近世代数答案

1、3Answer to Chapter 19.设S为群G的一个非空子集，在 G中定义一个关系aRb当且仅当ab- 1 S证明 这是一个等价关系的充分必要条件为S是一子群.Proof. ”必要性”：假设R为G上的等价关系，下证S为G的子群。对任意的a, b S,我们需证ab- 1 S。对任意的b S, be-1 = b S，由关系的定义知，bRe。因为R为等价关系，所以eRb。对任意的a, b S，则我们有aRe, eRb，由等价关系的 传递性，我们有aRb,推出ab-1 S。”充分性”：假设S为G的一个子群，下证 R为G上的一个等价关系。1) ?a G, aa- 1 = e S ? aRa;2)

2、 ?a, b G，若 aRb,则 ab- 1 S。因为 S < G，所以(ab- 1)- 1 = ba- 1 S ? bRa;3) ?a, b,c G,若aRb, bRc,则 ab- 1 S, bc- 1 S，由 S为子群知 ab- 1bc- 1 = ac- 1 S ? aRc;12.证明：如果在一阶为2n的群中有一个n阶子群，它一定是正规子群。Proof.设|G| = 2n, H < G, |H | 二 n。我们需证？g G, gH = Hg。1)如果 g H ,那 么gH = H = Hg显然成立；2)如果gH，考虑由H诱导的G的左右陪集的划分，G = H UgH = H UH

3、g.我们有gH = Hg。17.如果G为一交换群，证明G中全体有限阶元素组成一子群。Proof.设S表示G的阶有限元素全体， e S,所以S非空。设x, y S，且o(x)= m, o(y) = n。易知 o(y- 1) = o(y) = n。所以(xy- 1)mn = e,推出 xy- 1 S。特别 地，S < G。20.设H, K为群G的子群，证明HK为子群当且仅当 HK二KH。Proof.方法一：若 HK < G，下证 HK = KH。对任意 h H, k K, (kh)- 1 = h- 1 k- 1 HK。由 HK < G之HK 对逆元封闭，所以 kh = (h- 1

4、k- 1)- 1 HK， 由kh的任意性，KH ? HK。对任意 h H, k K, HK < G知k- 1h- 1 HK，特别地存在 x H, y K ,xy = k- 1h- 1。两边同时取逆，hk = y- 1x- 1 KH，由hk的任意性知HK ? KH .假设 HK = KH，下证 HK < G。对任意的 hk1,h2k2 HK , hk1(h2k2)- 1 = h1k1k21h21，由 HK = KH 知，存在 h H, k K 使得 hk = k1k21h21，所以 h1&(h2k2)- 1 = h1hk HK。特别地，HK < G。方法二：易知对任意的

5、子群 H < G，我们有H二H-1二x-1|x H.女口 果HK < G,我们有 HK = (HK )- 1 = K- 1H- 1 = KH。反之，如果 HK 二 KH ， 我们有(HK )(HK )- 1 ? HKK - 1H- 1 ? HKH - 1 = HKH ? HHK ? HK。特另H 地,?x, y HK, xy- 1 HK，所以 HK < G。Proof.易知H AK < H ,考虑H关于子群H AK的陪集的划分。H = hi(H AK) U -Uhm(H AK),由Lagrange 定理知 m 二詁寻° HK = (hi(H AK ) U Um

6、(H AK )K ,因为 H AK < K ,所以HK = (hi(H A K ) U -Uhm(H A K ) K ? hiK U UhmK显然hiK U UmK ? HK，所以HK = hiK U UmK，我们只需要证明上述并 为不交并。假设hiK A hj K = ?，由陪集的定义知，hiK = hj K ,推出hih- 1 K , 但是hih- 1 H，所以 hih-1 H AK。特别地，hi(H AK ) = hj (H AK )，与 H AK 的 划分矛盾，所以上述交为不交并。因此|HK | = m|K | =|H AK |22.Proof. i) MN = Um gm mN

7、。因为 N 为正规子群，所以？m M, mN = Nm 。 所以 MN 二 Uk cm mN = Um cm Nm = NM ;ii) 由i)知，MN < G。对任意的 g G, gMN = MgN = MNg，所以 MN ? G;iii) 定义f : MN f Mmn f m对任意的a MN，如果a = mn二mini,我们有mim = nin-特 别地， mi im M, nin-i N 所以 mi im = e = nin-， i.e. m = mi, n二ni。上述定义为良定的；显然f为满射。下证 f为群同态.对 任意的 mni, m2n2 MN ， minm2n2 = mim2

8、n 'n2 (事实上可以证明此 时M 与N 乘法交换,i.e. mn 二 nm )，所以 f (mi门何2n2) = f (mim2n n2)= mim2 = f (m in)f(m2n2)。易知kerf = N ,由同态基本定理知 MN/N 三M。23.Proof. i)对任意的 x, y C(S), a S, ya = ay ? y- ia = ay- i，所以 xy- ia = axy- i，特别地 xy- i C(S),所以 C(S) < G;对任意 x N (S), x- iSx = S ? xSx - i 二 S,特别地，X- i N (S)。对任意的 x, y N

9、(S), xy- iS(xy- i)- i 二 S，所以 xy - i N (S)，特别地 N (S) < G。ii) C(s)? N (S) ? ?g N (S),gC(S)g i ? C(S) ? ?g N(S),x C(S),gxg- i C(S) ? ?a S,gxg- ia(gxg- i)- i = a.因为 g N (S),所以 g- iag = b S。 所以 gxg- ia(gxg- i)- i = gxg- iagx- ig- i = gxbx- ig- i = gbg- i = a。25.Proof.设|G| = 4，由Lagrange定理知，G中非单位元素的阶为 2

10、,4。i)若G中含有阶为4的元素g，则G = e,g,g2,g3|g4 = e。2)若G中没有阶为4的元素，则任意非单位元的元素的阶为2。令e = a G ,则H二e,a为G的子群。因为|G| = 2|H |，所以另取bH ,则G = H UbH = H U Hb。易知 ab = ba,所以 G = e, a, b, ab|ab = ba。因为群同构保持元素的阶，所以1),2)中的不同构。26.Proof.设G的阶为p。由Lagrange定理G中的非单位元素的阶为p。所以G = e,g,gp- 1|°(g)= p。定义n : G f Z/p Zg f 1容易验证n为群同构。所以任意的

11、 p阶群与Z/pZ同构。28.Proof.不是，因为(Z,巧不是交换群。34.Proof.先证明(radl, +)为交换群。对任意的x, y radl , xn I, ym I，只需证明(x - y) radI。由于L为交换环，易知(x - y)max m,n i。由于l为交换环，则 只需证明?a L, a ? radl ? radl。而？x radl, (ax)n = anxn, xn I ? (a；)" I ? ax radl。40.Proof.定义映射(T: L f La f xa对任意的a L ,存在ya L使得j(ya) = xya = a。特别的g为满射，但是L为有限集，

12、所以g为一一的。易知o(1) = x, (r(yx ) = x，所以yx = 1。Chapter 21、设G为有限群，N ? G, |N |与|G/N |互素。如果元素a的阶整除|N|,则a N。证明：考虑自然同态 n： G f G/N ,由同态的基本性质知 o( n(a)|o(a)。由o(a)|N |得，o( u(a)|N | 而Lagrange 定理知 o( u(a)|G/N |，所以 o( Ma)|(|N |, |G/N |) = 1，特别地 a N。3、如果群G中元素a的阶与正整数k互素，则方程xk = a在 a 内恰有一解。证明：设a的阶为n。由带余除法知存在 x, y Z使得xn

13、+ yk = 1。即有ayk = a，特 别地ay为方程xk = a的解。假设az也是上述方程的解，则有zkyk(z- y)k= ezya = ay ? a(? n|(z- y)k ? n|z- y ? a = ay.4、 证明在一群中，元素ab与 ba的阶相同。证明：我们只需要证明：(ab)n = e ? (ba)n = e. (ab)n = a(ba)n-1 b = e ?(ba)n- 1 = (ba)-1 ? (ba)n = e.Remark: 1)可以利用共轭元素具有相同的阶，而ab = a(ba)a- 1;2)元素a, b的阶有限，推不出乘积的阶有限 .7、证明有理数加法群 Q+的任

14、一有限生成的子群为循环群。证明：事实上只需要证明G =< a,b >? Q为循环群即可。不妨设a = p/q, b =r/t，其中(p,q)二(r, t) = 1。则易知 G = < (ptqtT > .8设G是一个有限生成的交换群。如果G的每个生成元是有限阶元素，则G是有限群。证明：不妨设G = < X1, ,Xn >，其中Xi的阶为mi。则由生成的定义及G为交换群知nG = X 11 -Xn |0 < li < mi特别的 |G| < nn=1 mi. nRemark: 一般来说|G| =n=1 mi，如二面体群。14、提示：任意的置换可以写成互不相交的循环的乘积，对任意的n S5, (i 1, i2,，ik)(j 1,j t) S5,Mi 1, i2, , ik)(j 1,，j t) n 1 = ( n(i1), - - - , nik)( Tt(j 1), - - - , Mj t) 特别地，共轭的元素写成不相交的循环的乘积具有相同的形式。16、证明：设a(H1 AH2)是H 1 AH 2的任意的左陪集，下证a(H 1 AH 2) = a