.2.压力中心压力中心2sin

17、sinDxAPyydPgy dAgIAyIyAyAyIyCxCCCCxCD2合力矩定合力矩定理理同理同理AyIxxCxyCCD式中 为对自身形心轴的惯性积，在实际工程中，受压面通常是轴对称平面 ，通常等于零 。 xyCI压力作用中心D一定位于平面形心点C以下 例一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径例一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径R=1m，形心在水下的淹没深度，形心在水下的淹没深度hc=8m，试用解析法计算作，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。用于闸门上的静水总压力。hchDFPLO解：解：2246kNPccFpAghR448.03mCDCCCCRIhhhhAhA

18、（1）静水总压力）静水总压力（2）压力作用点）压力作用点二、液体对曲面面壁的作用力二、液体对曲面面壁的作用力 1.1.总压力计算总压力计算zxChhdPOdcbadAzAxAzdAxdAdAzdPxdPdP微小面积上的微压力微小面积上的微压力dPghdAcoscosxdPdpghdAsinsinzdPdpghdA分解分解水平总压力水平总压力cosxxxxCxAAAPdPghdAghdAgh A整个曲面在铅垂方向上的投影面积整个曲面在铅垂方向上的投影面积xA投影面积的形心淹没深度投影面积的形心淹没深度Ch铅垂总压力铅垂总压力sinzzzzpAAAPdPghdAghdAgV曲面上方液柱的体积，称为

19、压力体曲面上方液柱的体积，称为压力体PV总压力总压力22zxPPPzxParctgP2.2.总压力的作用点总压力的作用点 ABPxPzPPDO 总压力总压力 的作用点：作的作用点：作出出 及及 的作用线，得交的作用线，得交点，过此交点，按倾斜点，过此交点，按倾斜角角作总压力的作用线，作总压力的作用线，与曲面壁与曲面壁ABAB相交的点，即相交的点，即D D为总压力为总压力F F的作用点。的作用点。PxPzP总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，即压力中心。点，即压力中心。总压力的作用线通过点总压力的作用线通过点: : 和和 作用线的交

20、点。作用线的交点。xPZP3.3.压力体的概念压力体的概念 v 压力体体积的组成：压力体体积的组成：（1 1）受压曲面本身；）受压曲面本身；（2 2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面；）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3 3）自由液面或自由液面的延长线。）自由液面或自由液面的延长线。压力体压力体bAVabcdp v 压力体的种类：压力体的种类：实压力体实压力体虚压力体虚压力体 实压力体实压力体: :液体与压力体位于曲面的同一侧，液体与压力体位于曲面的同一侧， 方向铅直方向铅直向下，通常用正体积表示。向下，通常用正体积表示。ZP 虚压力体：液体与压力体位于曲面的两侧，虚压力体：液体与压力体位于曲面

21、的两侧， 方向铅直方向铅直向上，通常用负体积表示。向上，通常用负体积表示。ZPdd/2cba水水例试绘制下图中曲面上的压力体。例试绘制下图中曲面上的压力体。（a）（b）abcbacabab段曲面段曲面( (实实压力体压力体) )bcbc段曲面段曲面( (虚虚压力体压力体) )bacabcabc曲面曲面( (虚虚压力体压力体) )（a a）左侧水体作用左侧水体作用右侧水体作用右侧水体作用bcbc段曲面段曲面( (实实压力体压力体) )cba左侧水的作左侧水的作用用右侧水的作右侧水的作用用cbacbaabcabc曲面曲面( (虚虚压力体压力体) )cba（b b）题）题（c c）dHdHhabab

22、ddHdHhababd 例例如图为一溢流坝上的弧形闸门如图为一溢流坝上的弧形闸门ed。已知：。已知：R=8m，门宽门宽b=4m，a=30，试求：作用在该弧形闸门上的，试求：作用在该弧形闸门上的静水总压力。静水总压力。 解：闸门所受的水平分力为解：闸门所受的水平分力为Px，方向向右，方向向右 即：即：kNRbRAghPxcx8 .940sinsin2148 . 9kNRRRRRbgVPz7 .281cos4sincos21360308 . 92kNPPPzx9822217arctanxzPPkNAgHAgHPxcxcx7 .1445 . 025. 0415 . 08 . 92211kNLDgVP

23、z09.232438 . 92kNPPPzx37.272258arctanxzPP2-6浮力定律及固体在液体中的浮力定律及固体在液体中的沉浮问题沉浮问题 一一 、浮力（阿基米德）定律、浮力（阿基米德）定律 Pz1JKABCDEFPx2PzPx1 Pz2静水总压力静水总压力 可以分解成水平分力可以分解成水平分力 、 和垂直分力和垂直分力 PxPyPzP1 1、水平方向的压力、水平方向的压力120 xxxPPPxA左右曲面的投影面积相等左右曲面的投影面积相等 0yP 同理同理2 2、铅垂方向的压力、铅垂方向的压力作用于上表面的铅垂分力作用于上表面的铅垂分力 1zACEDBJkPgV作用于下表面的铅

24、垂分力作用于下表面的铅垂分力 2zACEDFJkPgV铅垂方向的压力铅垂方向的压力21zzzABEFPPPgVgV 3 3、浮力定律、浮力定律FPgV 根据重力根据重力G G与浮力与浮力F F的大小，物体在液体中将三种不同的存在的大小，物体在液体中将三种不同的存在方式：方式： GF （1）沉体：，物体继续下沉。）沉体：，物体继续下沉。GF （2）潜体：，物体可以在流体中任何位置保持平衡。）潜体：，物体可以在流体中任何位置保持平衡。GF （3）浮体：，物体上升，减少浸没在液体中的体积，）浮体：，物体上升，减少浸没在液体中的体积， 当所受浮力大小等于重力，达到平衡。当所受浮力大小等于重力，达到平衡

25、。u阿基米德原理阿基米德原理: : 液体作用在沉没或漂浮物体上的总压力的方向垂直向液体作用在沉没或漂浮物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于物体所排开液体的重量。浮力作用线通过压上，大小等于物体所排开液体的重量。浮力作用线通过压力体的几何中心，称为浮心力体的几何中心，称为浮心D D。二二 、固体沉浮问题、固体沉浮问题三、平衡及稳定性问题三、平衡及稳定性问题稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡1.1.平衡：是指物体在液体中既不上浮也不下沉，也不发生平衡：是指物体在液体中既不上浮也不下沉，也不发生转动时的一种状态。转动时的一种状态。2.潜体的稳定性潜体的稳定性潜体平衡的稳定性条件：潜体平衡的稳定性

26、条件：（1）作用在潜体上的浮力和重力大小相等；）作用在潜体上的浮力和重力大小相等；（2）重力和浮力对任一点的力矩代数和为零，即重心和浮）重力和浮力对任一点的力矩代数和为零，即重心和浮心在同一条铅垂线上。心在同一条铅垂线上。平衡的稳定性：平衡的稳定性：指已经处于平衡状态的潜体，由于某种外指已经处于平衡状态的潜体，由于某种外来干扰使之脱离平衡位置时，潜体自身恢复平衡的能力。来干扰使之脱离平衡位置时，潜体自身恢复平衡的能力。1.1.稳定平衡：稳定平衡：浮心浮心D D在重心在重心C C之上。在解除使物体发生倾斜的外之上。在解除使物体发生倾斜的外力后，浮力和重力所组成的恢复力偶使它恢复到原来的平衡力后，浮力和重力所组成的恢复力偶使它恢复到原来的平衡位置，如图（