现代控制理论(白涛)7-8

1、线性系统的复频率域理论线性系统的复频率域理论 现代线性系统的复频率域理论现代线性系统的复频率域理论, ,采用采用传传递函数矩阵的矩阵分式描述递函数矩阵的矩阵分式描述作为系统数学模作为系统数学模型型, , 并在复频率域内以并在复频率域内以多项式矩阵方法多项式矩阵方法作为作为基本工具，分析和综合基本工具，分析和综合线性时不变系统线性时不变系统的一的一种理论和方法。种理论和方法。第第7 7章章 多项式矩阵理论多项式矩阵理论 多项式矩阵理论是线性系统复频率多项式矩阵理论是线性系统复频率域理论的主要数学基础。域理论的主要数学基础。 本章主要介绍复频率域理论中广泛本章主要介绍复频率域理论中广泛用到的重要概

2、念、基本方法和相关理论。用到的重要概念、基本方法和相关理论。Harbin Engineering University7.1 多项式矩阵多项式矩阵1. 多项式：多项式： o注1：多项式的集合不构成域，是环； 因其对乘逆运算不封闭； o注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分式域， 记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。2. 多项式矩阵：元为多项式的矩阵；多项式矩阵：元为多项式的矩阵； o注1：多项式矩阵运算规则基本等同实数矩阵；o注2：只有行数和列数相等的方多项式矩阵才能取行列式； 1110()()()deg011mmmmimmd sd sdsd sdsCdRmd s

3、mdd复数域实数域非负整数首 多项式7.2 奇异和非奇异奇异和非奇异o 对方多项式方多项式矩阵Q(s)： 0为有理分式域上的零元； detQ(s)是s的多项式，对某些s可能为0；o Q(s)的逆： det0det0Q sQ sQ sQ s奇异非奇异 -1-1adj=detR s Q sI QsR sQ sQsQ s多项式矩阵有理分式矩阵多项式7.3 线性相关和线性无关线性相关和线性无关o 对象是有理分式域中的一组多项式向量 12121122121212121212,0,mmmmmmmmmmqsqsqssssss qss qss qsqsqsqssqsqsqssqsqsqsqsqsqsqsqsq

4、sqsqsqs多项式向量组：；一组多项式； 线性相关：不全为零；线性无关：全为零；线性相关奇异线性无关非奇异7.4 秩秩o 对一个mn的非方多项式矩阵Q(s)： n nn n(1) 1rankmin,;(2) rankr(3)rank=min,;(4)rank=nrankn5rankrankrank6rankmin rankrank;m mn nm mn nQ sm nQ srQ sQ sQ sm nQsQ sQsQ sQ sPs Q sQ s RsPsRsQ s R sQ sR s有且仅有 个列（行）线性无关；满秩非奇异；奇异；、为非奇异阵；，7.5 单模矩阵单模矩阵 o 单模矩阵： 方多项

5、式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s 的一个非零常数，则称其为单模矩阵。 o 性质： (1)Q(s)为单模阵 是多项式矩阵； (2)Q(s)为单模阵Q(s)非奇异； (3)单模矩阵的逆阵也是单模矩阵； (4)单模矩阵的乘积也是单模矩阵； 1Qs (1)行（列）交换；行（列）交换； (2)用一非零实或复数乘以某行或列；用一非零实或复数乘以某行或列； (3)用某行用某行(列列)乘以一个多项式加到另一行乘以一个多项式加到另一行(列列)上。上。注意：注意：（1）初等行（列）变换）初等行（列）变换初变换的矩阵初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初等矩阵；左乘（右乘）初等矩阵；（2）初等矩阵都是单模矩阵

6、；）初等矩阵都是单模矩阵；（3）对）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或）右乘单模矩左乘和（或）右乘单模矩阵；阵；（4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。乘积为同维的单模矩阵。7.6 初等变换初等变换7.7 埃尔米特形埃尔米特形 1232331,1,1,1,2,2,2,3,3,r,( ),( ),0min( , )00( )000000rrrrm nksksksksksksksksksHrksQ srankQ srrm naaaaaaaaaQsa 多

7、项式矩阵的规范形之一 o 化为Hermite的算法：见书； o 只通过一系列的行初等运算即可化为行Hermite形，即： o 性质： 对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其Hermite形 ，即： HQsV s Q sV s为单模阵 ,D sD s U sD sD sA sU s A sA sA s若则和的列Hermite形相同；若则和的行Hermite形相同；7.8 公因子和最大公因子公因子和最大公因子公因子的定义公因子的定义o 相同列数相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子的两个多项式矩阵间可以定义右公因子( (是多项式是多项式矩阵矩阵).).假定假定N(s)N(s)和和D(s)D(

8、s)列数相同列数相同, ,若若 则则R(s)R(s)称为称为N(s)N(s)和和D(s)D(s)的右公因子的右公因子. .o 相同行数相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子的两个多项式矩阵间可以定义左公因子( (是多项式是多项式矩阵矩阵).).假定假定B(s)B(s)和和A(s)A(s)行数相同行数相同, ,若若 则则Q(s)Q(s)称为称为B(s)B(s)和和A(s)A(s)的左公因子的左公因子. .)()()()()()(sRsDsDsRsNsN)()()()()()(sAsQsAsBsQsBgcd(最大公因子最大公因子)的定义的定义o gcrd:(1)R(s)是是N(s)和和D(s)

9、的一个右公因子的一个右公因子;(2)R(s)是是N(s)和和D(s)的任一个其它右公因子的任一个其它右公因子R1(s)的左倍式的左倍式,即即R(s)=W(s)R1 (s) 则称则称R(s)是是N(s)和和D(s)的的gcrd.o gcld:(1)Q(s)是是B(s)和和A(s)的一个左公因子的一个左公因子;(2)Q(s)是是B(s)和和A(s)的任一个其它左公因子的任一个其它左公因子Q1 (s)的右倍式的右倍式,即即Q(s)=Q1 (s)V(s), 则称则称Q(s)是是B(s)和和A(s)的的gcld.o 以gcrd为例, 求gcd 若Dpp(s)和Nqp (s) 的列数相同，可以定义最大右公

10、因子： 00p pp qp qp pD sRsU sN sD sRsN sR sD sN sgrcd即对进行一系列的行初等变换，变成形如，则即为和的一个。GcdGcd 的性质的性质 以以gcrdgcrd为例为例(1)gcrd(1)gcrd不唯一不唯一 若若R(s)R(s)是是D(s)D(s)和和N(s)N(s)的的gcrd,W(sgcrd,W(s) )是单模矩阵是单模矩阵, , 则则W(s)R(s)W(s)R(s)也是也是D(s)D(s)和和N(s)N(s)的的gcrdgcrd. .Why:Why:0)()(0)(00)()()()()(,00)()(sRsWsRIsWsNsDsUsUIsWs

11、U也是单模阵构造(2)D(s),N(s)(2)D(s),N(s)的所有的所有gcrdgcrd在非奇异性和单模性上相同在非奇异性和单模性上相同. . 即即: : 若若R1(s)R1(s)是是D(s),N(s)D(s),N(s)的一个的一个gcrdgcrd R2(s) R2(s)也是也是D(s),N(s)D(s),N(s)的一个的一个gcrdgcrd 则则R1(s)R1(s)非奇异非奇异R2(s)R2(s)非奇异非奇异 R1(s)R1(s)单模单模R2(s)R2(s)单模单模(3)(3)(4) gcrdR(s(4) gcrdR(s) )可表示为可表示为 R(sR(s)=X(s)D(s)+Y(s)N

12、(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)(5) gcrd(5) gcrd的多项式元的次数可以高于的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)D(s),N(s)元多项元多项 式的次数式的次数. .,)()(都是非奇异的其所有列满秩时gcrdsNsD7.9 互质性互质性 右互质和左互质右互质和左互质D(s)和N(s)列数相同,可以定义gcrd.若gcrd为单模阵,则称D(s)和N(s)右互质.A(s)和B(s)行数相同,可以定义gcld.若gcld为单模阵,则称A(s)和B(s)左互质. 右互质判据右互质判据o 判据1:贝佐特等式判据D(s),N(s)右互质存在X(s),Y(s)多项式矩阵 使X(

13、s)D(s)+Y(s)N(s)=Io判据判据2：秩判据：秩判据o判据判据3：右互质行列式次数判据：右互质行列式次数判据CspsNsDranksNsD,)()()(),(右互质( ),( )( ), ( ),( )( )( )( )( )( )( )0,( )degdet( )degdet( )( )( )( ),( ),( )( )( )( )0,( )( )degdet( )degdet( ),( ),( ),q pq qD s N sB sA sD sB s D sA s N sB sA sN sA sD sN sB sN s D sB s D sA s N sD sA sA sD sN

14、s D s 非右互质存在使且若为多项式 若即而则必有公因子 且不是单模( ).( )B sA s阵，是约去公因子后的结果 GcrdGcrd构造关系式的一个性质构造关系式的一个性质1112212222211122222122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0( ),(1)( ),( );(2)( ),( )( )( )( );(3)( ),( ),degdet( )degdet( );UsUsD sD sR sU sUsUsN sN sD sUs UsUsN s DsUs UsD sN sD sUs 设非奇异 则成立左互质非奇异 且为右互质 当且仅当7.10 列次数和

15、行次数列次数和行次数 多项式的次数：o 多项式向量的次数：所有元多项式中，s的最高幂次。o 多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。.,0,)(0111称为多项式的次数的最高幂次为则msddsdsdsdsdmmmmm( )maxdeg( ),1,2, iiss ip个列向量的次数第列的次数第isMksMicici)()(:o 如个行向量的次数第行的次数第jsMksMjrjrj)()(:223123124124( )342312,3,1,2,3cccrrssssM ssssskkkkk 多项式矩阵的列次表示式多项式矩阵的列次表示式上例中的M(s)可表示为一般地，223

16、,( )1101412004( )04313020111MsssssM ssss方阵 维数为的列数关于 幂次的对角阵幂次大小等于所在列的次数12( )( )( )( )( )( )( ),( ),det( )(det)cpcccihcccLcLLcckkkckhcciM sMSsMsMsMssSsdiag sssM sM sMsk当为方阵时 有次数低于的各项7.11 既约性既约性此处是对非奇异多项式矩阵非奇异多项式矩阵定义的，方阵M(s)列既约：M(s)行既约：注：o 列既约和行既约之间无必然的联系；o M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。piripicisMsMsMsM11)()(det

17、deg)()(detdego 既约性判据 对非奇异方多项式 M(s)n M(s)列既约Mhc（列次系数矩阵）非奇异；n M(s)行既约Mhr（行次系数矩阵）非奇异；o 非既约矩阵的既约化 通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。 n 实质：降低行或列的次数 ;n 含义：在初等运算下，deg detM(s)不变。n 实现既约化以后，次数不能被降低了。 7.12 Smith形形0)()()()()()()(),min(0 ,)(,)(21sssssVsQsUpqrrsrankQsQrpq).()()()4();()(),(| )()3(;10)()2(; 0,)() 1 (11不变多

18、项式的不变因子称为可以整除即多项式的首是非其余块阵为左上角的块阵对角形sQsssssssiiiiii特征：特征：o Smith形的求法 ：见书。 o 对Smith形的一些讨论 n （1）对给定的多项式矩阵Q(s)，其Smith形唯 一。 （变换U(s), V(s)不唯一）n （2）若Q1(s)和Q2(s)具相同的Smith形，则称 其在初等行和列运算下等价，记为Q1(s)Q2(s) 具有反身性，自反性，传递性等性质。n （3） Q1(s)Q2(s) 存在单模阵P(s)和T(s)， 使：Q2(s) =P(s) Q1(s)T(s)n （4）若方常阵A,B同维，则 ： (sI-A)(sI-B) A和

19、B相似 Smith形的应用之一判断互质性 ( )1( ),( )( )02( ),( )( )( )0D sID sN sSmithN sA sB sA sB sSmithI 右互质的形为左互质的形为 111( )( )( )( )001( )( )( )( )( ),smith( )00( )( )2( ),( )0( )0D sR sIU sR sN sD sN sR sD sIIU sRsN sD sID sVsU sV sU sN sN sVs 证明：右互质时=必要性：，右互质，为单模阵=形为充分性：=为单模阵，右互质8.1 8.1 矩阵分式描述矩阵分式描述8.2 8.2 矩阵分式描述

20、的真性和严真性矩阵分式描述的真性和严真性8.3 8.3 不可简约矩阵分式描述不可简约矩阵分式描述第第8 8章章 传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述Harbin Engineering University数学基础：多项式矩阵理论o 1. 奇异和非奇异o 2. 线性相关和线性无关o 3. 秩o 4. 单模矩阵o 5. 初等变换o 6. 公因子和最大公因子o 7. 互质性o 8. 列次数和行次数o 9. 既约性8.1 8.1 矩阵分式描述矩阵分式描述右右MFDMFD左左MFDMFD1. 右MFD和左MFD 均为多项式矩阵2. MFD的特性的特性(1)MFD的实质 习惯上称D(s)

21、、DL(s)为分母矩阵，N(s)、NL(s)为分子矩阵(2)MFD(2)MFD的次数的次数o 定义为其“分母矩阵”的行列式的次数(3) MFD(3) MFD描述的不唯一性描述的不唯一性u 一个已知的G(s)，其MFD表达不唯一，其次数也 不唯一。o 证: 令R(s)为任意pp的非奇异的多项式矩阵，有 因此，右MFD不唯一，同样左MFD不唯一(4) MFD(4) MFD的扩展构造的扩展构造u 若定义 当W(s)为非奇异阵时，则： 且有： 当W(s)为单模阵时(其行列式为一常数) N( )( )( ),( )( )( )sN s W sD sD s W s11( )( )( )( )( )G sN

22、 s DsN s Dsdegdet( )degdet( )D sD sdegdet( )degdet( )D sD s(5) 最小阶最小阶MFD（）：）： G(s)的所有MFD中，次数最小的次数最小的MFD称为最小称为最小阶阶MFD，它也不唯一。(6) MFD对偶性：对偶性： 左MFD与右MFD存在对偶性，因此对右MFD得出的属性也适用于左MFD。(7) MFD的基本特性（的基本特性（）：）： 真性和严真性，不可简约性真性和严真性，不可简约性。8.2 8.2 矩阵分式描述的真性和严真性矩阵分式描述的真性和严真性 传递函数矩阵的MFD的真性和严真性是表征其物理可实现性的一个基本特性，只有真或严真

23、MFD所表征的系统才是实际物理元件可以构成的，即才是在实际物理世界存在的。1 1 真性和严真性真性和严真性G(sG(s) )真性：当且仅当至少存在一真性：当且仅当至少存在一个个G(sG(s) )的元满足的元满足定义定义1 1：G(sG(s) )的严真性：的严真性：其它元其它元o 定义2 : G(s)的真性和严真性 G(s)真性： 当且仅当 G(s)严真：当且仅当o 定义3 : MFD的真性和严真性 当且仅当MFD对应的G(s)为严真，称MFD为严真。 当且仅当MFD对应的G(s)为真，称MFD为真。2.2.真性和严真性判据真性和严真性判据 D(s)为列既约( )( ),1,ciciN sD s

24、 ip( )( ),1,ciciN sD s ip既约性既约性对方非奇异多项式矩阵非奇异多项式矩阵M(s):M(s)列既约：M(s)行既约：piripicisMsMsMsM11)()(detdeg)()(detdego 既约性判据 对非奇异方多项式 M(s)n M(s)列既约Mhc（列次系数矩阵）非奇异；n M(s)行既约Mhr（行次系数矩阵）非奇异； 列次系数矩阵列次系数矩阵Mhc11111( )1cccpcpkkcckksssSssss12( )( )( )( )( )( )( ),cpcchcccLcLLcckkkcM sMSsMsMsMssSsdiag sss称称M Mhchc为为M(

25、sM(s) )的列次系数矩阵的列次系数矩阵称称M McLcL(s)(s)为为M(sM(s) )的低次多项式矩阵的低次多项式矩阵o 行次系数矩阵Mhr1111( )1( )1rrqrrqkrkkrksSsssssss D DL L(s(s) )为行既约为行既约( )( ),1,qriLriLNsDs i( )( ),1,riLriLNsDs ipDL(sDL(s) ) D(s D(s) )为非列既约为非列既约 引入单模阵V(s)，使 则：G(sG(s) )为严真为严真( )( ),1,ciciN sD s ip( )( ),1,ciciN sD s ipN( )( ) ( ),( )( ) (

26、)( )sN s V s D sD s V sD s为列既约3 3 非真有理分式阵的分解非真有理分式阵的分解（1）存在性和唯一性 R( )( ),1,cicisD s ip两个两个q qp p的多项式矩阵的多项式矩阵Q(sQ(s) )和和R(sR(s) )，使成立，使成立1( )( )( )G sN s Ds11( )( )=Q( )( )( )N s DssR s Ds1( )( )R s Ds（2 2）分解算法）分解算法 对对G(sG(s) )中所有非真元做多项式除法，得到中所有非真元做多项式除法，得到ij( )=q ( )( )ijijspgssgs1( )( )( )G sN s Ds

27、q ( )ijs( )ijspgsG ( )sps11( )( )( )( )( )N s DsQ sR s Ds 求解结果求解结果 ，其中，其中R( )( )( )spsGs D s 计算计算1R( )( )s Ds为非真为非真 的严真部分。的严真部分。1N( )( )s Ds8.3 8.3 不可简约矩阵分式不可简约矩阵分式 1 不可简约矩阵分式描述 定义 2 2 不可简约不可简约MFDMFD基本属性基本属性 性质性质1 1 不可简约MFD不唯一。所有左（或右）不可简约MFD之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其为广义唯一的。 .)()()()()()()()()()()()(:2121

28、122111为单模矩阵则不可简约设即sUsUsNsNsUsDsDsDsNsDsNsG.)(.)(,)(),(,.)()()()()()()()()()()()()(),()()()()()()(,)(),(.)(),(.)(),()()()()()()()()()()(:111111111121122222111211221122111是单模矩阵故为多项式矩阵可得右互质由同理是多项式矩阵代入将有由贝佐特等式判据右互质已知都是多项式矩阵即证为单模矩阵只要证设证明sUsUsDsNsNsYsDsXsUIsUsNsYsDsXsUsNsNsUsDsDIsNsYsDsXsDsNsUsUsUsUsDsDsD

29、sDsNsNsDsNsDsN 性质性质2:2:不可简约不可简约MFDMFD和可简约和可简约MFDMFD关系关系 所有的可简约MFD,如 都可通过不可简约的MFD如 得到。即总有非奇异多项式矩阵T(s)（未必是单模矩阵）,使 )()(1sDsN)()(1sDsN)()()()()()(sTsDsDsTsNsN 说明：说明： 可简约，其最大公因子可简约，其最大公因子R(sR(s) )不是单模矩不是单模矩阵，但非奇异。提出并约去阵，但非奇异。提出并约去R(sR(s) )，可得不可简约的，可得不可简约的MFDMFD。这样。这样得到的不可简约的得到的不可简约的MFDMFD很可能不同于给定很可能不同于给定 ，但其只，但其只差一个单模矩阵差一个单模矩阵U(sU(s) )，由此单模矩阵和，由此单模矩阵和R(sR(s) )即可构造出即可构造出 T(s)=U(s)R(s T(s)=U(s)R