函数的知识巩固系列 函数的应用

1、函数的应用A、基础知识：一、函数的零点1、函数零点的定义：对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点2、几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3、函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根4、二次函数yax2bxc(a0)零点的分布根的分布(mnp为常数)图象满足条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nnx2p只

2、有一根在(m，n)之间或f(m)·f(n) 05、方法与要点（1）一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断（2） 两个防范(1)函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，是数不是点(2)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点如图， f(a)·f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不

3、必要（3）三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点二、二分法求方程的近似解1、二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，

4、进而得到零点近似值的方法叫做二分法2、给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)·f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)·f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)·f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度.即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.三、常见的函数模型及性质1、几类函数模型一次函数模型：ykxb(k0)二次函数模型：yax2bxc(a0)指数函数型模型：yabxc(b0，b1)对

5、数函数型模型：ymlogaxn(a0，a1)幂函数型模型：yaxnb.2、三种函数模型的性质函数性质yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax3、方法与要点（1）一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域（2）四个步骤审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；建模：由题设中的数量关系，建立相应

6、的数学模型，将实际问题转化为数学问题；解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论B、考点解析：考点一函数零点与零点个数的判断【例1】(2010·福建)函数f(x)的零点个数为()A3 B2 C7 D0【训练1】 函数f(x)log3xx3的零点一定在区间()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)考点二有关二次函数的零点问题【例2】是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由【训练2】1、方程的两根都大于1，则实数的取

7、值范围是A.B. C. 或D. 2、关于x的一元二次方程x22axa20，当a为何实数时(1)有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)内有且只有一解考点三函数零点性质的应用【例3】已知函数f(x)x22ext1，g(x)x(x>0，其中e表示自然对数的底数)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围； (2)确定t的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根【训练3】 已知函数f(x)ax32ax3a4在区间(1,1)上有一个零点(1)求实数a的取值范围； (2)若a，用二分法求方程f(x)0在区间(1,1)上的根考点四一次

8、函数、二次函数函数模型的应用【例4】在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)3 000x20x2，C(x)500x4 000(xN*)现已知该公司每月生产该产品不超过100台(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差【训练4】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)前30天价格为g(t)t30(1t30，tN)，后20天价格为g(

9、t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系； (2)求日销售额S的最大值考点五指数函数模型的应用【例5】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？【训练5】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算1

10、0年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.3010，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9)自我检测题一、选择题1若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2) C(，2)(2，) D(，1)(1，)2若函数yf(x)在R上递增，则函数yf(x)的零点()A至少有一个 B至多有一个

11、 C有且只有一个 D可能有无数个 3如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A B C D 4在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为 ()A. B. C. D.5从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于()A34万元 B45万元 C56万元 D23万元二、填空题1已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_2. 已知yx(x1)(

12、x1)的图象如图所示令f(x)x(x1)(x1)0.01，则对于f(x)0的解叙述正确的序号为_有三个实根当x>1时恰有一实根当0<x<1时恰有一实根当1<x<0时恰有一实根当x<1时恰有一实根3已知函数f(x)x2axa1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是 (第4题)4已知f(x)(x1)·|x1|，若关于x的方程f(x)xm有三个不同的实数解，则实数m的取值范围 5为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为yax2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文

13、为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_同步测试1函数f(x)log5(x1)的零点是()A0B1C2 D32根据表格中的数据，可以判断方程exx20必有一个根在区间()x10123ex0.3712.787.3920.09x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)3函数f(x)的零点个数为()A0 B1C2 D34已知函数f(x)x21，则函数f(x1)的零点是_1若函数f(x)axb只有一个零点2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2 B0，C0， D2，2若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值

14、范围是()Aa1 Ba1Ca1 Da13函数f(x)lnx的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(e,3)4下列函数不存在零点的是()Ayx ByCy Dy5函数yloga(x1)x22(0a1)的零点的个数为()A0 B1C2 D无法确定新 课 标 第 一 网6设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)7函数f(x)ax22axc(a0)的一个零点为1，则它的另一个零点为_8若函数f(x)3ax2a1在区间1,1上存在一个零点，则a的取值范围是_ c o m9下列说法正确的有_：对于函数f(x)x2mxn，若f(a)0