第七章 弯曲变形

1、7- -1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题7- -2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程7- -3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形7- -6 简单静不定梁简单静不定梁7- -5 梁的刚度校核梁的刚度校核 7- -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7.1 7.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 7.2 7.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 )(1xfw )(2xfxywddtantantanddxywzEIM12/32)1 ()(1wwx 1)1 (2wzEIxMw)( 7.3 7.3 用积分法求梁的弯曲变形

2、用积分法求梁的弯曲变形zEIxMw)( CxxMwEIEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(zDCxxxxMwEI d)d)(z0 x0|0 xw0|0 x0 x0|0 xw0|0 xlx 0|lxw0|lxCxxMEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z021|xaxww021|xaxBBw)()(lxFxM)()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(21ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(210 x0A0Aw0212CFl0613DFl221Fl

3、C361FlD EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlB22EIFlwB33lFbFAlFaFB11xlFbM )0(1ax )(222axFxlFbM)(2bxa11xlFbwEI 12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw)(222axFxlFbwEI 222222)(22CaxFxlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIw12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw222222)(22CaxFxlFbEI22232322

4、)(66DxCaxFxlFbEIwaxax21|21axaxww21|21021 DD)(62221bllFbCC01x0Awlx 0Bw得：)3(622211lbxlFbEI122311)(6xlbxlFbwEI2222212)(3)3(6axbllbxlFbEI32222222)()(6axblxlbxlFbwEIlx 2EIlalFabB6)( ba EIblFbwl48)43(2227.4 7.4 用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形2/2qlM 解：解：CMCqCwwwEIMl162CMwEIql38454CqwEIqlEIMlEIql38417163845424AMAqAA

5、MEIMl3AqEIql243EIqlEIMlEIql24532433CCBlwwtan2CBCCtanCCBlww2EIqlEIlq1288)2(44CwEIqlEIlq486)2(33CEIqllEIqlEIqlwB3847248128434EIqlCB483解：解：EIqlEIMlBC243312EIqlEIlqC486)2(3311288)2(441qlEIlqwCEIqllwBC482412EIqlBC24323EIqllwBC482323一、一、 梁的刚度条件梁的刚度条件 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(s

6、tiffness condition)：式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。lwlwlwmaxmax7.5 7.5 梁的刚度校核梁的刚度校核 二二 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最

7、大挠度均出现在跨中，它们分别为22max125. 08qlqlMEIqlEIqlw44max0130. 03845(2) 调整跨长和改变结构的体系 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为22max0214. 02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000. 01622238425(a)而此时外伸端D和E的挠度也仅为)(207000. 02)2(224)2(84234EIqlaEIalqaaEIalqEIqawwED 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使

8、静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。7-6 7-6 简单静不定梁简单静不定梁一、基本概念一、基本概念超静定梁：梁的约束力数大于有效平衡方程数。多余约束：多余维持平衡所必须的约束。超静定次数：等于多余约束或多余约束力的数目。二、求解方法二、求解方法1.解除多余约束，选取静定基，建立相当系统。2.比较变形，列变形协调条件。3.由物理关系建立补充方程。4.利用静力平衡条件求其它约束力。静定基：将超静定结构变成静定结构时的相当系统。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA求梁的约束力，梁的抗弯刚度为EI

9、。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1）判定超静定次数，选取静定基）判定超静定次数，选取静定基 在梁的在梁的A和和B处各有处各有3个和个和1个约束个约束力，独立平衡方程数等于力，独立平衡方程数等于3，所以，所以是一次超静定问题。选取静定基是一次超静定问题。选取静定基如图如图(b)(b)所示。在去掉约束处用一所示。在去掉约束处用一未知力未知力 代替，如图代替，如图(c)(c)所示。所示。ByF2）进行变形比较，列协调条件）进行变形比较，列协调条件为了使静定基的变形与原超静定为了使静定基的变形与原超静定梁相同，梁相同，B处位移必须为处位移必须为0 0。将图。将图(c)(c)等效如图等效如图(d)(d)所示。变形协调所示。变形协调条件为：条件为：(d)ABCFByABFC0)()( ByFBFBByyy三、例题三、例题例例7-87-8 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA3）由物理关