复变函数 2.3初等多值解析函数

1、第三节第三节 初等多值解析函数初等多值解析函数2.3.1 根式函数根式函数2.3.2 对数函数对数函数2.3.3 一般幂函数与一般指数函数一般幂函数与一般指数函数2.3.4 具有多个有限支点的情形具有多个有限支点的情形2.3.5 反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数2.3.6 小结与思考小结与思考2定义定义2.8(单叶函数）单叶函数）设函数设函数f(z)在区域在区域D内有定义内有定义,且对且对D内任意不内任意不同的两点同的两点z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),则称函数则称函数 f(z)在在D内内是是单叶的单叶的.并且称区域并且称区域D为为f(z)的的单叶性区域单叶性区域.显然显

2、然,区域区域D到区域到区域G的单叶满变换的单叶满变换w=f(z)就是就是D 到到G的一一变换的一一变换.f(z)=z2不是不是C上的单叶函数上的单叶函数. f(z)=z3是是C上的单叶函数上的单叶函数32.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域幂函数的变换性质及其单叶性区域设有幂函数设有幂函数: w=zn 令令z=rei , w= ei ,则：则：w=zn ei = rnein = rn, =n 于是得到幂函数有如下的变换性质：于是得到幂函数有如下的变换性质：z平面平面w平面平面射线射线 = 0射线射线 =n 0圆周圆周r=r0圆周圆周 = r0n 0 正正实实轴轴 0 正正实实轴轴4xozyu

3、owvW=znz平面平面w平面平面射线射线 = 0射线射线 =n 0圆周圆周r=r0圆周圆周 = r0n 0n 0角域角域0 0射线射线0 n 0)0 )0 nxozy)0 n5从原点起沿负实轴剪开的从原点起沿负实轴剪开的w平面平面G0z平面平面w平面平面W=zn角域角域 0 0角域角域0 1) 单叶性区域是顶点单叶性区域是顶点在原点，张度不超过在原点，张度不超过2 /n的的角形区域角形区域的角形域的角形域, 但张角变成为原来的但张角变成为原来的 n 倍倍. 22: 0,1,1nkkTknnnnn 角角域域是幂函数的单叶性区域的一种分法是幂函数的单叶性区域的一种分法 总之：总之：把以原点为顶点

4、的角形域映射成以原点为顶点把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点22: 0,1,1nkkTknnnnn 角角域域72.3.1根式函数根式函数 定义定义2.9 若若z=wn,则称则称w为为z的的n次根式函数，记为：次根式函数，记为：nwz i.e. 根式函数根式函数 为幂函数为幂函数z=wn 的反函数的反函数.nwz (1) 根式函数的多值性根式函数的多值性.000nzw 20|kinnnkkzwzz e 0,1,1kn arg zz 的的主主辐辐角角8 (2) 分出根式函数的单值解析分支分出根式函数的单值解析分支. 20kinnnnkkkizwzrere 1) 产生多值的原因产生多值的原因.

5、2arg2= 0,1,1kkzkknnn 12010nniiwrewre 22 22niwre 2 (1)11nnnniwre 2kknkiwre 产生多值的原因是产生多值的原因是:当当z取定后，其辐角不固定，可取定后，其辐角不固定，可以连续改变以连续改变2 的整数倍，对应的函数值连续改变到的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值下一个值9 2) 解决的办法解决的办法. 限制限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量的辐角的变换，使其辐角的该变量argz2 理论上的的做法：理论上的的做法： 从原点从原点O起到点起到点任意引一条射线将任意引一条射线将z平面割破，该平面割破，该直线称为割线，在割破了的平

6、面直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边构成以此割线为边界的区域，记为界的区域，记为G)上，上， argz2 ，从而可将其转化，从而可将其转化为单值函数来研究为单值函数来研究 常用的做法：常用的做法： 从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平平面割破：面割破：zxozyG10 ( ) 2( )zkinnnkkwzr z e 结论：结论： 从从原点起沿着负实轴原点起沿着负实轴将将z平面割破平面割破,即可将根式函数即可将根式函数:nwz 分成如下的分成如下的n个单值函数：个单值函数： 定义域为定义域为22: nkkkTnnnn 值值域域:22kGkk wk在在Gk上解析上解析,且且 1

7、nknkkzwznz 113wz 例例: : xozyG13 xozyG0- - T03 3 T1T253 uwvoxozyG23 5 23 0,1,2kinkwrek 30inwre 231inwre 432inwre 30inwre 0: -33T 值值域域0:G 定定义义域域2331iwre 10: 3T 值值域域1:23G 定定义义域域4332iwre 225: 3T 值值域域2:345G 定定义义域域122.3.2 对数函数对数函数1. 定义定义: (0) , Lnwez zwzwz 若若则则称称 为为 对对数数函函数数 记记为为: : 说明：说明：w=Lnz是指数函数是指数函数ew

8、=z的反函数的反函数Lnz一般不能写成一般不能写成lnzLn zez 2.计算公式及多值性说明：计算公式及多值性说明： ,izewuiv 13=ln= wu iviwzezere = ,2()uer vkkE=ln (),2()urvkkEArgz实实对对数数Lnln(2)()wzrikkELnln| |zziArgz由于由于Argz的多值性导致的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数是一个具有无穷多值的多值函数规定：规定：lnlnlnarg .zriziz 为对数函数为对数函数Lnz的主值的主值于是：于是：Lnln2()wzzk i kE z的的主主辐辐角角14. Ln , , 的

9、的一一个个分分支支称称为为上上式式确确定定一一个个单单值值函函数数对对于于每每一一个个固固定定的的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是实变数对数函数是实变数对数函数的主值的主值时时当当xzzxz 15例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 20因因为为 arg arg, ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以112LnLn()lnk i )()12(为整数为整数kik 注意注意: 在实对数函数中在实对数函数中, 零和负数无对数零和负数无对数, 这一点这一点 在复对数函数中不再成立在复对数函数中不再成立.222 Ln Lnln

10、,k i 1因因为为 arg arg(- ), 11Ln. Ln. ()lnii16例例5解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k17例例6解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k18.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)

11、33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln192. 性质性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处可导处处可导和其它各分支处处连续和其它各分支处处连续主值支主值支的复平面内的复平面内包括原点包括原点在除去负实轴在除去负实轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 20证证 (3) , iyxz 设设,0时时当当 x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,处处连续处处连续在复平面内其它点在复平面内其它点除原点与负实轴除原点与负实轴所以所以z , ln arg是单值的是单值的

12、内的反函数内的反函数在区域在区域zwzezw wezzwdd1dlnd 证毕证毕.1z 21(3)(4)错了错了例：例： 22(1)zz 22(2)LnLnzz (4)2Ln2Lnzz (5)LnLnzz错了，同志错了，同志哥！哥！ Ln( 1)(21) 0, 1, 2, Ln(1)2 0, 1, 2,ki kk ik 因因为为决不会相决不会相等！等！原因原因Bernoulli悖论悖论 (3)LnLnLnLnzzzz Lnz是集合是集合记号，应该记号，应该理解为两个理解为两个集合相加集合相加A=0,1A+A=0,1,22A=0,2A+A 2A223. 分出分出w=Lnz的单值解析分支的单值解析

13、分支从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将平面割破，就可将对数函数对数函数w=Lnz分成如下分成如下n个单值解析分支：个单值解析分支： Lnln(2) 0, 1, 2, 3,kkwzrikk 定义域为定义域为: 2Im2kBkvzk 值值域域:222kGkkk wk在在Gk上解析上解析,且且 1Lnkkwzz 232.3.3 一般幂函数与一般指函数一般幂函数与一般指函数1. 一般幂函数一般幂函数Ln11=(0,) zaazDefweza为为复复常常数数称为称为z的一般幂数函数的一般幂数函数2. 一般指数函数一般指数函数Ln12=(0,) zazaDefwea 为为复复常常数

14、数称为称为z的一般指数函数的一般指数函数Ln zez 都是多值函数，适当割破都是多值函数，适当割破z平面平面，都可转化为单值函数，都可转化为单值函数24注意注意: :ln(arg2)azzizkz 由由于于 Ln Ln 是是多多值值的的, , 因因而而 也也是是多多值值的的. .(1)a 当当 为为整整数数时时, ,aaLnzze= =ln(arg2)azizke 1. 一般幂函数一般幂函数Ln11=(0,) zaazDefweza为为复复常常数数称为称为z的一般幂数函数的一般幂数函数Ln zez 25(lnarg ) 2azizka ie ln,aze .具有单一的值具有单一的值ba ,0)

15、 ,( )2(时时为互质的整数为互质的整数与与当当 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 个值个值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 时相应的值时相应的值即取即取 qk26特殊情况特殊情况: ,)( )1时时正整数正整数当当nb Lnannea LnLnLnaaae ) (项项指数指数 n LnLnLnaaaeee ) (个个因子因子 n.aaa ) (个个因子因子 n ,)( 1 )2时时分数分数当当nb Ln11annea nkainkaean2args

16、in2argcos ln127 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的幂函数就得到一般的幂函数为一复变数为一复变数如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函数的反函数及及数数就分别得到通常的幂函就分别得到通常的幂函时时与与当当28例例7 7 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5

17、 计算计算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik29例例8 8 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii 302. 幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz . , )2(1个分支个分支具有具有是多值函数是多值函数幂函数幂

18、函数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn31它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, ,) 1 ( (3)也是一个多值函数也是一个多值函数两种情况外两种情况外与与除去除去幂函数幂函数nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是无穷多值的是无穷多值的为无理数或负数时为无理数或负数时当当b322.3.4 反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz 记作记作的反余弦函数的反余弦函数为为那么称那么称设设,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得