机械可靠性设计第一章概率分布2012

1、随机变量随机变量2.2 几种常用分布几种常用分布 为了全面地研究随机试验的结果，揭示随为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，有必要引入机现象的统计规律性，有必要引入随机变量随机变量的的概念。概念。 设设E为随机试验，其样本空间为为随机试验，其样本空间为 =e是基是基本事件的集合，若对每一个基本事件或样本点本事件的集合，若对每一个基本事件或样本点e 有一个实数有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一与之对应，这样就得到一个定义在个定义在 上的单值实函数上的单值实函数X(e) ，称，称X(e) 为为随随机变量机变量，简记为，简记为X。 引入随机变量后，任何随机事件均可通过引入随机

2、变量后，任何随机事件均可通过随机变量来表示。随机变量来表示。随机变量随机变量 建立随机变量的概念后，就可以把一个个孤立建立随机变量的概念后，就可以把一个个孤立的随机试验结果（事件）通过随机变量联系起来，的随机试验结果（事件）通过随机变量联系起来，去研究它们的概率分布及随机试验的全部结果，就去研究它们的概率分布及随机试验的全部结果，就可能用可能用数学分析数学分析的方法来研究整个随机试验。的方法来研究整个随机试验。随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义：设定义：设X是一个随机变量，是一个随机变量，x是任意实数，函数是任意实数，函数( )F xP Xx称为称为X的的分布函数分布函数。对于任意实数对

3、于任意实数x1，x2（ x1x2 ）,有有1221P xXxP XxP Xx21()()F xF x 若已知若已知X的分布函数，就可以知道的分布函数，就可以知道X落在区间（落在区间（ x1，x2上的概率，从这个意义上来说，分布函数完整地上的概率，从这个意义上来说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。描述了随机变量的统计规律。 分布函数是分布函数是普通函数普通函数，正是通过它我们能用数学，正是通过它我们能用数学分析的方法来研究随机变量。分析的方法来研究随机变量。分布函数的性分布函数的性质质1.分布函数是不减函数分布函数是不减函数对任意实数对任意实数x1，x2（ x1x2 ）2112()()0

4、F xF xP xXx2.0( )1F x()lim( )0, ( )lim( )1xxFF xFF x 3.(0)( )F xF x分布函数是右连续的分布函数是右连续的随机变量的概率密度随机变量的概率密度定义：如果对于随机变量定义：如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，存在，存在非负函数非负函数f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数x有有( )( )xF xf t dt则称则称X为连续型随机变量，函数为连续型随机变量，函数f(x)称为称为X的的概率密概率密度函数度函数，简称，简称概率密度概率密度概率密度的性概率密度的性质质1.( )0f x 2.( )1f x dx3.对任

5、意实数对任意实数x1，x2（ x1x2 ）211221()()( )xxP xXxF xF xf x dx4. 若若f(x)在在x 点连续，则有点连续，则有( )( )F xf x随机变量的概率密度随机变量的概率密度随机变量的数字特征随机变量的数字特征1. 数学期望数学期望(代表值代表值)对于离散型随机变量对于离散型随机变量1()kkkE Xx p其定义来自于加权平均的概念其定义来自于加权平均的概念对于连续型随机变量对于连续型随机变量()( )E Xxf x dx2. 方差与标准差（分散度）方差与标准差（分散度）22()var() ()() D XXXEXE X2()()() XD XEXE

6、X3. 变异系数（变差系数）变异系数（变差系数）当均值一定时，标准差是实验数据分散度的度量标准。当均值一定时，标准差是实验数据分散度的度量标准。标准差的计算是以均值为基准的，因此仅仅根据标标准差的计算是以均值为基准的，因此仅仅根据标准差还不能充分说明分散度的大小。准差还不能充分说明分散度的大小。当标准差相同而均值不同时，其相对分散度是不同的。当标准差相同而均值不同时，其相对分散度是不同的。在统计分析中，常采用复合的特征数在统计分析中，常采用复合的特征数变异系数变异系数CC例：对标准产品例：对标准产品M8螺栓进行静载拉伸试验，已知螺栓为滚压螺纹，螺栓进行静载拉伸试验，已知螺栓为滚压螺纹，强度等级

7、强度等级4.8级；试验时预紧力不加控制；样本容量级；试验时预紧力不加控制；样本容量n=14。试验结。试验结果：螺栓的破断拉伸应力为果：螺栓的破断拉伸应力为475.4, 478.7, 483.6, 489.1, 497.3, 502.7, 502.7, 510.9, 516.4, 519.1, 519.1, 524.6, 530.1, 543.7(N/mm2)。试计。试计算该样本的均值、标准差及变异系数。算该样本的均值、标准差及变异系数。解：解：1221()1(475.4478.7543.7)14506.67 N/mmnxxxxn变异系数变异系数20.350.04506.67sCx2212222

8、111(475.4543.7 ) 14 506.67 20.35 N/mm14niisxnxn31. 均匀分布均匀分布1, ( )0axbXfxba， 其 它abcddxabdxxfdXcPdcdc1)(则称则称X在在(a, b)内服从均匀分布。记作内服从均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0的指数分布。的指数分布。其分布函数为其分布函数为0, 00,1)(xxexFx若若若产品的失效概率密度为指数分布，若产品的失效概率密度为指数分布， 则则 即代表即代表其失效率其失效率f(x)x0例例 .机械零件的寿命机械零件的寿命X(年）服从参数为年）服从参数为3的指数

9、分布的指数分布(1)求该机械零件寿命超过求该机械零件寿命超过2年的概率。年的概率。(2)已知该机械零件已使用了已知该机械零件已使用了1.5年，求它还能使用年，求它还能使用2年年的概率为多少？的概率为多少？解：解：330( )00,xexf xx36223xp Xedx e(1)363.531.533.5,1.53.5|1.51.53xxedxp XXp XXeXedx(2)指数分布无记忆性（无后效性）指数分布无记忆性（无后效性）正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最研究最多的分布之一，故它在

10、概率统计中占有特别重要的多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。地位。3. 正态分布正态分布其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为( , 2)的的正正态分布态分布,记为记为N( , 2)，可表为，可表为XN( , 2).若随机变量若随机变量22()21( ),2xXf xex f(x)0 x (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x = 对称；对称；1( )max( )2ff x正态分布有两个特性：正态分布有两个特性：f(x) 0 x(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦，越大，曲线越平坦， 越小，曲

11、线越陡峻，越小，曲线越陡峻，f(x)0 x0.50.40.30.20.1-2246N(3, 4/5)N(3, 1)N(3, 5/4)4.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。f(x)0 x0.40.30.20.1-224-4.,21)(22xexx分布函数表示为分布函数表示为xdtexXPxxt,)(2212其密度函数表示为其密度函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值。如，的值。如，若若ZN(0,1), (0.5)=0.6

12、915,P1.32Z2.43= (2.43)- (1.32)=0.9925-0.9066注：注：(1) (x)1 (x)； (2) 若若XN( , 2)，则，则).()(xxXPxF设设 X N( , 2),求求P -3 X +3 本题结果称为本题结果称为3 原则原则.在工程应用中，通常认为在工程应用中，通常认为P|X|3 =0.99741. 如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 作两作两条线，当生产过程指标观察值落在两线之外时条线，当生产过程指标观察值落在两线之外时发出警报发出警报.表明生产出现异常表明生产出现异常.例例P|X|3 即即 Z= 3电车门高度是按男子碰

13、头的机会少于电车门高度是按男子碰头的机会少于1来设计的。来设计的。假设穿皮鞋的男子的平均身高为假设穿皮鞋的男子的平均身高为178cm，标准差为，标准差为6cm，问车门高度应设计成多大尺寸。，问车门高度应设计成多大尺寸。cmLLLPNNLx192633. 217899. 033. 299. 0,99. 0%996 ,178,22则查表得即的男子不碰头，即求，依题意有，车门高为设男子身高为多少人中会有一人身高达到226cm?0000003019. 09 . 4?5 . 815 . 862261782262266 ,178,22PNN设男子的平均身高为设男子的平均身高为175cm，标准差为，标准差为

14、6cm，女子的，女子的平均身高为平均身高为163cm，标准差为，标准差为5cm。问偶然相遇的一。问偶然相遇的一对男女中，女子高于男子的概率是多少？对男女中，女子高于男子的概率是多少？%178. 606178. 093822. 0154. 1154. 18 . 7120008 . 75612163175212122222121 PPcmcm率为女子身高高于男子得概态分布，且有解：男女身高差符合正若若X为随机变量，且随机变量为随机变量，且随机变量Y=lnX服从正态分布服从正态分布N(, 2), 即即5 对数正态分布对数正态分布 20 ln( ,) 0 0; 0;)( )220 (0)xf xxx

15、正态分布的密度元为正态分布的密度元为221()exp22ydy将将y=lnx，dy=dx/x代入上式代入上式211 lnexp22xdxx=1.6=0.5=0.2f(x)0 x21340.81.6对数正态分布的密度函数曲线（对数正态分布的密度函数曲线（=0）对数正态分布的密度函数对数正态分布的密度函数曲线是单峰的且是偏态的曲线是单峰的且是偏态的2011 ln( )exp22xxF xP Xxdxx对数正态分布的分布函对数正态分布的分布函 数数同样，可令同样，可令ln xz可将上式转化为标准正态分布可将上式转化为标准正态分布2ln1( )( )exp22zxzF xzdz 和和既不是对数正态分布

16、的位置参数和尺度参数，也既不是对数正态分布的位置参数和尺度参数，也不是其均值和标准差，而是它的不是其均值和标准差，而是它的“对数均值对数均值”和和“对数对数标准差标准差”。2()exp2E X对数正态分布的数字特征对数正态分布的数字特征22()exp() 1exp 22D Xln( )1( )tR tF t 对数正态分布的可靠度函数对数正态分布的可靠度函数环次数。，求更换的循可靠度概率是多少？如果保证失效，试求在更换前弹簧得分布疲劳寿命服从对数正态往经验知在稳定应力下后立即更换。由以下循环弹簧丝要求在工作应力99. 023823. 0,1376.14,10116RS 66661079. 023

17、823. 01357.14ln32635. 232635. 201. 099. 01199. 008851. 03520. 123823. 01378.1410ln1010NNZZRZZFRZNFN查表得时循环次数次循环时失效概率为在3906. 02005. 0(901101 , 5 . 4ln概率密度函数少？单位时间得可靠度是多各为多少？该零件在失效率单位时间时得可靠度及求该零件在数正态分布某零件疲劳寿命服从对ttNt %505 . 00115 . 490ln1/00847. 009.463906. 009.462005. 04187. 0111015 . 4110lnln1lnln1ln1

18、%87.415813. 012005. 0115 . 4110ln1ln190tRttttttttRtRtttR?1exp ( ) ,00 mmmxxxf xmx当 当若随机变量若随机变量X在在 0,)上取值，具有概率密度函数上取值，具有概率密度函数则称则称X服从三参数为服从三参数为(m, , )的威布尔分布，记为的威布尔分布，记为XW(m, , )m 形状参数形状参数 尺度参数尺度参数 位置参数位置参数6 威布尔（威布尔（Weibull）分布）分布 1( )()exp1 exp mmxmmxxF xP Xxdxxx 三参数威布尔分布的分布函数三参数威布尔分布的分布函数1exp ( ) ,00

19、 mmm tttf tmt当 当1/ m=0.5m=1m=1.5m=2m=3 =1， =1f(t)0t2134形状参数形状参数m的大小，决定了威的大小，决定了威布尔分布密度函数曲线的形状布尔分布密度函数曲线的形状m1时，趋向呈单峰性，峰高随时，趋向呈单峰性，峰高随m减小而降低，减小而降低，m=34时与正态时与正态分布近似；分布近似；m=1时，为二参数指数分布；与时，为二参数指数分布；与t= 相交于纵坐标为相交于纵坐标为1/ 处。处。m0时，起点在时，起点在+x值区值区 =0时，起点在坐标原点时，起点在坐标原点 0时，起点在时，起点在-x值区值区可靠性分析中，可靠性分析中， 具有极限值具有极限值

20、的含义，产品在的含义，产品在t = 以前不会以前不会失效，又称为最小保证寿命。失效，又称为最小保证寿命。1exp ( ) ,00 mmm tttf tmt当 当( )1( )exp mtR tF tt 1( )( ) ( )mf tm tttR tm=3m=2m=0.5m=1m=1.5 =1 =0 3(t)0t21341241, 0( ) 0, ttetf t 其它 实际使用中，实际使用中， =0情况居多，此时三参数威布尔分布转化为情况居多，此时三参数威布尔分布转化为二参数威布尔分布，具有概率密度函数二参数威布尔分布，具有概率密度函数1( / )( ) 0;,0mmtmtf tetm若令若令 =(1/ )m，m= ，则：则：其分布函数为其分布函数为 1, 0( ) 0, tetF t 其它 特别：若特别：若=1，则，则X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布 368. 0632. 01,expexp1exp011tRetFtttRttFtttf称为特征寿命。此时则令时，双参数威布尔分布， 11expexp1exp000000001000NNNNNNNNNRNNNNNFN