第6章应力应变分析

1、第六章 应力应变状态分析PPAAAA应力分析：应力分析：研究一点的应力状态研究一点的应力状态目的：目的：1）为判断受力构件哪一点，什么方向最危险；）为判断受力构件哪一点，什么方向最危险； 2）为复杂受力情况下的强度计算作好准备。）为复杂受力情况下的强度计算作好准备。第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析xyzxyxzxyzyxyzzxzy 围绕构件内一点截取一无限小正围绕构件内一点截取一无限小正六面体称为六面体称为。1）单元体尺寸无限小，可代表一点； 2）有三组互相垂直的面，其上应力代表了三组互相平行的面上应力，大小相等，方向相反；3）当单元体应力确定，其它平面上的应力可用截面法根据静

2、力平衡方程求出。描述一点应力状态：9个应力分量 6个独立应力分量 第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析单元体利用单元体的理由：利用单元体的理由：第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析 若所取单元体各面上只有正若所取单元体各面上只有正应力，而无剪应力，此单元体称应力，而无剪应力，此单元体称为为。123 只有正应力，而无剪应力的只有正应力，而无剪应力的截面称为截面称为。 主平面上的正应力称为主平面上的正应力称为。 一点的应力状态有三个主应力，按其一点的应力状态有三个主应力，按其代数值排列代数值排列：321第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析0031or000321oro

3、r123、 均不为零FFxxxxxx0nFdA x y xy yx n y y x x xy xy yx yx x y yx xy x y yx xy sin)cos(dAxy cos)cos(dAx cos)sin(dAyx sin)sin(dAy00 FdA cos)cos(dAxy sin)cos(dAx sin)sin(dAyx cos)sin(dAy0 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx 2sin2cos22xyyxyx22)2sin2cos2()2( xyyxyx22)2cos2sin2(xyyx2

4、222)2()2(xyyxyx y y x x xy xy yx yx 1,xxyD 2(,)yxyDCx xy y yx x xy y yx n 2 D 单元体与应力圆之间的一一对应关系：点面对应点面对应倍角对应倍角对应转向一致转向一致0tan2主应力公式：主应力公式：22maxmin22xyxyxy主平面方位：主平面方位：y y x x xy xy yx yx 1D2DCx xy y yx x xy y yx 022xyxymaxminn 2 D y y x x xy xy yx yx 1n1 1 2 2 例例试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力试用图解法求图

5、示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。的方位。MPa50MPa30MPa30解：已知,50MPax,30MPax,30MPayo1B2B1D2DC50303030,501OB;3011DB,302OB;3022DB取: 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析o1B2B1D2DC503030301A2A13,10OC503040)()(2221121DBCBr,6050101MParOC,4050103MParOC, 0202,75. 0403021110CBDBtg,87.3620,43.180MPa50MP

6、a30MPa3011330=18.43MPa50)4060(21)(2131max第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析MPa20例试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知, 0 x,20MPax, 0y, 01OB;2011DB, 02OB;2022DB取: 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。o1B2BC1D2D2020第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析MPa20o1B2BC1D2D1A2A132020, 0OC20r,201MPar ,203MPar, 02MPa20)2020(21)(2131max,90

7、20 4500=45201133第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析12xyz3123第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析yxyzxyxzxzyxyzzxzy123三向应力圆三向应力圆123123123123第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析123maxmin231max最大剪应力最大剪应力123 最大剪应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平面成45角。第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析PPEE1 1 2 2 3 3 1 1123221333121()1()1()EEE 1 1 2 2 3 3 1E2E

8、3EOR1122331111Ex y z xy xz yx yz zy zx xyxyyzyzzxzxGGG1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 平面应力状态下的广义胡克定律平面应力状态下的广义胡克定律第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析111()xxyyyxxyxyzxyEEGE 000zzxzy 这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，只有两个是独立的。中，只有两个是独立的。第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析例例边长为边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为模量

9、为E 、泊桑比为、泊桑比为 ，顶面受铅直压力，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的作用，求钢块的应力应力 x 、 y 、 z 和应变和应变 x 、 y 、 z 。Pxyzxyz解：解： 由已知可直接求得：,2aPAFNy, 0z, 0 x第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析Pxyzxyz,2aPyx)0(10yxE)0(1xyyE)(01yxzE,)1 (1222EaPEyyy2)1 ()(EaPEyyz第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析例97已知E=10GPa、=0.2，求图示梁nn 截面上 k 点沿30方向的线应变 30。nnk1m1m2mAB2001507575kkNP

10、1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223bhQbbhhbhQbISQnnzzn89)8/3()4/(123*nnk1m1m2mAB2001507575kkNP1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223MPabhQn1125. 030020086000989nnk1m1m2mAB2001507575kkNP1230MPaMPaxyx1125. 0, 0,130-6030-60MPaxxx847. 0234260sin60cos2230MPaxxx153. 02342)120sin()120cos(2

11、260nnk1m1m2mAB2001507575kkNP123030-6030-60,847. 030MPaMPa153. 060536030301016. 81010)153. 0(2 . 0847. 0)(1Edxdydzdx+dxdy+dydz+dzdxdydzdV )()(dzdzdydydxdxdV)1)(1)(1 (dzdzdydydxdxdxdydz)1)(1)(1 (321 dxdydz第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析单元体单位体积的改变单元体单位体积的改变dVdV变形前：变形前：变形后：变形后：)1 (321 dV略去高阶小量略去高阶小量321dVdVdV代入广

12、义胡克定律代入广义胡克定律dxdydzdV 变形前：变形前：变形后：变形后：)1 (321 dVdVdVdV)(21321E第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析令令)(31321m)21 (3EKKmm称为，K 称为。体积应变取体积应变取决于三个主决于三个主应力的代数应力的代数和，与三主和，与三主应力之间的应力之间的比值无关。比值无关。纯剪切状态：纯剪切状态：321, 0, 可见可见剪应力并不引起体积应变剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为其体积应变可改写为0)(21zyxE 第一不变量：第一不变量：)(21321E第六章第六章 应力应变

13、状态分析应力应变状态分析321zyx某点正应力之和为常数某点正应力之和为常数应变能：应变能：构件在外力作用下发生弹性变形，外力在构件在外力作用下发生弹性变形，外力在相应的位移上作功，此功将转变为一种能力储存在相应的位移上作功，此功将转变为一种能力储存在构件中，把构件因发生弹性变形而储存的能量称为构件中，把构件因发生弹性变形而储存的能量称为应变能。应变能。应变能密度（比能）：应变能密度（比能）：单位体积内储存的应变能。单位体积内储存的应变能。第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析dxdzdy dxdydzlddFdWdVN21)(21d(l)2121dxdydzdxdydzdVdVVdx

14、dydz )(21)(21dxdydzdxdydzdV21dxdydzdVdVdVV第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析)(21332211V)(221133221232221E第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析12xyz3yxyzxyxzxzyxyzzxzy)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxV22222221)(221zxyzxyxzzyyxzyxGE 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+ud 状态状态1受平均正应力受平均正应力 m作用，因各向均匀受力，故只有作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改

15、变，而无形状改变，相应的比能称为。 状态状态2的的体积应变：体积应变：0)()()(213212mmmE 状态状态2无无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为体积改变，只有形状改变，相应的比能称为。 第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+ud2321222)(6213221)323(21EEEVmmmV2321133221232221)(621)(221EEVVVVd)()()(61213232221EVd第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析例例边长为边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模的一立

16、方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为量为E 、泊桑比为、泊桑比为 ，顶面受铅直压力，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体积作用，求钢块的体积应变应变 V 和形状改变比能和形状改变比能uf 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 x第六章第六章 应力应变状态分析应力应变状态分析 x y z,2aPyx)0(10yxE23221, 0aPaP222321)1)(21 ()0(21)(21EaPaPaPEEV42222222223)1)(1 ()()()(61EaPaPaPaPaPEuf例例910证明弹性模量证明弹性模量E 、泊桑比、泊桑比

17、 、剪切、剪切弹性模量弹性模量G 之间之间的关系为的关系为 。)1 (2EG 3 1证明：证明： 纯剪应力状态比能为纯剪应力状态比能为212121Gu321, 0,用主应力计算比能用主应力计算比能222213322123222121)00(2)(021)(221EEEu21uu 22121EG)1 (2EG第五章第五章 杆件的变形与刚度计算杆件的变形与刚度计算98 平面应力状态下的应变分析平面应力状态下的应变分析 任意方向的线应变任意方向的线应变KABCxyxyd(x)Rd(R)coscos)()(xxdRdxcosxR2coscoscos)(xxxxRRd x 对对 的影响的影响KABCxy

18、xyd(y)Rd(R)sinsin)()(yydRdysinyR2sinsinsin)(yyyyRRd y 对对 的影响的影响KABCxyxyyx yRd(R)cos)(xyyRdsinyRcossinsincos)(xyxyyyRRd x y对对 的影响的影响x yx ycossinsincos22xyyx cossinsincos22xyyx改写为改写为2sin22cos22xyyxyx主应变主应变22)2()2(2xyyxyx主应变（主应力）的方位角主应变（主应力）的方位角yxxytg02第五章第五章 杆件的变形与刚度计算杆件的变形与刚度计算98 平面应力状态下的应变分析平面应力状态下的

19、应变分析 任意方向的线应变任意方向的线应变KABCxyxyd(x)Rd(R)coscos)()(xxdRdxcosxR2coscoscos)(xxxxRRd x 对对 的影响的影响KABCxyxyd(y)Rd(R)sinsin)()(yydRdysinyR2sinsinsin)(yyyyRRd y 对对 的影响的影响KABCxyxyyx yRd(R)cos)(xyyRdsinyRcossinsincos)(xyxyyyRRd x y对对 的影响的影响x yx ycossinsincos22xyyx cossinsincos22xyyx改写为改写为2sin22cos22xyyxyx主应变主应变2

20、2)2()2(2xyyxyx主应变（主应力）的方位角主应变（主应力）的方位角yxxytg02第五章第五章 杆件的变形与刚度计算杆件的变形与刚度计算第五章第五章 杆件的变形与刚度计算杆件的变形与刚度计算第五章第五章 杆件的变形与刚度计算杆件的变形与刚度计算1 Mpa30Mpa30Mpa120Mpa40 1D2D3D12 23 13 xDyDMpa1302 Mpa303 Mpa3023 Mpa3012 Mpa5013 Mpa8013 Mpa80max 321 9102001125.025.025.0125.025.025.01610303013031035.0025.065.041105.6 52

21、105.2 42105.3 41max105.6 oxyMN LUuvMNLxyyyvvyxxyyyuxxvxxuujviuU),(yxuu ),(yxvv 点的横向位移：点的横向位移：N),(yxxuuxxuu点的纵向位移：点的纵向位移：N),(yxxvvxxvv的长度近似认为：的长度近似认为：NMuxxuuxNMxxuxMNMNNMMNxlim0 xxxxuxxlim0 xuyvxuyxxuxyvy同理可得：同理可得：oxyMN LUyxxyuvMNLxyyyvvyyuxxvxxuuyvxuyxxuxvxxuxxxvxyxy1tanxvxvxyyuyx同理可得：同理可得：)2(lim00N

22、MLLMMNxyyxxy)(yuxv)(yuxvyvxuxyyxxuxyvyzwz)(yuxvxy)(zvywyz)(xwzuzxzkyjxikwjviuUzzyzxyzyyxxzxyx212121212121)(21TUUOxyjvi uUyxOoxiyjrMMUvuv ux iyj jviuU jviujvi u ijviiuijvii u uvu sincosjyixrjyixr vvu cossin sincosyxx cossinyxyxux 而xyyuxxxu sincosyuxu sin)sincos(cos)sincos(yvyuxvxu cossinsincos22xyyx)

23、sin(coscossin)(222 xyyxyx同理得 cossinsincos22xyyxx)sin(coscossin)( 222 xyyxyx。则：，分别记为，若将 yxx 2sin22cos22xyyxyx 2cos22sin22xyyxxyyx 、22xyyx 、1 1 2 2 3 3 1 )(1)(1)(1213331223211 EEE1 1 2 2 3 3 E1 E2 E3 OR3213211111 E332211212121 u)(31321 m令令：)(21)(21)(21213313223211 EEE)(221133221232221 Efvuu mmmmmmvu 212121)(mmmmEE Em ）（ 21mm 2322)21 ( 3mE 2321)(6)21 ( 3 E)(31133221232221 Euf)()()(61213232221 E 脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料bs 0n0 脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料bs 0n0 bsbs ,1 2 pPP)(13211max E0 )(321 E0 23113m