第9章-建筑力学与结构-第2版资源

1、1第九章第九章 构件变形和结构的位移计算构件变形和结构的位移计算 91 轴向拉压变形计算轴向拉压变形计算 92 平面弯曲梁的变形计算平面弯曲梁的变形计算 93 梁的刚度计算梁的刚度计算 29-1 9-1 轴向拉压变形计算轴向拉压变形计算LLL1在轴向拉力的作用下杆在轴向力方向伸长到L1，其伸长量为：该伸长量称为纵向变形。 拉伸时纵向变形为正压缩时纵向变形为负。 杆沿轴线方向的线应变为：LL 拉伸时为正，压缩时为负，线应变是无量纲的量。 3实验表明，在弹性变形范围内，杆件的伸长量L与力FP及杆长L成正比，与截面面积A成反比，设轴力FN=FP，并引入常量E 有： EALFLN 式中：E弹性模量，与

2、材料性质有关，单位为帕（Pa）。EA代表杆件抵抗拉伸（压缩）的能力，称为抗拉（压）刚度。 虎克定律 EE 或 虎克定律 注意：1）虎克定律只适用于杆内应力不超过比例极限范围。2）当用于计算变形时，在杆长L内，它的轴力、材料E及截面面积A都应是常数。4。，、例求杆的总变形材料的弹性模量受力如图截面面积已知杆的长度MPa101 . 25E画轴力图:mm57.1m00157.0109.111081.310200101.2310201101010250101.22101011040446113361133EAlFLLLLLLNDECDBCABi总59-2 9-2 平面弯曲梁的变形计算平面弯曲梁的变形计

3、算梁发生平面弯曲时，其轴线由直线变成一条曲率为1/的平面曲线（即挠曲线）如图所示。梁轴线某处曲率 1/与梁该处的抗弯刚度及弯矩M的关系为： EIM1 1该处梁的弯曲程度就愈大，而EI值愈大，梁的曲率就愈小，梁的弯曲变形就愈小，故称EI为梁的抗弯刚度，表示梁抵抗变形的能力。 可见曲率 与M 成正比，与EI成反比。这表明，梁在外荷载作用下，某截面上的弯矩愈大，6在非纯弯曲时，弯矩和曲率均随横截面的位置而变化，也是x 的函数。即： EIxMx)()(1挠曲线方程： )(1DCxdxdxxMEIy例例 悬臂梁在自由端受力P作用，如图所示，EI为常数，试求该梁的最大挠度。解：1）取坐标系如图，列弯矩方程

4、 M（x）=FP (L-x) 挠曲线的近似微分方程式 :EIxMy)( 2）列出挠曲线近似微分方程)()(xlFxMEIyP7 积分一次得再积分一次得DCxxFlxFEIyPp326121CxFlxFEIEIyPP223）确定积分常数 悬臂梁的边界条件是固定端处的挠度和转角都为零。 x=0 处 A=0 代入得 C=0 x=0 处 yA=0 代入得 D=0 4）列出挠曲线方程 )6121(132xFlxFEIyPp5）求ymax 梁的挠曲线大致形状如图所示，可见ymax在自由端处，将x=L代入挠曲线方程得EIlFyyPB338当梁上有几个荷载共同作用时，用积分法固然可以求出梁的挠度和转角，但计算

5、比较麻烦。由于梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关系，这时，如改用叠加法计算则简便得多。由于各个荷载单独作用下的挠度和转角可以从现成的手册或图表查得（表91是摘录其常用的一部分），因此使用叠加法尤其感到方便。例例 试用叠加法求图9-6a）所示外伸梁自由端的挠度。解 1）首先把BC看作截面B为固定支座（不转动）的悬臂受集中力FP作用，求出这时截面C的挠度，如图9-6b)。 向下）(483)2(431EIqlEIlFyPc9图图9610BB2Cy2)考虑到截面B的实际转动，把上述梁BC的B端反力矩 反向作用在AB段上，相当于FP对AB的影响，求出它与q共同作用下B端的转角 ,这时外伸臂BC像刚体一

6、样同时转动在截面C产生挠度逆转）(2412243243333EIqlEIqlEIqlEIlMEIqlBBMBBqB向下）(482242432EIqllEIqllyBc截面C的总挠度 EIqLEIqLEIqLyyyCC24484844421（向下） 119-3 9-3 梁的刚度校核梁的刚度校核 构件不仅要满足强度条件，还要满足刚度条件。校核梁的刚度是为了检查梁在荷载作用下产生的位移是否超过容许值。在建筑工程中，一般只校核在荷载作用下梁截面的竖向位移，即挠度。与梁的强度校核一样，梁的刚度校核也有相应的标准，这个标准就是挠度的容许值与跨度的比值，用Lf表示。 梁的刚度条件： LfLymax 利用上式对梁进行刚度校核，当发现梁的变形太大而不能满足刚度要求时，就要设法减小梁的变形。 125001Lf例例 一简支梁由No28b 工字钢制成，承受荷载作用如图所示，已知P=20kN、L=9m、E=210GPa、 、 试校核该梁的强度和刚度。 MPa170解：1）由附录型钢表查得 Wz=534.286cm3 Iz=7480.006cm42）强度校核mkNLFMP4549204max MPaWMz2 .8410286.534104536maxmax133）刚度校核 查表91得，简支梁受集中力的 EIPLy483maxlfEIPLLy465110006.74801021048)109(1