自动控制原理：第九章 非线性控制系统

1、第九章第九章 非线性控制系统非线性控制系统 何谓非线性？何谓非线性？ 非线性特性对控制系统性能有何影响？非线性特性对控制系统性能有何影响？ 如何分析非线性的影响？如何分析非线性的影响？ 如何利用非线性特性改善系统性能？如何利用非线性特性改善系统性能？M功率功率放大器放大器负负载载减速器减速器o+E角度角度传感器传感器滤波滤波电路电路1R1R2R5R4R3R6R功率功率放大器放大器M功率功率放大器放大器负负载载减速器减速器o+E角度角度传感器传感器滤波滤波电路电路1R1R2R5R4R3R6R减速器减速器oM功率功率放大器放大器负负载载减速器减速器o+E角度角度传感器传感器滤波滤波电路电路1R1R

2、2R5R4R3R6R功率功率放大器放大器 这些环节给系统性能分这些环节给系统性能分析带来哪些困难？析带来哪些困难？9.1 概述概述数学定义数学定义（控制的角度如何理解（控制的角度如何理解非线性）非线性）n数学定义数学定义n 齐次性：齐次性：y=kxn 更一般的定义：更一般的定义：叠加原理叠加原理反反应应桶桶电电动动阀阀门门（1 1）（新新2 2级级）反反应应桶桶电电动动阀阀门门（2 2）（新新1 1级级）反反应应桶桶电电动动阀阀门门（3 3）（旧旧1 1级级）反反应应桶桶电电动动阀阀门门（4 4）（旧旧2 2级级）酸酸稀稀疏疏罐罐总总阀阀稀稀 酸酸锌锌钡钡白白流流向向新新2 2级级锌锌钡钡白白

3、流流向向旧旧2 2级级1210864210203040mlVNaOH/)(0pHsoeTsKsG 1)()(sr)(se)(sHPID)(sc)(osG)(tun静态非线性与静态非线性与动态非线性动态非线性n静态：静态： y=kx vs y=f(x)n动态：动态：Y(s)=G(s)X(s)等等 vs dx/dt=f(x, t)p频率特性分析法等避开求解微分方程。频率特性分析法等避开求解微分方程。p线性定常系统为什么可以采用这些方法？线性定常系统为什么可以采用这些方法？p 稳定性等稳定性等与初值及输入无关与初值及输入无关p 叠加原理叠加原理 一般输入一般输入典型输入典型输入p非线性动态行为分析的

4、难点：非线性动态行为分析的难点：与初值、输入有关。与初值、输入有关。9.1 概述概述9.1.3 非线性控制系统的分析非线性控制系统的分析9.1 概述概述9.1.2 非线性控制系统的非线性控制系统的稳定性稳定性及特性及特性 n稳定性稳定性: :n线性系统：线性系统：稳定性仅决定于系统结构稳定性仅决定于系统结构参数有关参数有关, ,与外作用及初始条件无关。与外作用及初始条件无关。n非线性系统：非线性系统：稳定性除与系统结构参稳定性除与系统结构参数有关数有关, ,还与外作用及初始条件有关。还与外作用及初始条件有关。补充知识补充知识 控制系统中一些常见非线性环节控制系统中一些常见非线性环节 看响应判断

5、是否包含非线性环节。看响应判断是否包含非线性环节。 高次谐波等高次谐波等9.1 概述概述9.1.1 典型的非线性环节典型的非线性环节M功率功率放大器放大器负负载载减速器减速器o+E角度角度传感器传感器滤波滤波电路电路1R1R2R5R4R3R6R阅读阅读P317内容，分析上述系统中有哪些典型的非线性环节？内容，分析上述系统中有哪些典型的非线性环节？1) 线性叠加原理不适用。线性叠加原理不适用。2) 正弦信号输入激励的输出响应可含有输入信号中没有的高正弦信号输入激励的输出响应可含有输入信号中没有的高次谐波。次谐波。 3) 在没有外部作用的情况下，也可能出现一种持续等幅振荡在没有外部作用的情况下，也

6、可能出现一种持续等幅振荡现象，称为现象，称为自持振荡自持振荡。9.1 概述概述9.1.2 非线性控制系统的非线性控制系统的输入输出特性输入输出特性 观察系统输出是否能判断出是否包含非线性环节？观察系统输出是否能判断出是否包含非线性环节？M功率功率放大器放大器负负载载减速器减速器o+E角度角度传感器传感器滤波滤波电路电路1R1R2R5R4R3R6R1s+1Transfer FcnSine WaveScopeRelay正弦响应正弦响应包含包含高次谐波分量高次谐波分量 0510152005101520253005101520051015202530n非线性系统该采用什么样的分析方法？非线性系统该采用

7、什么样的分析方法？n分析目的分析目的：稳、快、准，求方程的解：稳、快、准，求方程的解n须解决问题：须解决问题：n 稳定性等与初值有关稳定性等与初值有关 要考虑所有初值要考虑所有初值n 通常没有所谓的通常没有所谓的典型输入典型输入 要考虑所有可能输入要考虑所有可能输入n p非线性系统目前不存在通用的简化分析方法。非线性系统目前不存在通用的简化分析方法。 9.1 概述概述9.1.3 非线性控制系统分析应解决的问题非线性控制系统分析应解决的问题n非线性系统该采用什么样的分析方法？非线性系统该采用什么样的分析方法？n分析目的分析目的：稳、快、准，求方程的解：稳、快、准，求方程的解n须解决问题：须解决问

8、题：n 稳定性等与初值有关稳定性等与初值有关 要考虑所有初值要考虑所有初值n 通常没有所谓的通常没有所谓的典型输入典型输入 要考虑所有可能输入要考虑所有可能输入p要满足这种要求难度非常大，因此，要满足这种要求难度非常大，因此，非线性系统目前非线性系统目前不存在通用的简化分析方法。不存在通用的简化分析方法。 本章仅限于讨论几类简单的问题。本章仅限于讨论几类简单的问题。9.1 概述概述9.1.3 非线性控制系统分析应解决的问题非线性控制系统分析应解决的问题9.1 概述概述9.1.3 本书中非线性控制系本书中非线性控制系统的分析方法统的分析方法n 非本质非线性特性，信号小范围变化时，可通过增量化实现

9、非本质非线性特性，信号小范围变化时，可通过增量化实现局部局部线性化线性化。)(tr)(se)(sHKc(t)(tc)(otG)(tun 本质非线性特性，或者信本质非线性特性，或者信号大范围变化时，号大范围变化时，有时可考有时可考虑分区建立各自的动态方程虑分区建立各自的动态方程（往往为（往往为分区线性化，分区线性化，建立建立比较简单的微分方程）。比较简单的微分方程）。动态行为如何跨区衔接？动态行为如何跨区衔接？n 谐波线性化：仅需预测谐波线性化：仅需预测是否会出现振荡时是否会出现振荡时描描述函数法（述函数法（谐波线性化谐波线性化）1210864210203040mlVNaOH/)(0pHsoeT

10、sKsG 1)(9.3 描述函数法描述函数法 n 谐波线性化：谐波线性化：静态非线性且静态非线性且高次谐波对输出的影响可高次谐波对输出的影响可忽略时忽略时 描述函数法描述函数法 何谓自持振荡？何谓极限环？何谓自持振荡？何谓极限环？闭环系统的输出何时会产生以闭环系统的输出何时会产生以特定幅值和频率的正弦波特定幅值和频率的正弦波为为主要成分的自持振荡？主要成分的自持振荡？自持振荡：自持振荡：稳定的周期振荡稳定的周期振荡I/O特点：特点：自持振荡自持振荡1s+1Transfer FcnStepScopeRelayPulseGenerator稳定的自持振荡在工业控稳定的自持振荡在工业控制中很常见。制中

11、很常见。产生的原因、如何避免？产生的原因、如何避免？P PI ID D控控制制器器执执行行机机构构（电电动动阀阀）测测量量仪仪器器压压力力设设定定值值被被控控对对象象（反反应应釜釜）压压力力实实际际值值+ +数字控制时，量化误差引入非线性特性，也可能导致极限环。数字控制时，量化误差引入非线性特性，也可能导致极限环。能否用前边的能否用前边的知识判断系统知识判断系统响应是否会出响应是否会出现振荡？现振荡？M功率功率放大器放大器负负载载减速器减速器o+E角度角度传感器传感器滤波滤波电路电路1R1R2R5R4R3R6R例例9-13 图图9-33(a)所示的非线性三阶所示的非线性三阶控制系统控制系统)1

12、)(5 . 1(10)( jjjjG9.3 描述函数法描述函数法 引言引言闭环系统的输出何时会产生闭环系统的输出何时会产生以以特定幅值和频率的正弦波特定幅值和频率的正弦波为为主要成分的自持振荡？主要成分的自持振荡？G(s)与非线性环节组合对该特定幅值和与非线性环节组合对该特定幅值和频率的正弦波的放大倍数为频率的正弦波的放大倍数为-1，即此时，即此时c =-=-e。要求：要求：1、G(s)具有很强的低具有很强的低通滤波作用。通滤波作用。2、对于该幅值和频、对于该幅值和频率的正弦波，非线性率的正弦波，非线性环节放大倍数正好为环节放大倍数正好为1/G(j) ，且不能，且不能产生直流分量。产生直流分量

13、。0 r9.3 描述函数法描述函数法 9.3.1 谐波线性化谐波线性化1、G(s)具有很强的低通滤波作用具有很强的低通滤波作用。2、非线性环节不能产生直流分量非线性环节不能产生直流分量。 滤波后仅剩滤波后仅剩1次谐波次谐波G(s) txtxtx3sinsin)(3105101520051015202530tyty sin)(105101520051015202530设非线性特性对称于原点设非线性特性对称于原点，则，则A0=0 。G(s)强低通滤波非线性环节不产生直流分量强低通滤波非线性环节不产生直流分量 仅剩仅剩1次谐波次谐波 仅考虑仅考虑1次谐波时，非线性环节等效简化模型？次谐波时，非线性环

14、节等效简化模型？)70-9()sin(sincos)(11111 tYtBtAty一一次次谐谐波波分分量量：输入：输入：x(t)=Xsin t, 1010)sin()sincos()(kkkkkktkYAtkBtkAAty输输出出：(9-68) kkkkkkkkBABAYttdktyBttdktyAarctan)(sin)(1)(cos)(1222020 (9-69) 200)()(21tdtyA静态静态非线性环节非线性环节本章仅考虑不包含储能元件的非线性元件，此时，描述函数只本章仅考虑不包含储能元件的非线性元件，此时，描述函数只是是输入振幅的函数，而与输入信号的频率无关输入振幅的函数，而与输

15、入信号的频率无关，记为，记为N(X) 。非线性元件的描述函数非线性元件的描述函数N定义为定义为)71-9(arctan11212111BAXBAXYN )sin(sincos)(11111 tYtBtAty输输出出的的一一次次谐谐波波分分量量：输入：输入：x(t)=Xsin t,0 rG(s)强低通滤波非线性环节不产生直流分量强低通滤波非线性环节不产生直流分量 仅剩仅剩1次谐波次谐波 仅考虑仅考虑1次谐波时，非线性环节等效简化模型？次谐波时，非线性环节等效简化模型？采用描述函数法条件：采用描述函数法条件：（ 1）原点对称条件）原点对称条件系统的非线性部分的特性必须是系统的非线性部分的特性必须是

16、静态静态奇函数，使得输出没奇函数，使得输出没有直流分量，有直流分量，A0=0。（2）滤波条件）滤波条件 在实际系统中，系统线性部分都具有低通性，因而滤波条在实际系统中，系统线性部分都具有低通性，因而滤波条件一般都是成立的，这使得谐波线性化方法一般能给出可件一般都是成立的，这使得谐波线性化方法一般能给出可靠的近似结果。靠的近似结果。)()(txftxf 9.3 描述函数法描述函数法 9.3.1 描述函数与谐波线性化描述函数与谐波线性化例例9-10 试推导右图试推导右图9-25（a）所示的）所示的双位理想继电器特性的描述函数。双位理想继电器特性的描述函数。 110)sin)sincos()(kkk

17、kktkBtkBtkAAty解：奇函数解：奇函数傅里叶级数展开式中，傅里叶级数展开式中，对所有对所有k (k=0, 1, 2.)，Ak=0,)77-9(sin)(11tBty 一一次次谐谐波波分分量量： MttdMttdtyB4)(sin2)(sin)(10201)79-9(40)(1XMXBXN 9.3 描述函数法描述函数法 9.3.2 典型环节的描述函数典型环节的描述函数典型非线性环节的描述函数（表典型非线性环节的描述函数（表9-3）三位置继电器三位置继电器 XXXM,1422 滞环继电器滞环继电器dXXMdjXdXM ,41422 死区加滞环继电器死区加滞环继电器dXmmXMdjXdXm

18、dXM , 10 121122229.3 描述函数法描述函数法 9.3.2 典型环节的描述函数典型环节的描述函数串联：将两个环节视为一个整体来推导描述函数串联：将两个环节视为一个整体来推导描述函数)91-9(,1422 XXXM 等效为等效为9.3 描述函数法描述函数法 9.3.3非线性非线性环节环节的的串联串联与与并联并联)94-9()()(1)()()()()( jGXNjGXNjRjCjT系统闭环频率特性：系统闭环频率特性：)95-9(0)()(1 jGXN闭环特征方程：闭环特征方程：)96-9()(1)(XNjG )()()(1XjQXPXN 负倒数描述函数负倒数描述函数 给定给定X，

19、即可确定复平面，即可确定复平面上的点上的点 ，根据，根据奈奎斯特稳定性判据，该奈奎斯特稳定性判据，该点就是系统出现临界振荡点就是系统出现临界振荡的临界点。当的临界点。当G(j )的奈的奈奎斯特曲线穿过此点时，奎斯特曲线穿过此点时，系统出现系统出现极限环。极限环。)(),(XQXP9.3 描述函数法描述函数法 9.3.4非线性非线性控制控制系统的系统的描述函数分析描述函数分析方法方法需要考虑所有可能的初始状态需要考虑所有可能的初始状态考虑考虑所有所有X值。值。 当有小扰动当有小扰动 X时，在相交点时，在相交点A和相和相交点交点B附近，附近，X如何变化？如何变化？9.3 描述函数法描述函数法 9.

20、3.4描述函数分析描述函数分析法法 相交点相交点A、B的物理意义？的物理意义？)(1)(XNjG X、N(X)增大的物理意义？增大的物理意义？ 若闭环系统在某初始状态下稳定，若闭环系统在某初始状态下稳定，X如何变化？若不稳定？如何变化？若不稳定？设非线性控制系统的线性部分设非线性控制系统的线性部分G(s)在在s平面右半面无极点平面右半面无极点。)96-9()(1)(XNjG )()()(1XjQXPXN 设非线性控制系统的线性部分设非线性控制系统的线性部分G(s)在在s平面右半面无极点平面右半面无极点。 若以若以X为参数的曲线为参数的曲线-1/N(X)没有没有被以被以 为参数的为参数的曲线曲线

21、G(j ) 包围包围，则系统稳定。则系统稳定。 若曲线若曲线-1/N(X) 被曲线被曲线G(j )包围包围，则系统不稳定。则系统不稳定。 若若曲线曲线-1/N(X)与曲线与曲线G(j ) 相交相交，可能是稳定的极限环，也可能是可能是稳定的极限环，也可能是不稳定的极限环，两条曲线的相不稳定的极限环，两条曲线的相交点就确定了极限环的振幅和频交点就确定了极限环的振幅和频率率(X*, *)。9.3 描述函数法描述函数法 9.3.4描述函数分析描述函数分析法法，稳定性的判定，稳定性的判定 若若N(X*+ X)时得到的线性化系统是时得到的线性化系统是稳定稳定的，而的，而N(X*- X)时得到的系统是时得到

22、的系统是不稳定不稳定的，则的，则极限环极限环(X*, *)是是稳定稳定的；的； 反之反之N(X*+ X)时得到的线性化系统时得到的线性化系统不稳定不稳定， N(X*- X)是是稳定稳定的，则的，则极限环极限环(X*, *)是是不稳定不稳定。9.3 描述函数法描述函数法 9.3.4描述函数分析描述函数分析法法，自持振荡的确定，自持振荡的确定例例9-13 非线性控制系统线性部分的传递函数为非线性控制系统线性部分的传递函数为)136)(1(12)136)(1(12)(22 jjssssGjsjs非线性元件分别为（非线性元件分别为（1）理想继电器（）理想继电器（2）滞环继）滞环继电器，确定自持振荡。电

23、器，确定自持振荡。A: (X*, *)=(1.27, 4.36)A: (X*, *)=(2.32, 3.2) N(X*+ X)没被没被G(j )包围，稳定；包围，稳定； N(X*- X)被被G(j )包围，不稳定；包围，不稳定；所以所以A点两种情况的极限环稳定，为系统稳定的自持振荡。点两种情况的极限环稳定，为系统稳定的自持振荡。例例9-13 考虑如图考虑如图9-33(a)所示的非线性三阶控制系统。所示的非线性三阶控制系统。)98-9(1,14)(,)1)(5 . 1(10)(22 XXXXNjjjjG分析系统存在的自振，并设分析系统存在的自振，并设计串联校正装置消除系统的计串联校正装置消除系统

24、的自振，从而使系统稳定。自振，从而使系统稳定。解解: 在复平面上绘出在复平面上绘出-1/N(X)和和G(j )23. 1,05. 1(),(* X)23. 1,23. 3(),(* X不稳定不稳定稳定，有稳定，有自持振荡自持振荡 9.3 描述函数法描述函数法 9.3.5 综合问题举例综合问题举例看图，消除自振最简看图，消除自振最简单的办法是？单的办法是？ 中频中频段段1.23附近右、下移附近右、下移27 . 0)1)(5 . 1(10)( jjjjjjG校正后的线性系统为：校正后的线性系统为：校正后的系统中没有自持振荡，校正后的系统中没有自持振荡，并且系统是稳定的并且系统是稳定的。27 . 0

25、)( jjjGc尝试：引入校正环节尝试：引入校正环节)99-9()04. 0)(2()16. 0)(7 . 0()( jjjjjGc尝试：引入校正环节尝试：引入校正环节)100-9()04. 0)(2()16. 0)(7 . 0()1)(5 . 1(10)( jjjjjjjjG校正后的线性系统为：校正后的线性系统为：校正后的系统中没有自持振荡，校正后的系统中没有自持振荡，并且系统是稳定的并且系统是稳定的。9.2 相平面分析法相平面分析法 n 未必总能满足描述函数法的条件。未必总能满足描述函数法的条件。n 有时需要了解更详细的响应特点。有时需要了解更详细的响应特点。如何在不求解非线性微分方程的前

26、提下如何在不求解非线性微分方程的前提下n 考虑所有可能的初始状态和输入下系统的动态行为？考虑所有可能的初始状态和输入下系统的动态行为？n 简单的方式确定系统的性能简单的方式确定系统的性能：稳、快、准：稳、快、准本课程假设系统能用二阶非线性微分方程近似描述本课程假设系统能用二阶非线性微分方程近似描述0) ( xx,fx p为什么没有考虑为什么没有考虑输入输入的影响？的影响？ )( ;egxeryeryery KxyyTsTsKTssKsXsY 2)1()()(0) ( ee,fe 对特定的输入对特定的输入r(t)9.2 相平面分析法相平面分析法 引言引言 考虑所有可能的初始状态和输入考虑所有可能

27、的初始状态和输入例例9-6 考虑含有饱和非线性特性的控制系统，考虑含有饱和非线性特性的控制系统， T0, K0，试，试分析阶跃输入作用下系统的运动。分析阶跃输入作用下系统的运动。)27-9(III, 1,3II, 1,3I, 1,3 区区区区区区eeeex)28-9(KxyyT )29-9(0, 0)( 1)( rrTKxeeTyrerrtRtr ，又由于又由于设阶跃输入为：设阶跃输入为： 9.2 相平面分析法相平面分析法 简化作图引言简化作图引言033 KeeTx 时时，033 KeeTx 时时，033 KeeeTex 时时，本课程假设系统能用二阶非线性微分方程近似描述本课程假设系统能用二阶

28、非线性微分方程近似描述0) ( xx,fx 9.2 相平面分析法相平面分析法 引言引言 考虑所有可能的初始状态和输入考虑所有可能的初始状态和输入p如何求解如何求解x(t)？p 给定给定初始状态初始状态在初始时刻在初始时刻t0时的初始状态为时的初始状态为x(t0), dx/dt(t0) p 迭代求解迭代求解x(t)和和dx/dt 。p每个初始状态每个初始状态迭代求解迭代求解x和和dx/dt ，难以从大量的曲线中得到规律；难以从大量的曲线中得到规律； 集中到一幅图，并提供感性认识以便发现规律集中到一幅图，并提供感性认识以便发现规律)59( ),( xxfxxx 例例9-1 二阶系统方程相轨迹二阶系

29、统方程相轨迹)8-9(02 xx )10-9(0)0(2)0(2122222020 xxxxxdxxdxtt ：对应相轨迹方程的解为对应相轨迹方程的解为1)0()0()0()0(2222222 xxxxxx 整整理理得得：ba12222 bxaxp每个初始状态每个初始状态迭代求解迭代求解x和和dx/dt ，难以从大量的曲线中得到规律；难以从大量的曲线中得到规律； 集中到一幅图，并提供感性认识以便发现规律集中到一幅图，并提供感性认识以便发现规律如何简化作图？如何简化作图？ 位置和速度是位置和速度是否归零否归零 稳定性稳定性某些能量或物某些能量或物质消失了质消失了9.2 相平面分析法相平面分析法

30、n 等倾斜线法等倾斜线法n 对称性等形状特征辅助判断对错及简化作图对称性等形状特征辅助判断对错及简化作图n 典型的动态行为模式典型的动态行为模式n （孤立平衡点附近线性化）焦点、节点等（孤立平衡点附近线性化）焦点、节点等n 极限环极限环n 非孤立平衡点的典型非线性动态行为非孤立平衡点的典型非线性动态行为在相平面图中，可以采用多种方法简化作图在相平面图中，可以采用多种方法简化作图9.2 相平面分析法相平面分析法 等倾斜线法等倾斜线法n 作法作法n 对称性等形状特征辅助判断对错及简化作图对称性等形状特征辅助判断对错及简化作图在相平面图中，可以采用多种方法简化作图在相平面图中，可以采用多种方法简化作

31、图1相点与相轨迹相点与相轨迹 相点相点：满足：满足(9-5)式子的点；式子的点；相轨迹相轨迹：x和和dx/dt在相平面上随时在相平面上随时间间t变化的运动轨迹。变化的运动轨迹。)59( ),( xxfxxx 箭头表示时间箭头表示时间增加时状态运增加时状态运动的方向动的方向相点的物理意义相点的物理意义下一步往哪里走下一步往哪里走) ,(xx) ,(xx xxxfxxdtdxdtxddxxdxx ),( 等倾线法：批量作图等倾线法：批量作图9.2 相平面分析法相平面分析法 引言引言 简化作图：等倾斜线法简化作图：等倾斜线法等倾斜线法的步骤如下：等倾斜线法的步骤如下：（1）等倾斜线：斜率相同的相点连

32、线）等倾斜线：斜率相同的相点连线)13-9(tan),(kxxxf 为等倾线与为等倾线与x轴的夹角，轴的夹角，将满足方程（将满足方程（9-13）的点）的点连接成等倾线连接成等倾线取不同的取不同的 角，画出不同角，画出不同的等倾线的等倾线斜率为斜率为kA等倾线斜率等倾线斜率xxxfxxdtdxdtxddxxdxx ),( 以以短短折折线线逼逼近近相相轨轨迹迹。原原理理： 9.2 相平面分析法相平面分析法简化画法：简化画法：等倾斜线法等倾斜线法；批量确定变化斜率批量确定变化斜率) ,() ,() ,(BBAAAAAAxx Bxxxf xxA 化化的的大大致致情情况况。的的分分布布能能了了解解相相轨

33、轨迹迹变变通通过过各各DA， 9.2 相平面分析法相平面分析法 辅助知识：辅助知识：非孤立平衡点非孤立平衡点/无平衡点无平衡点9.2 相平面分析法相平面分析法 辅助知识：辅助知识：非孤立平衡点非孤立平衡点/无平衡点无平衡点9.2 相平面分析法相平面分析法 辅助知识：辅助知识：非孤立平衡点非孤立平衡点/无平衡点无平衡点0 xxx xtgxkxx, xxxxk 11)( 满足满足的点的点相同相同()102030405060708090k-6.68-3.75-2.73-2.19-1.84-1.58-1.36-1.18-1.00arctgk-81.5-75.0-70.0-65.6-61.5-57.7-

34、53.7-49.7-45kxxxfxxdxxdxx ),()14-9( ),(xbkaxxbaxxxf 其其等等倾倾线线方方程程为为：，对对于于线线性性系系统统有有线性系统的等倾线为通过原点、线性系统的等倾线为通过原点、斜率为斜率为-a/(k+b)的直线的直线9.2 相平面分析法相平面分析法 引言引言 简单的方式作图：等倾斜线法简单的方式作图：等倾斜线法斜率为斜率为kA等倾线斜率等倾线斜率kxxxfxxdxxdxx ),(迹迹。试试绘绘出出系系统统的的一一条条相相轨轨考考虑虑系系统统 ,),(xbaxxxf )15-9()( )1(: xbaxxxx 为：为：系统的相变量微分方程系统的相变量微

35、分方程解解关关于于原原点点对对称称。，因因),(),()2(xxfxxf )16-9()3(xbkax 等等倾倾线线方方程程为为：取取a=b=1斜率为斜率为kB=-1.2等倾线斜率等倾线斜率-a/(kB+b)=5例例9-29.2 相平面分析法相平面分析法 引言引言 等倾斜线法等倾斜线法kxxxfxxdxxdxx ),(例例9-3 。试试绘绘出出系系统统的的相相平平面面图图考考虑虑非非线线性性系系统统 , 0 axxbx )18-9(0, 00, 0)1( xaxxbxxaxxbx 上述方程可转化为：上述方程可转化为：解：解：(2) 对称于对称于x轴，可先画轴，可先画出上半部分，再对称出上半部分

36、，再对称绘出下半部分。画出绘出下半部分。画出系统的相平面图如图系统的相平面图如图9-8所示。所示。的偶函数。的偶函数。是关于是关于，xxx,-fxx,f)()( kxxxfxxdxxdxx ),(例例9-4 考虑非线性系统考虑非线性系统 的相平面图。的相平面图。 042 xxx )20-9()(41 2 xxxxx 系统的相变量方程为：系统的相变量方程为：解：解：044)(22 xxkxxxxk等倾线方程为：等倾线方程为：)21-9(0)4()2(22 kxkx 即即 等倾线不是直线而是抛物等倾线不是直线而是抛物线，抛物线的顶点位于相线，抛物线的顶点位于相平面的平面的(4k2,2k)处。处。

37、将抛物线上的短线按方向将抛物线上的短线按方向场指出的方向连接起来即场指出的方向连接起来即可勾划出相轨迹。可勾划出相轨迹。 轨轨迹迹通通过过该该点点），走走向向不不确确定定（多多条条相相的的点点。）（和和奇奇点点：同同时时满满足足000 0 dxxdxx,fx9.2 相平面分析法相平面分析法 奇点奇点xxxfxxdtdxdtxddxxdxx ),( 042 xxx 0 axxbx 9.2 相平面分析法相平面分析法 形状特征形状特征 对称性对称性) () (* ) () (* ) () (* 1 xx,fxx,fxxx,fxx,fxxx,fxx,f 轴轴：对对称称于于轴轴：对对称称于于对对称称于于

38、原原点点：对对称称性性特特征征 ：的的对对称称性性本本质质：斜斜率率xxx,fdxxd) ( 自行证明，并通过自行证明，并通过二阶线性系统验证二阶线性系统验证042 xxx 0 axxbx 轴轴的的斜斜率率穿穿过过特特征征x ：2 00) ( xxxxx,fdxxd除除奇奇点点外外，试解释其物理意义试解释其物理意义9.2 相平面分析法相平面分析法 形状特征形状特征 走向走向042 xxx 0 axxbx 右右半半平平面面左左半半平平面面下下半半平平面面上上半半平平面面轨轨迹迹走走向向特特征征 * * * * * * * * ：39.2 相平面分析法相平面分析法 简介：形状特征简介：形状特征 走

39、向走向向向左左转转移移。故故状状态态沿沿相相迹迹曲曲线线由由右右即即x x0 0, ,x x下下半半平平面面, ,向向右右转转移移; ;故故状状态态沿沿相相迹迹曲曲线线由由左左, ,即即x x0 0, ,x x上上半半平平面面, ,在在相相平平面面的的, 0 xxx xtgxkxx, xxxxk 11)( 满足满足的点的点相同相同()102030405060708090k-6.68-3.75-2.73-2.19-1.84-1.58-1.36-1.18-1.00arctgk-81.5-75.0-70.0-65.6-61.5-57.7-53.7-49.7-45kxxxfxxdxxdxx ),(9.

40、2 相平面分析法（简化作图）相平面分析法（简化作图）孤立平衡点孤立平衡点附近的典型动态行为附近的典型动态行为孤立平衡点附近线性化：孤立平衡点附近线性化：1 1）奇点（平衡点）的定义；）奇点（平衡点）的定义；2 2）奇点附近动态行为类型。）奇点附近动态行为类型。轨轨迹迹通通过过该该点点），走走向向不不确确定定（多多条条相相的的点点。）（和和奇奇点点：同同时时满满足足000 0 dxxdxx,fx9.2 相平面分析法相平面分析法 奇点奇点xxxfxxdtdxdtxddxxdxx ),( 042 xxx 0 axxbx 9.2.4非线性系统的相平面图分析非线性系统的相平面图分析 说明：不在原点的奇点

41、可坐标平移到原点。说明：不在原点的奇点可坐标平移到原点。 )24-9(),(),(),(),(000),()00(),(000000 xbaxxxxxfxxxxfxxfxxfxxfxxxxxxxxx 略掉最高次项，得：略掉最高次项，得：）附近泰勒级数展开，）附近泰勒级数展开，在（在（，即原点为平衡点。，即原点为平衡点。处处，假设假设)25-9(),(,),(, 0),(000000 xxxxxxxxxfbxxxfaxxf其中，其中，9.2 相平面分析法相平面分析法 简介：形状特征简介：形状特征 孤立平衡点附近线性化孤立平衡点附近线性化0) ( xx,fx 9.2.3线性系统的相平面图分析线性系

42、统的相平面图分析)22-9()( xbaxxxx )23-9(02 abss其其特特征征方方程程为为：。趋趋向向非非- - -( (1 1) )稳稳定定节节点点1 1)0 , 0(pp2于于奇奇点点振振荡荡方方式式相相轨轨迹迹以以为为负负实实根根，系系统统特特征征根根。非非- - -稳稳定定节节点点( (2 2) )1 1散散出出振振荡荡方方式式从从奇奇点点相相轨轨迹迹以以为为正正实实根根，系系统统特特征征根根不不)0 , 0(pp29.2 相平面分析法相平面分析法平衡点附近的典型动态行为（平衡点附近的典型动态行为（线性化线性化）。- - -( (3 3) )稳稳定定焦焦点点1 1)0 , 0

43、(pp2于于奇奇点点相相轨轨迹迹以以振振荡荡方方式式趋趋向向为为负负实实部部共共轭轭复复数数，系系统统特特征征根根。- - -稳稳定定焦焦点点( (4 4) )1 1散散出出点点相相轨轨迹迹以以振振荡荡方方式式从从奇奇为为正正实实部部共共轭轭复复数数，系系统统特特征征根根不不)0 , 0(pp2线。线。）的环环相套的封闭曲）的环环相套的封闭曲围绕奇点（围绕奇点（轨迹为轨迹为系统两个共轭虚根，相系统两个共轭虚根，相,00 0(5)中心点(5)中心点。- - -( (6 6) )1 1动动附附近近的的呈呈现现马马鞍鞍形形状状运运相相轨轨迹迹在在奇奇点点为为一一正正一一负负实实根根，系系统统特特征征

44、根根鞍鞍点点 )0 , 0(pp2例例9-5 试研究如下二阶非线性系统的奇点和稳定性。试研究如下二阶非线性系统的奇点和稳定性。)26-9(0sin2 xxx )sin2),(xxxxfx （解解：都都为为系系统统奇奇点点。轴轴上上点点，有有即即对对于于所所有有，此此时时，（时时，有有令令)0 ,(0)0 ,(.2, 1, 0,0sinx00)sin20),( ixifiixxxxxxfzzzzzzfzzzzffzzlzzzzfzlllzzzz 20),(),()0, 0()0 , 0(),()2sin(2),()0,2(x2xz)0,2(10000处处附附近近泰泰勒勒级级数数展展开开，在在坐坐

45、标标平平移移到到原原点点，即即轴轴上上奇奇点点将将方方程程在在变变换换，：奇奇点点为为情情况况3229. 15 . 0275 . 028112, 1jjp 02 zzz 特特征征方方程程为为：（2l , 0）均为稳定焦点。）均为稳定焦点。 zzzzzzfzzzzffzzlzzzzfzlllzzzz 20),(),()0, 0()0 , 0(),()12(sin(2),()0,)12(x)12(xz)0,)12(20000处处附附近近泰泰勒勒级级数数展展开开，在在坐坐标标平平移移到到原原点点，即即轴轴上上奇奇点点将将方方程程在在变变换换，：奇奇点点为为情情况况02 zzz 特特征征方方程程为为：

46、 2123128112, 1p（(2l+1) , 0）均为鞍点。）均为鞍点。 Mmgdtdfldtdml sin22Mmgdtdfldtdml 22n单摆单摆: :n小范围：小范围：线性系统线性系统n大范围：大范围：非线性系统，出现非线性系统，出现复杂动力学行为复杂动力学行为n相图表明：？相图表明：？摆初态及其后摆初态及其后续变化续变化9.2 相平面分析法（简化作图）相平面分析法（简化作图）极限环（典型动态行为）极限环（典型动态行为）1s+1Transfer FcnStepScopeRelayPulseGenerator(1)(1)稳定极限环：对应于系统的自持振荡。稳定极限环：对应于系统的自持

47、振荡。(2)(2)不稳定极限环不稳定极限环 9.2 相平面分析法相平面分析法极限环，典型动态行为极限环，典型动态行为(3)(3)半稳定极限环半稳定极限环：9.2 相平面分析法（简化作图）相平面分析法（简化作图）非孤立平衡点非孤立平衡点附近的典型动态行为附近的典型动态行为辅助知识辅助知识x0 x 21沿哪条轨迹更快到达纵坐标？沿哪条轨迹更快到达纵坐标？比较各种描述动态行为的方法比较各种描述动态行为的方法022 xxx 0 kxx fxm 9.2 相平面分析法（简化作图）相平面分析法（简化作图）非线性控制系统性能分析和改造非线性控制系统性能分析和改造分区线性化分区线性化例例9-6 考虑含有饱和非线

48、性特性的控制系统，考虑含有饱和非线性特性的控制系统， T0, K0，试，试分析阶跃输入作用下系统的运动。分析阶跃输入作用下系统的运动。)27-9(III, 1,3II, 1,3I, 1,3 区区区区区区eeeex)28-9(KxyyT )29-9(0, 0)( 1)( rrTKxeeTyrerrtRtr ，又由于又由于设阶跃输入为：设阶跃输入为： 9.2 相平面分析法相平面分析法 9.2.5 非线性控制系统的分区线性化非线性控制系统的分区线性化I区区 区区区区区区III, 1,3II, 1,3I, 1,3eeeex033 KeeTx 时时，)32-9(31eKeTdeed 13 )6e)53

49、3 , 0)4, 0)3 kTKeKeeKee等等倾倾斜斜线线方方程程为为：果果，形形状状相相同同。动动的的结结都都是是某某一一相相轨轨迹迹水水平平移移无无关关，所所有有相相轨轨迹迹相相轨轨迹迹与与时时，斜斜率率为为负负时时，斜斜率率为为正正下下半半平平面面斜斜率率为为负负上上半半平平面面系统在系统在I区无奇点区无奇点轴轴；相相轨轨迹迹垂垂直直通通过过时时，当当，直直线线；斜斜率率为为时时，当当分分析析：eeKe 0)20 3)1 II区区033 KeeeTex 时时，eKeeTdeed31 )36-9(13 )2(ekTKe 等等倾倾斜斜线线：),(),()0 , 0()1(eefeef 原

50、点对称，奇点原点对称，奇点)37-9( 03 )3(2 KsTs特特征征方方程程：KTTTTKTp1212121 212112, 1 )0 , 0(12/1)()0 , 0(121)(焦焦点点以以振振荡荡方方式式接接近近于于稳稳定定，时时，实实部部为为负负的的共共轭轭根根当当定定节节点点以以非非振振荡荡方方式式接接近近于于稳稳迹迹时时，两两个个负负实实根根，相相轨轨当当 KTbKTa 区区区区区区III, 1,3II, 1,3I, 1,3eeeexIII区区033 KeeTx 时时，)41-9(31eKeTdeed 原原点点对对称称。区区的的相相轨轨迹迹关关于于区区与与区区的的相相轨轨迹迹方方

51、程程比比较较：与与IIII31IeKeTdeed )42-9(13 kTKe 等等倾倾斜斜线线方方程程为为： 区区区区区区III, 1,3II, 1,3I, 1,3eeeex例例9-7 不灵敏区的存在导致带有死区的饱和非线性特性情况不灵敏区的存在导致带有死区的饱和非线性特性情况 (T0, K0) ，试分析阶跃输入作用下系统的运动。，试分析阶跃输入作用下系统的运动。)43-9(V,1,3IV,1, )(3III,0II,1, )(3I,1,3 区区区区区区区区区区eeeeeeexIII区区)44-9(0 eeT Tdeed1 系统在系统在III区无奇点，相轨迹区无奇点，相轨迹均为斜率为均为斜率为

52、-1/T的直线的直线例例9-8 考虑具有滞环继电器非线性特性的控制系统，考虑具有滞环继电器非线性特性的控制系统，T0,K0,d0,试分析斜坡输入作用下系统的运动试分析斜坡输入作用下系统的运动 .)47-9( I, 0,3II, 0,3II, 0,3I, 0,3 区区区区区区区区edeedeedeedex)49-9( 0 )48-9( vrrTKxeeTr-ye，rv，rvtrKxyyT ，且且时时，有有当当：线线性性环环节节的的微微分分方方程程为为03I vKeeT 区区：03II vKeeT 区区：例例9-9 考虑控制器含有非线性增益的控制系统，考虑控制器含有非线性增益的控制系统，T0, K

53、0，确定确定k的的取值范围，并分析恒值控制和速度随动控制两种情况下系统的运动。取值范围，并分析恒值控制和速度随动控制两种情况下系统的运动。 )58-9(II,I,300 区区区区eekeeeex)60-9( II )59-9(3 IrrTKkeeeTrrTKeeeTr-y，eKxyyT 区内系统误差方程：区内系统误差方程：在在区内系统误差方程：区内系统误差方程：在在线性环节：线性环节：9.2 相平面分析法相平面分析法9.2.6 利用利用非线性特性非线性特性改进控制改进控制系统的系统的动态动态性性能能，获获得得快快速速性性。使使系系统统具具有有较较小小的的阻阻尼尼益益，时时，选选择择较较大大的的

54、系系统统增增）（01ee )61-9(032 KsTs系系统统的的闭闭环环特特征征方方程程：为为稳稳定定焦焦点点；对对应应的的奇奇点点，应应使使已已选选定定的的关关系系，)0 , 0(1121312 32 KTexTTKnn. 320 kee调调，要要求求临临界界阻阻尼尼，防防止止过过大大超超益益，使使系系统统接接近近时时，选选择择较较小小的的系系统统增增）（)62-9(02 KksTs系系统统的的闭闭环环特特征征方方程程：KTkKkTKTkTTKknn4/13).0 , 0(141,4/112 2 趋近于稳定节点趋近于稳定节点，根轨迹以非振荡方式，根轨迹以非振荡方式特征方程有两个负实根特征方

55、程有两个负实根，有有，可取，可取， 恒值控制时，设恒值控制时，设r(t)=R。 ）（）（64-9 ;, 063-9 ;, 0300eekexKkeeeTeeexKeeeT 分别对应稳定焦点分别对应稳定焦点(0,0)和稳定节点和稳定节点(0,0) 速度随动控制时，设速度随动控制时，设r(t)=R 1(t)+vt。 )659( ,I, , 03330 区区，eeexKveKeeTvKeeeT )669( ,II, , 00 区区，eekexKkveKkeeTvKkeeeT )/(II)669( 0TkvKkev区区稳稳定定节节点点为为奇奇点点可可实实现现，时时，当当 点点接接近近。横横轴轴的的交交

56、点点往往返返并并逐逐渐渐向向转转换换线线与与区区之之间间区区与与不不可可实实现现，相相轨轨迹迹在在时时，两两个个方方程程奇奇点点当当)0 ,(III3000eKevKke 实实现现。可可时时，奇奇点点状状态态当当)0 ,3/(30KvKev 速度随动控制时，设速度随动控制时，设r(t)=R 1(t)+vt。 )659( ,I, , 03330 区区，eeexKveKeeTvKeeeT )669( ,II, , 00 区区，eekexKkveKkeeTvKkeeeT 制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工9.4 利用利用MATLAB分析分析非线性非线性控制控制系统系统求解微分方程可

57、调用的函数求解微分方程可调用的函数ode45(), 格式如下：格式如下：tout, yout=ode45(odefun, tspan, y0)例例9-14 考虑如图所示有死区加滞环的继电器特性的非线性考虑如图所示有死区加滞环的继电器特性的非线性系统系统, 其中其中, d=4,m=0.25,M=1,K=1,T=1.25，试用，试用 MATLAB辅助分析系统在阶跃信号辅助分析系统在阶跃信号r(t)=10 1(t)作用下的运动。作用下的运动。解：具有死区加滞环的继解：具有死区加滞环的继电器特性如下：电器特性如下： 区区区III, 0;,II, 0;,I, 0;, 0,0mdeedeMmdeedeMm

58、dededemdeu制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工9.4 利用利用MATLAB分析分析非线性非线性控制控制系统系统KxyyT 系统微分方程为：系统微分方程为：0 KxeeT 误误差差方方程程为为： 区区区区区区各各区区间间的的微微分分方方程程为为：IIIKMeeTIIKMeeTIeeT,0,0,0 编写编写M文件文件ex9_15.m，命令窗口，命令窗口输入内容见输入内容见348页，运行结果页，运行结果如图如图9-36所示。所示。-3-11357911-5-4-3-2-101234系 统 相 轨 迹 图e(t)de/dt制作制作- -罗家祥罗家祥审校审校- -胥布工胥布工9.4 利用利用MATLAB分析分析非线性非线性