重点二非线性粘弹

1、高分子材料流变学第三章1第三章第三章 非线性粘弹流体的非线性粘弹流体的 本构方程本构方程徐德增高分子材料流变学第三章21本构方程概念本构方程概念 本构方称本构方称(constitutive equation)，又称状态方，又称状态方程。是描述一大类材料所遵循的与树料结构属性程。是描述一大类材料所遵循的与树料结构属性相关的力学响应规律的方程。相关的力学响应规律的方程。 对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的伞构方程无疑为分子液体非线性粘弹响应规律的伞构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建仅高分子材料流其最重要的中心任务，

2、这也是建仅高分子材料流变学理论的基础。变学理论的基础。高分子材料流变学第三章31本构方程概念本构方程概念 按理性力学原理，无论对何种材料建立本构方程按理性力学原理，无论对何种材料建立本构方程首先必须遵循以下首先必须遵循以下基本限制性基本限制性要求：要求： (1) 确定性原理确定性原理 应力由形变历史确定应力由形变历史确定 (2)局部作用原理局部作用原理 物体内某点物体内某点t在时刻在时刻的应力状的应力状态，仅由该点周围无限小邻域的形变历史单值地态，仅由该点周围无限小邻域的形变历史单值地确定。确定。 (3) 物质客观性原理物质客观性原理 建立的本构方程与参考架建立的本构方程与参考架(坐标系坐标系

3、)的选择无关。的选择无关。 符合上述摹本原理的流体称符合上述摹本原理的流体称“简单流体简单流体”或或“记记忆流体。我们的研究范因仅限于此。忆流体。我们的研究范因仅限于此。高分子材料流变学第三章41本构方程概念本构方程概念 寻求流变本构力程的基本方法大致可分为寻求流变本构力程的基本方法大致可分为唯象性唯象性方法方法和和分子论方法分子论方法两种。两种。 唯象性方法一般不追求材料的微观结构，而是强唯象性方法一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，直接给出描写非线性粘弹流体应力、调实验事实，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。应变、应变率间的关系。 以本构方程中的参数，如粘度、模

4、量、松弛时间以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。等，表征材料的特性。高分子材料流变学第三章51本构方程概念本构方程概念 分子论方法则重在建立能够描述高分子材料大分分子论方法则重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。采用热力学和统计力学方法，将宏观性的影响。采用热力学和统计力学方法，将宏观流动性质与分子结构参数流动性质与分子结构参数(如分子量，分子量分布，如分子量，分子量分布，链段结构参数等链段结构参数等)联系起来。联系起来。 为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型为此首先提出能够描

5、述大分子链运动的正确模型是问题的关键，一个方程即使与部分实验结果吻是问题的关键，一个方程即使与部分实验结果吻合很好，但模型不能反映大分子的链状形态特点，合很好，但模型不能反映大分子的链状形态特点，这个方程也是不能被接受的。这个方程也是不能被接受的。高分子材料流变学第三章61本构方程概念本构方程概念 有趣的是唯象性方法和分子论方法虽然出发点不有趣的是唯象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。 日前关于高分于材料，特别浓厚体系本构方程的

6、日前关于高分于材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。同时，大量的实验积累着越来研究仍十分活跃。同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。标志。高分子材料流变学第三章71本构方程概念本构方程概念 从形式上分，关于非线性粘弹流体的本构方程主从形式上分，关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两大类：要可分为两大类： 速率型速率型(亦称微商型亦称微商型)本构方程本构方程：方程中包含了应：方程中包含了应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。这两个微商。 积分型本构方程

7、：积分型本构方程：利用选加原理，把应力表示成利用选加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的叠加来描述材料的非线件粘弹性。分布的模型的叠加来描述材料的非线件粘弹性。积分又分为单重积分或多重积分。速率型本构方积分又分为单重积分或多重积分。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等价的。程和积分型本构方程本质上是等价的。高分子材料流变学第三章81本构方程概念本构方程概念 判断一个本构方程的优劣可以考察以下几方面：判断一个本构方程的优劣可以考察以下几方面： (1)方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结方程的立论是否科学合理，论

8、据是否充分，结论是否论是否简单明了简单明了。 (2)一个好的立论。仅能够正确描写已知的实验事一个好的立论。仅能够正确描写已知的实验事实，还应实，还应能预言能预言至今未知，但可能发生的争实。至今未知，但可能发生的争实。 (3)理论应有理论应有承前启后承前启后的功能。的功能。 (4) 实验事实实验事实(实验数据实验数据)是判断一个本构入程优劣是判断一个本构入程优劣的出发点和归宿。实践是检验真理的唯一标准。的出发点和归宿。实践是检验真理的唯一标准。 例如我们提出一个描写非线性粘弹流体应力、应例如我们提出一个描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率关系的本构方程，当条件简化时，它变、应变率关系的本构方程，

9、当条件简化时，它也应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。也应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。高分子材料流变学第三章91本构方程概念本构方程概念 本章将重点介绍用唯象论方法对一般非线性粘弹本章将重点介绍用唯象论方法对一般非线性粘弹流体建立的个构方程。流体建立的个构方程。高分子材料流变学第三章102.2.速率型本构方程速率型本构方程2.1 2.1 经典的线性粘弹性模型经典的线性粘弹性模型MaxwellMaxwell模型模型已知高分子本体的线性粘弹行为可以用一些力已知高分子本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如学模型，如MaxwellMaxwell模型、模型、VoigtVoigt模型及它们的模

10、型及它们的恰当组合进行描述。恰当组合进行描述。其中其中MaxwellMaxwell模型由一个虎克型弹簧和一个牛顿模型由一个虎克型弹簧和一个牛顿型粘壶串联而成（图型粘壶串联而成（图3-13-1）。由于形变时粘壶不）。由于形变时粘壶不受弹簧约束，可产生大形变。原则上受弹簧约束，可产生大形变。原则上MaxwellMaxwell模模型可用于描述液体流动的性质。型可用于描述液体流动的性质。高分子材料流变学第三章112.2.速率型本构方程速率型本构方程 设液体在剪切力作用下发生流动，设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。弹簧、粘壶同时发生形变。 对弹簧有对弹簧有 对粘壶有对粘壶有 因为串联

11、，因为串联， 总应力总应力 总应变总应变 11G2022102111G所以有所以有 01高分子材料流变学第三章122.速率型本构方程速率型本构方程 式中式中 称松弛时间称松弛时间 ，单位为秒，单位为秒；（3-2） 为应力为应力对时间的一般偏微商。对时间的一般偏微商。 （3-3） 将将（3-1）式推广写成三维形式，以张量表示，则式推广写成三维形式，以张量表示，则有有 （3-4） 式中：式中： 为偏应力张量；为偏应力张量； d 为形变率张量为形变率张量 G/01t d012高分子材料流变学第三章132.2.速率型本构方程速率型本构方程 （3-5） L为速度梯度张量。注意这儿的推广是将方程简为速度梯

12、度张量。注意这儿的推广是将方程简单地从一维形式推广到三维形式，并无深刻物理单地从一维形式推广到三维形式，并无深刻物理意义。公式中系数意义。公式中系数2的出现是由于采用了张量描的出现是由于采用了张量描述的缘故。述的缘故。2/TLLd高分子材料流变学第三章142.2.速率型本构方程速率型本构方程 例例1 Maxwell1 Maxwell模型描模型描述稳态简单剪切流场。述稳态简单剪切流场。 我们在固定坐标系中我们在固定坐标系中考察流场中点考察流场中点 确定点确定点上材料流过时的应力上材料流过时的应力状态。由于流场是稳状态。由于流场是稳定的，因此该点的应定的，因此该点的应的状态不随时间变化，的状态不随

13、时间变化，故有；故有；0对于稳态简单前切流场，对于稳态简单前切流场，其形变率张量为：其形变率张量为：000002/02/0d高分子材料流变学第三章152.2.速率型本构方程速率型本构方程 代入代入（3-4）式，得到式，得到333231232221131211000002/02/0=20这是一个由九个方程组成的方程组。由此解得：这是一个由九个方程组成的方程组。由此解得：000332222113113322302112结果表明，采用结果表明，采用Maxwell模型确实能描述材模型确实能描述材料在稳态简单剪切流场小的流动，模型的描料在稳态简单剪切流场小的流动，模型的描述能力是很有限的。它只能描述具有

14、常述能力是很有限的。它只能描述具有常数粘度的牛顿型流体的粘性行为，高分子液数粘度的牛顿型流体的粘性行为，高分子液体在剪切速率极低情况下行为。体在剪切速率极低情况下行为。 高分子材料流变学第三章162.2.速率型本构方程速率型本构方程 对于非牛顿型流体在一般流场中的非线性粘弹对于非牛顿型流体在一般流场中的非线性粘弹行为，行为，MaxwellMaxwell模型无能为力。既不能描述高分模型无能为力。既不能描述高分子液体典型的剪切变稀（即结构粘性）行为，子液体典型的剪切变稀（即结构粘性）行为，也不能描述流动中存在法向应力差（即具有弹也不能描述流动中存在法向应力差（即具有弹性）的事实。给出的两个法向应力

15、差值均等于性）的事实。给出的两个法向应力差值均等于零。零。高分子材料流变学第三章172.2.速率型本构方程速率型本构方程 分析可知分析可知，MaxwellMaxwell模型有限的描述能力与方程模型有限的描述能力与方程的推广方式有关，特别与方程中应力张量的导数的推广方式有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。描述的应力变化的导数形式是应力对形式有关。描述的应力变化的导数形式是应力对时间的一般偏微商，这种偏微商通常只能描述无时间的一般偏微商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中体系性质无变化的形变穷小形变行为，或流动中体系性质无变化的形变行为。行为。 对于描述高分子液体在大形变下的非线

16、性粘弹行对于描述高分子液体在大形变下的非线性粘弹行为，必须对应力张量的导数形式审慎定义和推广。为，必须对应力张量的导数形式审慎定义和推广。高分子材料流变学第三章182.2.速率型本构方程速率型本构方程 另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一点考察（注意在不同时刻流经该点的流标系的一点考察（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟着一个流体元考察（该流体元体元不同）和紧跟着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位置）是大不相同的。在不同时刻占据空间不同位置）是大不相同的。为此我们首先介绍流体力学中描写材料元流动的为此我们首先介绍流体

17、力学中描写材料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典MaxwellMaxwell模型的推广模型的推广。高分子材料流变学第三章192.2.速率型本构方程速率型本构方程 22 空间描述法和物质描述法空间描述法和物质描述法 在固定的空间坐标系描写一个材料元的流动有两种不同在固定的空间坐标系描写一个材料元的流动有两种不同方法：方法： 拉格朗日法拉格朗日法：观察者的视点集中于一个：观察者的视点集中于一个具体的流体元具体的流体元及及其邻域所发生的事件，研究它在不同时刻所处的位置，其邻域所发生的事件，研究它在不同时刻所处的位置，以及它的速度，加速度等，与通常力学

18、中集中于一个质以及它的速度，加速度等，与通常力学中集中于一个质点的方法相向。点的方法相向。 以以流体元在参考构型中的物质坐标流体元在参考构型中的物质坐标 xR(R12，3)为自为自变量。变量。 欧拉法欧拉法：观察者的视点集中于：观察者的视点集中于坐标空间某一特殊点坐标空间某一特殊点及其及其邻域所发生的事件邻域所发生的事件，不针对一个具体的流体，不针对一个具体的流体。在该方法。在该方法中，中， 以以固定坐标系固定坐标系的空间坐标的空间坐标xi(i12，3)为自变量。为自变量。高分子材料流变学第三章202.2.速率型本构方程速率型本构方程 例如：设一流体元初始时刻在参考构型中的位置矢量为例如：设一

19、流体元初始时刻在参考构型中的位置矢量为X，到，到t时刻它运动到即时构型中的位置时刻它运动到即时构型中的位置x。根据拉格朗日。根据拉格朗日描述，流体元在某一描述，流体元在某一时刻时刻t到达空间的位置到达空间的位置 x即与即与t有关，有关，也与也与X有关，所以有关，所以x可以写成可以写成X和时间和时间t的函数，记成；的函数，记成；高分子材料流变学第三章212.2.速率型本构方程速率型本构方程高分子材料流变学第三章222.2.速率型本构方程速率型本构方程高分子材料流变学第三章232.2.速率型本构方程速率型本构方程高分子材料流变学第三章242.2.速率型本构方程速率型本构方程高分子材料流变学第三章2

20、52.2.速率型本构方程速率型本构方程高分子材料流变学第三章262.2.速率型本构方程速率型本构方程高分子材料流变学第三章272.2.速率型本构方程速率型本构方程 2 23 3 广义广义MaxwellMaxwell模型模型 现在考虑将经典的现在考虑将经典的MaxwellMaxwell模型进行推广。推广模型进行推广。推广的方法是唯象的。遵循以下三条原则：的方法是唯象的。遵循以下三条原则： (1) (1) 必须遵循建立本构方程的基本限制性要求。必须遵循建立本构方程的基本限制性要求。 (2)(2)推广的思路必须符合一定的物理背景，提出推广的思路必须符合一定的物理背景，提出令人信服的论点论据说明一定的

21、实验事实。令人信服的论点论据说明一定的实验事实。 (3)(3)要求企极限情况下本构方程能够还原到原要求企极限情况下本构方程能够还原到原始入程的形式上去。始入程的形式上去。高分子材料流变学第三章282.2.速率型本构方程速率型本构方程 231 WhiteMetzncr模型 参照系随材料元参照系随材料元 起流动，称为随流坐标系起流动，称为随流坐标系(convected frame of referencc(convected frame of referencc) )，它最初是由，它最初是由OidroydOidroyd提出提出的。出于在随流坐标系中定义的任何的。出于在随流坐标系中定义的任何形变的度

22、量总是针对同一个材料元的，可摆脱平形变的度量总是针对同一个材料元的，可摆脱平功和转动速率的影响，讨论流体元的形变问题有功和转动速率的影响，讨论流体元的形变问题有明显的优越性。明显的优越性。 必须建立随流坐标系和固定的空间坐标系中各种必须建立随流坐标系和固定的空间坐标系中各种物理量之间的转换关系，随流坐标系才能使用。物理量之间的转换关系，随流坐标系才能使用。高分子材料流变学第三章292.2.速率型本构方程速率型本构方程 流体元的描述为物质描述，随流坐标系对流体元的描述为物质描述，随流坐标系对形变的度量是通过计算在两个时刻形变的度量是通过计算在两个时刻(t，t)一一个材料几中任何两个质点间的距离变

23、化来个材料几中任何两个质点间的距离变化来表示的。表示的。 随流坐标系中，对物理量求时间导数时保随流坐标系中，对物理量求时间导数时保持随流坐标不变，因此对任何物理量所求持随流坐标不变，因此对任何物理量所求的时间导数均为物质导数。的时间导数均为物质导数。 0ldroyd随流微商：随流微商：t高分子材料流变学第三章302.2.速率型本构方程速率型本构方程 随流微商要转换到固定的空间坐标系中，二阶应随流微商要转换到固定的空间坐标系中，二阶应力张量力张量T Tijij 的的OldroydOldroyd随流微商转换到固定坐标系随流微商转换到固定坐标系后的形式为：后的形式为： 式中等号右边第一项为式中等号右

24、边第一项为 ikkjkjkiijijTxvTxvTDtDTt 31kijkkijijTxvTtTDtD（3-21） （3-20） 高分子材料流变学第三章312.2.速率型本构方程速率型本构方程 即二阶应力张量在固定坐标系的物质微商，可以即二阶应力张量在固定坐标系的物质微商，可以理解为在固定坐标系中观察者见到的某一理解为在固定坐标系中观察者见到的某一材料材料元的应力张量对时间的变化率。第二、三项中含元的应力张量对时间的变化率。第二、三项中含有速度梯度影响，速度梯度中含有形变率张量有速度梯度影响，速度梯度中含有形变率张量d和旋转速率张量和旋转速率张量两部分，它描述了材料元对于两部分，它描述了材料元

25、对于固定坐标系的有限形变和旋转运动。固定坐标系的有限形变和旋转运动。 WhiteMetznerWhiteMetzner模型的方程形式为：模型的方程形式为：d012t(3-22)高分子材料流变学第三章322.2.速率型本构方程速率型本构方程 此公式在形式上虽然与方程此公式在形式上虽然与方程(3-4)相仿，但物理意相仿，但物理意义不同。在这儿应力张量的时间变化率是在随流义不同。在这儿应力张量的时间变化率是在随流坐标系中计算的，它与在固定的空间坐标系中所坐标系中计算的，它与在固定的空间坐标系中所求的一般偏微商以及物质微商都不相同。求的一般偏微商以及物质微商都不相同。高分子材料流变学第三章332.2.

26、速率型本构方程速率型本构方程 将模型用于描述稳态简单剪切流场：将模型用于描述稳态简单剪切流场：高分子材料流变学第三章342.2.速率型本构方程速率型本构方程高分子材料流变学第三章352.2.速率型本构方程速率型本构方程高分子材料流变学第三章362.2.速率型本构方程速率型本构方程 述材料的粘性行为，述材料的粘性行为， 弹性行为弹性行为高分子材料流变学第三章372.2.速率型本构方程速率型本构方程 2 23 32 DeWitt 2 DeWitt 模型模型 一种一种MaxwellMaxwell模型模型 DeWitt DeWitt模型，是在模型，是在MaxwellMaxwell方程中对应力张量求时间

27、微商这一项，方程中对应力张量求时间微商这一项，用共旋随流微商用共旋随流微商(Jaumann(Jaumann微商微商) )代替一般偏微商。代替一般偏微商。二阶应力张量的共旋随流微商变换到固定坐标系二阶应力张量的共旋随流微商变换到固定坐标系后的形式为：后的形式为： （3-28） ikjkjkikijijTTTDtDT tDD)(21ikkiikxvxv高分子材料流变学第三章382.2.速率型本构方程速率型本构方程 DeWittDeWitt推广推广MaxwellMaxwell模型，在模型，在MaxwellMaxwell方程中用对方程中用对偏应力张量求共旋随流微商（偏应力张量求共旋随流微商（Jauma

28、nnJaumann微商）代微商）代替一般偏微商，得到的替一般偏微商，得到的DeWittDeWitt模型方程形式为：模型方程形式为：d012 式中式中 tDDikjkjkikijijDtD （3-30） （3-31） tDD我们用我们用DeWitt模型处理一下稳态简单剪切流模型处理一下稳态简单剪切流场中应力应变关系，以检验模型的说明能力。场中应力应变关系，以检验模型的说明能力。高分子材料流变学第三章392.2.速率型本构方程速率型本构方程 已知在已知在（3-233-23）式描绘的稳态简单剪切流场中，式描绘的稳态简单剪切流场中，旋转速度张量为旋转速度张量为000002/02/0计算计算（3-31）

29、式中的式中的Jaumann微商：与在微商：与在计算计算Oldroyd微商中同样的原因，首先确定微商中同样的原因，首先确定（3-31）式中第一项等于零，即式中第一项等于零，即DtD=0；第二、三项分别为第二、三项分别为高分子材料流变学第三章402.2.速率型本构方程速率型本构方程000222222000002/02/0312111322212332313322212312111Tjkik（3-34） 高分子材料流变学第三章412.2.速率型本构方程速率型本构方程 这样，方程这样，方程（3-30）可展开写成：可展开写成： 000002020202121212/ )(212/ )(031323121

30、2211322211121333231232221131211 （3-35）高分子材料流变学第三章422.2.速率型本构方程速率型本构方程 这同样是这同样是9个方程联立的方程组，解此方程组得个方程联立的方程组，解此方程组得到粘度和法向应力差系数为：到粘度和法向应力差系数为： 2211023322222211022211212210121/1/2/1/（3-36） 高分子材料流变学第三章432.2.速率型本构方程速率型本构方程 这一结果使人惊奇，首先这一结果使人惊奇，首先（3-36）式描述了剪切式描述了剪切粘度与法向应力差系数的剪切速率依赖性：当剪粘度与法向应力差系数的剪切速率依赖性：当剪切速率

31、切速率 时，材料表现出常数粘度时，材料表现出常数粘度0（牛（牛顿性）和常数法向应力差系数；顿性）和常数法向应力差系数； 当剪切速率升高，当剪切速率升高，粘度和法向应力差系数均趋于下降，呈现出剪切粘度和法向应力差系数均趋于下降，呈现出剪切变稀行为。变稀行为。 描述的液体是弹性液体，描述的液体是弹性液体， 。 00, 021高分子材料流变学第三章442.2.速率型本构方程速率型本构方程 大多数高分子液体的实验事实一致的还有，公式给出的大多数高分子液体的实验事实一致的还有，公式给出的第一法向应力差系数为正第一法向应力差系数为正(0), 第二法向应力差系数为负第二法向应力差系数为负（0），第一法向应力

32、差系数的值大于第二法向应力差），第一法向应力差系数的值大于第二法向应力差系数的绝对值系数的绝对值( ) 。 这些结果，都只是因为我们将这些结果，都只是因为我们将Maxwell方程由实验室系推方程由实验室系推广到共旋随流坐标系，并且对时间的微商采用了共旋随广到共旋随流坐标系，并且对时间的微商采用了共旋随流微商而得到的。流微商而得到的。 基于上述唯象性推广的结果，为了使数学模型更精确，基于上述唯象性推广的结果，为了使数学模型更精确，更全面的描述非牛顿型流体复杂流变性质，人们又陆续更全面的描述非牛顿型流体复杂流变性质，人们又陆续提出许多类似的更复杂提出许多类似的更复杂的模型。的模型。21高分子材料流

33、变学第三章452.2.速率型本构方程速率型本构方程 2 23 33 3 其他类型的微分模型其他类型的微分模型 Jeffreys模型，方程形式为：模型，方程形式为：ttdd2012)( (3-37) 2120模型的特点是在原始模型的特点是在原始Maxwell模型基础上，模型基础上，引入对形变率张量的偏微分，同时引入第二引入对形变率张量的偏微分，同时引入第二时间参数时间参数使材料常数成为三个：使材料常数成为三个：高分子材料流变学第三章462.2.速率型本构方程速率型本构方程 OldroydOldroyd模型，方程形式为：模型，方程形式为：ttdd2012)(120模型的特点是将模型的特点是将Jef

34、freys模型中的时间微商模型中的时间微商由一般偏微商推广为由一般偏微商推广为Oldroyd随流微商。材随流微商。材料常数保留为三个：料常数保留为三个： 高分子材料流变学第三章472.2.速率型本构方程速率型本构方程 广义广义JeffreysJeffreys模型，方程形式为：模型，方程形式为：DtDDtDdd2012)( (3-39) 模型的特点是将模型的特点是将JeffreysJeffreys模型中的时间微商模型中的时间微商由一般偏微商推广为由一般偏微商推广为JaumannJaumann微商（共旋随流微商（共旋随流微商）。材料常数保留为三个：微商）。材料常数保留为三个： 120高分子材料流变

35、学第三章482.2.速率型本构方程速率型本构方程 Oldroyd八常数模型八常数模型 ，方程形式为：，方程形式为： IddddIdddd222220101122)()(trvDtDtrvtrDtD(3-40)(3-40) 该模型的时间微商采用该模型的时间微商采用Jaumann微商，并设置了八个常数：微商，并设置了八个常数：1,2,0,1,2,1,2,0，用于考虑偏应力张量和应变张，用于考虑偏应力张量和应变张量的各种关系。其中前七个常数的量纲均为时间（量的各种关系。其中前七个常数的量纲均为时间（s）。运）。运用此模型确实可以描写非牛顿型流体的可变粘度和法向应用此模型确实可以描写非牛顿型流体的可变

36、粘度和法向应力差效应，方程适用的范围也比较宽广。力差效应，方程适用的范围也比较宽广。高分子材料流变学第三章492.2.速率型本构方程速率型本构方程 Oldroyd三常数模型：三常数模型： Williams和和Bird对对Oldroyd八常数模型中的常数提出了如八常数模型中的常数提出了如下限制性条件：下限制性条件：222011132032vv（3-413-41） 从而得到如下方程：从而得到如下方程：IddddIddd22201322232)(trDtDtrDtD(3-42)(3-42)222011132032vv此方程中只剩三个材料常数：此方程中只剩三个材料常数：021,DeWitt模型只是上述

37、模型的一个特例。模型只是上述模型的一个特例。高分子材料流变学第三章502.2.速率型本构方程速率型本构方程 234 Maxwell模型的叠加模型的叠加 前面讨论的前面讨论的Maxwell模型是单一的模型是单一的“弹簧和粘壶串联弹簧和粘壶串联”的的力学模型，因而只给出一个松弛时间。其松弛时间往往力学模型，因而只给出一个松弛时间。其松弛时间往往有多个，形成一个松弛时间谱。模型方程可写成：有多个，形成一个松弛时间谱。模型方程可写成： dpppppppt21均满足其中每一个式中式中p，p均为材料常数。均为材料常数。高分子材料流变学第三章513. 积分型本构方程积分型本构方程 与微商型本构方程相对应，本

38、构方程也可写成积与微商型本构方程相对应，本构方程也可写成积分型式，两者等价。这种积分可以对应变历史进分型式，两者等价。这种积分可以对应变历史进行，也可以对连续变化的运动模式求积分。行，也可以对连续变化的运动模式求积分。高分子材料流变学第三章523. 积分型本构方程积分型本构方程3.1 Bolzman 叠加原理叠加原理原理表述：对于时间序列中一系列阶跃应变原理表述：对于时间序列中一系列阶跃应变（或应力）的输入，体系在时刻（或应力）的输入，体系在时刻t的应力（或应的应力（或应变）响应，可以表示为不同时刻变）响应，可以表示为不同时刻t（t t）的一）的一系列个别响应的线性叠加。系列个别响应的线性叠加

39、。设设t为现在时刻，为现在时刻，t 为过去的时刻序列（为过去的时刻序列（t从非从非常遥远的常遥远的 -演进到现在时刻演进到现在时刻t）。对一系列的）。对一系列的过去应变过去应变e（t），体系在现在时刻的应力总响），体系在现在时刻的应力总响应，按照上述原理记为：应，按照上述原理记为：高分子材料流变学第三章53 为弹性模量的微分，而为弹性模量的微分，而 称材料的称材料的松弛松弛（模量）函数，它是一个随时间间隔（模量）函数，它是一个随时间间隔变化的弹性模量。注意变化的弹性模量。注意 。tt dtttt)()(2)(e公式中公式中 ) () (ttdGdttt (3-50)(3-50) (3-51)(

40、3-51) (ttG) (tt dttdGt)(3. 积分型本构方程积分型本构方程高分子材料流变学第三章543. 积分型本构方程积分型本构方程 需要指出的是，需要指出的是，Bolzmann叠加原理属于线性叠叠加原理属于线性叠加理论，原则上只适用于小形变过程。如果要对加理论，原则上只适用于小形变过程。如果要对大形变过程也适用，必须加以推广或再加说明。大形变过程也适用，必须加以推广或再加说明。或者或者a 、把问题变换到恰当的坐标系下去讨论、把问题变换到恰当的坐标系下去讨论（如选择在随流坐标系中讨论）；或者（如选择在随流坐标系中讨论）；或者b、假定、假定对应于大应变过程，其分割的每一个子应变过程对应

41、于大应变过程，其分割的每一个子应变过程的应力响应足够小，小到还是可以进行线性叠加。的应力响应足够小，小到还是可以进行线性叠加。 高分子材料流变学第三章553. 积分型本构方程积分型本构方程 如把材料在一段历史中受到的应变近似分割为若如把材料在一段历史中受到的应变近似分割为若干小阶跃应变，每一个子应变过程对体系现在时干小阶跃应变，每一个子应变过程对体系现在时刻的应力响应可以进行线性叠加，然后求和取极刻的应力响应可以进行线性叠加，然后求和取极限。限。 高分子材料流变学第三章563. 积分型本构方程积分型本构方程3.2 Maxwell 模型的积分形式模型的积分形式这儿我们不加推导地给出这儿我们不加推

42、导地给出Maxwell模型本构方模型本构方程的积分形式，并证明它与微分型本构方程完程的积分形式，并证明它与微分型本构方程完全等价。全等价。Maxwell模型本构方程的积分形式以模型本构方程的积分形式以Bolzmann叠加原理的形式写出：叠加原理的形式写出：t dtttGtt)()(2)(d/0) (ttettG式中式中 (3-52)(3-52) (3-53)(3-53)0为与时间过程相关的松弛弹性模量为与时间过程相关的松弛弹性模量。松弛时间松弛时间常数粘度常数粘度高分子材料流变学第三章573. 积分型本构方程积分型本构方程 d(td(t)为过去时刻为过去时刻tt的体系所受的形变率张的体系所受的

43、形变率张量，量，(t) (t) 为体系在现在时刻为体系在现在时刻t t的应力响应。的应力响应。 从（从（3-533-53）式可知，）式可知， 是一个随时是一个随时间过程衰减的弹性模量，表征着材料的弹性记间过程衰减的弹性模量，表征着材料的弹性记忆能力随时间衰减。忆能力随时间衰减。) (ttG高分子材料流变学第三章583. 积分型本构方程积分型本构方程 总应力响应可以表示为若干个分响应的线性叠加，总应力响应可以表示为若干个分响应的线性叠加，方程形式为：方程形式为： ) () (2)(2/1/dttttmdttetttttNiiiidd （3-563-56） 式中式中N为分子链的运动模式数为分子链的

44、运动模式数, 为各运动为各运动模式的特征常数粘度和松弛时间。模式的特征常数粘度和松弛时间。 ii,高分子材料流变学第三章593. 积分型本构方程积分型本构方程 m（t t）称为材料的记忆函数，表示材料在）称为材料的记忆函数，表示材料在遥远过去时刻（遥远过去时刻（t）所承受的应变，至今仍保）所承受的应变，至今仍保留着的对现在时刻应力响应的贡献。留着的对现在时刻应力响应的贡献。)573()(11NittiiNiiieGttm高分子材料流变学第三章604流变模型对高分子科学和流变模型对高分子科学和高分子工程问题的意义高分子工程问题的意义 对高分子液体流变本构方程理论和实验规律的研对高分子液体流变本构

45、方程理论和实验规律的研究对于促进高分子材料科学，尤其高分子物理的究对于促进高分子材料科学，尤其高分子物理的发展和解决聚合物工程中（包括聚合反应工程和发展和解决聚合物工程中（包括聚合反应工程和聚合物加工工程）若干重要理论和技术问题都具聚合物加工工程）若干重要理论和技术问题都具有十分重要的意义。有十分重要的意义。 一则由于高分子材料复杂的流变性质需要精确地一则由于高分子材料复杂的流变性质需要精确地加以描述，二则由于高新技术对聚合物制品的精加以描述，二则由于高新技术对聚合物制品的精密加工和完美设计提出越来越高的要求，因此以密加工和完美设计提出越来越高的要求，因此以往那些对材料流动性质的经验的定性的粗

46、糙认识往那些对材料流动性质的经验的定性的粗糙认识已远远不够。已远远不够。高分子材料流变学第三章614流变模型对高分子科学和流变模型对高分子科学和高分子工程问题的意义高分子工程问题的意义 众所周知，高分子结构研究（包括链结构、聚集众所周知，高分子结构研究（包括链结构、聚集态结构研究）以及这种结构与高分子材料作为材态结构研究）以及这种结构与高分子材料作为材料使用时所体现出来的性能、功能间的关系研究料使用时所体现出来的性能、功能间的关系研究始终是高分子物理研究的主要线索。与始终是高分子物理研究的主要线索。与“静态静态”的结构研究相比，高分子的结构研究相比，高分子“动态动态”结构的研究，结构的研究，诸

47、如分子链运动及动力学行为、聚集态变化的动诸如分子链运动及动力学行为、聚集态变化的动力学规律、高分子流体的非线性粘弹行为等，更力学规律、高分子流体的非线性粘弹行为等，更是近年来引人注目的前沿领域。按现代凝聚态物是近年来引人注目的前沿领域。按现代凝聚态物理学的概念，高分子体系被称为软物质（理学的概念，高分子体系被称为软物质（soft matter）或复杂流体（）或复杂流体（complex fluids）。）。 高分子材料流变学第三章624流变模型对高分子科学和流变模型对高分子科学和高分子工程问题的意义高分子工程问题的意义 所谓软物质，即材料在很小的应变下就会所谓软物质，即材料在很小的应变下就会出现

48、强烈的非线性响应，表现出独特的形出现强烈的非线性响应，表现出独特的形态选择特征。这正是高分子流体的本征特态选择特征。这正是高分子流体的本征特点。如果能精确描述出高分子液体的复杂点。如果能精确描述出高分子液体的复杂应力应力-应变关系，找出这种关系与材料的各应变关系，找出这种关系与材料的各级结构间的联系，无疑对高分子凝聚态理级结构间的联系，无疑对高分子凝聚态理论的发展具有重要意义。论的发展具有重要意义。高分子材料流变学第三章634流变模型对高分子科学和流变模型对高分子科学和高分子工程问题的意义高分子工程问题的意义 在高分子工程方面，当前各种各样新型合成技术在高分子工程方面，当前各种各样新型合成技术

49、及新成型方法、新成型技术（如反应加工成型、及新成型方法、新成型技术（如反应加工成型、气辅成型、振动剪切塑化成型、特种纤维的纺制、气辅成型、振动剪切塑化成型、特种纤维的纺制、新成纤技术等）陆续问世，在每一种技术发展过新成纤技术等）陆续问世，在每一种技术发展过程中，研究高分子液体（熔体、溶液）的流动规程中，研究高分子液体（熔体、溶液）的流动规律以及新工艺过程与高分子材料结构性能控制的律以及新工艺过程与高分子材料结构性能控制的关系，都是最重要的课题。关系，都是最重要的课题。 高分子材料的特点之一是它们的物理力学性能不高分子材料的特点之一是它们的物理力学性能不完全取决于化学结构。化学结构一定的高分子材

50、完全取决于化学结构。化学结构一定的高分子材料可以由于不同的聚集状态（凝聚态结构）而显料可以由于不同的聚集状态（凝聚态结构）而显示出不同性质。示出不同性质。 高分子材料流变学第三章644流变模型对高分子科学和流变模型对高分子科学和高分子工程问题的意义高分子工程问题的意义 在工业上，这不同的凝聚态大多是由于不同的加在工业上，这不同的凝聚态大多是由于不同的加工成型方法而造成的。因此采用流变本构方程精工成型方法而造成的。因此采用流变本构方程精确地研究和设计成型方法和成型设备，通过在成确地研究和设计成型方法和成型设备，通过在成型过程中对高分子形态的主动控制来获得性能更型过程中对高分子形态的主动控制来获得

51、性能更为优越的新型材料，是高分子工程中的重要热点为优越的新型材料，是高分子工程中的重要热点课题。课题。 要完成这些任务，仅有对高分子熔体和溶液的流要完成这些任务，仅有对高分子熔体和溶液的流动性质粗浅的认识（比如仅仅测量粘度）是不够动性质粗浅的认识（比如仅仅测量粘度）是不够的。取而代之的是要对大形变下高分子材料的反的。取而代之的是要对大形变下高分子材料的反常的流变性质给出全面的定量的理性描写，要为常的流变性质给出全面的定量的理性描写，要为解决高分子材料合成和加工中出现的流体动力学解决高分子材料合成和加工中出现的流体动力学和应力分析问题提供一种解决问题的手段。和应力分析问题提供一种解决问题的手段。

52、 高分子材料流变学第三章654流变模型对高分子科学和流变模型对高分子科学和高分子工程问题的意义高分子工程问题的意义 目前，高分子流变学的基本原理和方法已深入到目前，高分子流变学的基本原理和方法已深入到高分子科学研究和高分子材料合成和加工工程的高分子科学研究和高分子材料合成和加工工程的各个领域。许多领域中，如高分子材料设计、配各个领域。许多领域中，如高分子材料设计、配方设计、模具设计、设备设计中，流变学设计已方设计、模具设计、设备设计中，流变学设计已成为重要组成部分。而且这些设计往往要通过计成为重要组成部分。而且这些设计往往要通过计算机数据处理系统完成，使流变本构方程理论的算机数据处理系统完成，

53、使流变本构方程理论的建立、发展和推广应用显得愈加迫切和重要。建立、发展和推广应用显得愈加迫切和重要。高分子材料流变学第三章664流变模型对高分子科学和流变模型对高分子科学和高分子工程问题的意义高分子工程问题的意义 我们说，一个我们说，一个“好好”的材料本构模型不仅应能说的材料本构模型不仅应能说明各种已知的与该类材料有关的实验事实，还应明各种已知的与该类材料有关的实验事实，还应能预言和估计人们未曾认识的现象。由于高分子能预言和估计人们未曾认识的现象。由于高分子材料结构与性质的复杂性，目前这样具有普遍意材料结构与性质的复杂性，目前这样具有普遍意义的义的“好好”模型尚未得到。现有的各类模型往往模型尚未得到。现有的各类模型往往只能或多或少、或深或浅的说明部分实验事实。只能或多或少、或深或浅的说明部分实验事实。因此应用时，需根据具体问题的要求，分析简化，因此应用时，需根据具体问题的要求，分析简化，找主要矛盾，选择采用恰当的尽可能简单的模型。找主要矛盾，选择采用恰当的尽可能简单的模型。高分子材料流变学第三章674流变模型对高分子科学和流变模型对高分子科学和高分子工程问题的意义高分子工程问题的意义 在只需讨论材料的粘性，无须顾及弹性或材料