自动控制原理第三

1、自自 动动 控控 制制 原原 理理2015年年11月月电气与信息工程学院电气与信息工程学院2第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标3-1一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3-2二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析43-33-4控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制系统的稳态误差计算控制系统的稳态误差计算43-63-53二、控制系统的性能指标二、控制系统的性能指标 系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。在典型输入信号作用下，任何一个控制系

2、统的时间响在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都由应都由动态过程动态过程和和稳态过程稳态过程两部分组成。动态过程又两部分组成。动态过程又称动态响应或瞬态响应，稳态过程又称稳态响应。称动态响应或瞬态响应，稳态过程又称稳态响应。)()()(tctctcsp 瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应)()(0)(tctctctsp 且，且，则系统稳定，则系统稳定，时，时，如果，如果，3-1 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标4tc(t)01(2)上升时间上升时间tr 输出响应从零开始第一次上输出响应从零开始第一次上 升到稳态值所需的时间。升到稳态值所需的时间。上升时间：上升时间：单位阶

3、跃响应曲线单位阶跃响应曲线 tr(3) 峰值时间峰值时间t ptp峰值时间：峰值时间： 系统输出响应由零开始，第系统输出响应由零开始，第 一次到达峰值所需时间。一次到达峰值所需时间。%(4) 超调量超调量% %超调量：超调量：输出响应超出稳态值的最大偏输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比。离量占稳态值的百分比。% %= =c(tp)-c()c()100%(5) 调节时间调节时间t s 系统输出响应达到并保持在稳态值的系统输出响应达到并保持在稳态值的5%（或（或2%）误差范围内，所需最短时间。）误差范围内，所需最短时间。ts1动态性能指标动态性能指标 (1)延迟时间延迟时间 td 3-

4、1 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标延迟时间：延迟时间：响应曲线第一次到达稳态值响应曲线第一次到达稳态值 一半所需的时间。一半所需的时间。52稳态性能指标稳态性能指标 稳态误差稳态误差e ss系统期望值与实际输出的系统期望值与实际输出的最终稳态值之间的差值。最终稳态值之间的差值。3-1 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标6 根据系统的输出响应求取系统的性根据系统的输出响应求取系统的性能指标能指标,从而分析系统的性能，是时域分从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。析法分析系统性能的基本方法。一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型二、一阶系统的时域响应

5、及性能分析二、一阶系统的时域响应及性能分析3-2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析7 0lim)()(lim)(lim 5% 3 20. 2 69. 0 - - D D - - TttttsssrdetctrteeTtTtTt 一阶系统的动态性能指标为一阶系统的动态性能指标为:3-2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析8 系统输入信号导数的输出响应，等系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。典型信号的响应，就可推知于其它。根据一阶系统三种响应的输入输出信号根据一阶系统三种响应的输入输出信号:可知

6、可知:c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tc(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=(t)3-2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析9一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应五、二阶系统的性能改善五、二阶系统的性能改善三、二阶系统的性能指标三、二阶系统的性能指标四、二阶系统的单位斜坡响应四、二阶系统的单位斜坡响应3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析10 二阶微分方程描述的系统称为二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统。二阶系统的典型结构二阶系统的典型结构:2 2n n _R(s)R(

7、s)C(s)C(s)S(S+2 n n) ) 阻尼比阻尼比 无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率n2n2n S2+2 S+(s)=C(s)R(s)=n 一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析11n2n2n S2+2 S+=S2 +RS/L+1/LC1/LCG(s)=LCS2 +RCS+11=Uc(s)Ur(s)例如：例如：RLC电路的传递函数为电路的传递函数为得：得： 二阶系统的参数与标准式的参数之二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。求出标准形式的动间有着对应的关系。求出标准形式的动态性能指标与其参数间的关系，便可求态性能指标与其参

8、数间的关系，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。得任何二阶系统的动态性能指标。n 2=R/Ln2 = 1/LCn=1/ LC= R C2 L3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析12二阶系统的时间响应取决于二阶系统的时间响应取决于 和和 n。 取值取值不同，特征根各异不同，特征根各异，单位阶跃响应的形式，单位阶跃响应的形式不相同。不相同。n2n (S2+2 S+n2)SC(s)=(s)R(s)=n S2+2 S+n2= 0n S1.2 = - n2 -1 二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应闭环特征方程：闭环特征方程：闭环极点：闭环极点：3-3 二阶系统的时域分析二阶系统

9、的时域分析13（2） =1 临界阻尼状态：临界阻尼状态：j s1= s20 nns - - 2, 1两个相同的实根两个相同的实根（1） 1 过阻尼状态：过阻尼状态：122, 1- - - - nns两个不同的实根两个不同的实根j s10s23-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析14njs 2, 1虚轴上的一对共轭极点虚轴上的一对共轭极点j s10 ns2 n（4） =0 无阻尼状态：无阻尼状态：（3） 0 0.707之后又有之后又有 ts , 3）准确性：）准确性： 的增加和的增加和n的减小虽然对系统的平稳的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态

10、斜坡信号的稳态误差增加。误差增加。由由和和 n决定。决定。3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析21例：系统结构图如图所示。例：系统结构图如图所示。1）若开关）若开关K1和和K2均打开，试求该系统动态性能指标均打开，试求该系统动态性能指标、ts；2）为降低系统的超调量且提高系统的快速性，试给出设计系）为降低系统的超调量且提高系统的快速性，试给出设计系统的两种方案，并求出其中任意一种方案的性能指标统的两种方案，并求出其中任意一种方案的性能指标、ts。R(s)=1/sC(s)s(s+34)75000.007s0.007sK1K2解：解：1）开关）开关K1和和K2均打开，系统开环传递函数为均打

11、开，系统开环传递函数为)34(7500)( sssG)2(2nnss 3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析22R(s)=1/sC(s)s(s+34)75000.007s0.007sK1K2%3 .53%100% 21/ - - - e得：得：)( 206. 05 . 3stns 34275002nn 196. 0)/(60.86 sradn3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析232）方案）方案1：比例：比例-微分控制（只合开关微分控制（只合开关K1）2222)1()()()(nndndsssTsRsCs )/(6 .86)(007. 0 sradsTnd 式中：式中：5 . 0

12、499. 021 nddT %3 .16%100%21/ - - -dde )( 08. 05 . 3stnds 3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析R(s)=1/sC(s)s(s+34)75000.007s0.007sK1K2242）方案）方案2：测速反馈控制（只合开关：测速反馈控制（只合开关K2）2222)()()(nntnsssRsCs )/(6 .86 sradn 式中：式中：5 . 0499. 021 nttK %3 .16%100%21/ - - -dde )( 08. 05 . 3stnds ssKsHt007. 0)( 3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析R(s

13、)=1/sC(s)s(s+34)75000.007s0.007sK1K225 不同控制对二阶系统性能的改善不同控制对二阶系统性能的改善 a二阶系统二阶系统b加比例微分加比例微分c加微分负反馈加微分负反馈c(t)t013-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析26 分析系统的稳定性并提出改善系统稳定分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。的措施是自动控制理论的基本任务之一。一、系统稳定的充分与必要条件一、系统稳定的充分与必要条件二、劳斯稳定判据二、劳斯稳定判据三、结构不稳定系统的改进措施三、结构不稳定系统的改进措施3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析2

14、7一、系统稳定的充分与必要条件一、系统稳定的充分与必要条件稳定性：稳定性： 处于某平衡状态系统在扰动作用下处于某平衡状态系统在扰动作用下偏离原来的平衡状态后，系统能否回到偏离原来的平衡状态后，系统能否回到原来的平衡状态。原来的平衡状态。3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析28线性系统脉冲响应：)0( )1sin(1 )1cos()(122121 - - - - - - - - - - tteBCteBeAtcrkkktkkkkkkrkkktktsqjjkkkkj 线性系统稳定的线性系统稳定的充要条件充要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部：即闭环闭环系统特征方程的所有根均具有

15、负实部：即闭环传递函数的极点均严格位于左半传递函数的极点均严格位于左半S平面。平面。系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件为：为： 特征方程中各项系数为正且不缺项。特征方程中各项系数为正且不缺项。3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析29系统的稳定性只与系统自身的结构参数有关，而系统的稳定性只与系统自身的结构参数有关，而与初始条件、外作用大小无关；系统稳定性只取与初始条件、外作用大小无关；系统稳定性只取决于系统特征根（极点），而与系统零点无关。决于系统特征根（极点），而与系统零点无关。临界稳定临界稳定：特征根中有一个或一个以上的零实部：特征根中有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根均

16、具有负实部。根，其余的特征根均具有负实部。3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析30二、劳斯稳定判据二、劳斯稳定判据 根据稳定的充分与必要条件根据稳定的充分与必要条件,求得特求得特征方程的根征方程的根,就可判定系统的稳定性就可判定系统的稳定性.但对但对于高阶系统求解方程的根比较困难于高阶系统求解方程的根比较困难.劳斯劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数的各项系数,经过代数运算来判别系统的经过代数运算来判别系统的稳定性。稳定性。3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析31 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：根据特征方程的各项系

17、数排列成劳斯表：设系统的特征方程为设系统的特征方程为a0sn +a1sn-1 + +an-1s+an=0 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b42 sn-3 s0 sn sn-1 sn-2 b31 b32 b33 b31= a1a2 -a0a3 a1 b41 b32= a1a4 -a0a5 a1 b41= b31a3 -b32a1 b31 b42= b31a5 -b33a1 b31 b43 bn+1 3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析32 若特征方程式的各项系数都大于零，若特征方程式的各项系数都大于零，且劳斯表中第一列元且劳斯表中第一列元 素均为正值，则系统素均为正值，则系统是

18、稳定的。否则，系统为不稳定，且第一是稳定的。否则，系统为不稳定，且第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。正实部根的个数。 1、劳斯稳定判据：、劳斯稳定判据：3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析33例例 已知系统的特征方程，试判断该系统已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。的稳定性。解：解： S4+2S3+3S2+4S+5=0劳斯表如下：劳斯表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b31 b32 b41 b51 2 4 b31= 2*3 -1*4 2 =11 b32= 2*5 -1*0 2 = 55 b41= 1

19、*4 -2*5 1 =-6-6 b51= -6*5 -1*0 -6 = 55有两个正实部根，系统为不稳定。有两个正实部根，系统为不稳定。3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析34例例 系统如图所示，试确定系统稳定时放大系统如图所示，试确定系统稳定时放大倍数倍数K的取值范围。的取值范围。KS(0.1S+1)(0.25S+1)_R(s)C(s)解：解： 首先求出系统的闭环传递函数首先求出系统的闭环传递函数(s)=S(0.1S+1)(0.25S+1)+KK特征方程特征方程:S3+14S2+40S+40K=0劳斯表劳斯表: 1 40 s3 s2 14 40K s1 b31 b31= 14*4

20、0 -1*40K 14 0s0 b41 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件:560-40K040K00K143-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析35（1）如果劳斯表中某行的第一个元素为）如果劳斯表中某行的第一个元素为零，而该行中其余各元素不全为零，表零，而该行中其余各元素不全为零，表示系统中有纯虚根示系统中有纯虚根,系统不稳定。此时，系统不稳定。此时，可用一个接近于零的很小的正数可用一个接近于零的很小的正数来代替来代替零，完成劳斯表的排列。零，完成劳斯表的排列。2、劳斯判据的特殊情况：、劳斯判据的特殊情况：3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析36例例 已知系统的特征方

21、程，试判断系已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。统的稳定性。劳斯表为劳斯表为:系统有一对纯虚根系统有一对纯虚根 系统不稳定系统不稳定S3+2S2+S+2=0解：解： 1 1 s3 s2 2 2 s1 b31 b31=0 () s0 b41 2 通过因式分解验证通过因式分解验证:S3+2S2+S+2=(S+2)(S2+1)=0S1=-2S2.3=j3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析37（2）如果劳斯表中某一行的元素全为）如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有绝对值相同但符号零，表示系统中含有绝对值相同但符号相异的特征根相异的特征根,系统不稳定。此时系统不稳定。此时,应

22、以应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式求导后，所得多项式的系式，该多项式求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。程可以求得这些根。3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析38特征方程存在特征方程存在绝对值相同符号相异绝对值相同符号相异的特征根的特征根:a）一对）一对对称于原点的实根对称于原点的实根b）一对共轭纯虚根）一对共轭纯虚根解决方法：解决方法：a）用全零行的上一行的系数构造一个辅助方程）用全零行的上一行的系数构造一个辅助方程F(s)；b）辅助方程）辅助方程F(s)对

23、对s求导，用所得方程的系数代替全求导，用所得方程的系数代替全零行；零行；c）继续劳斯表的计算。）继续劳斯表的计算。绝对值相同符号相异绝对值相同符号相异的特征根可由的特征根可由辅助方程辅助方程F(s)求出。求出。3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析39 例例 已知控制系统的特征方程已知控制系统的特征方程,试判断试判断 系统的稳定性系统的稳定性由全零行的上由全零行的上一行元素组成一行元素组成辅助多项式：辅助多项式：S6 +2S5 +8S4+12S3+20S2+16S+16=0解：解：劳斯表为劳斯表为: 1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2 s3 0 1612P(s)

24、=2S4+12S2+16dP(s)dS=8S3+24S代入代入0824s2 1668/3s1 s0 16 劳斯表中某行同乘以某正数，不影响劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。系统稳定性的判断。系统有虚根系统有虚根,不稳定不稳定3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析40一、给定信号作用下的稳态误差一、给定信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差三、改善系统稳态误差的方法三、改善系统稳态误差的方法3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算41系统误差：系统误差：一、给定信号作用下的稳态误差一、给定信号作用下的稳态误差 控制系统的

25、典型结构控制系统的典型结构B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)_e(t)=r(t)-b(t)期望值与实际值的差值。期望值与实际值的差值。稳态误差：稳态误差： 进入稳态后的误差值。进入稳态后的误差值。 ess=lim e(t)t设设D(s)=0R(s)作用时作用时Er(s)=R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)=R(s)1+G(s)H(s)1、终值定理求稳态误差、终值定理求稳态误差:essr=lim er(t)=lim sEr(s)ts0R(s)1+G(s)H(s)s0=lim s条件：条件：sE(s)的全部极点都必须位于的全部极点都必须位于S平面的左半部或

26、原点平面的左半部或原点。 系统给定信号作用下的稳态误差不仅与系统给定信号作用下的稳态误差不仅与系统的输入有关，还与系统的结构有关。系统的输入有关，还与系统的结构有关。 3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算42系统输入的一般表达式为系统输入的一般表达式为:N 输入信号的阶次输入信号的阶次系统的稳态误差可表示为：系统的稳态误差可表示为：3、静态误差系数法求稳态误差、静态误差系数法求稳态误差00( )limlim1( )( )1( )( )NssrssRssR sseG s H sG s H sR(s)=SNR3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算43典型输入作用下各型

27、系统的稳态误差典型输入作用下各型系统的稳态误差系统类型系统类型输入信号输入信号阶跃阶跃R 1(t)斜坡斜坡Rtv0型系统型系统 I型系统型系统0 II型系统型系统00221Rt加速度加速度KR 1KRKRpssKRe 1vssKRe assKRe )()(lim0sHsGKsp )()(lim0sHssGKsv )()(lim20sHsGsKsa 3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算44 例例 已知系统的结构如图所示。求系统已知系统的结构如图所示。求系统 的稳态误差。的稳态误差。0.5_100S(S+10）R(s)C(s)解：解： G(s)H(s)= 1000.5S(S+10)

28、系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为+R(s)=S1S21s0Kp=lim G(s)H(s)=lim s0S(0.1S+1)5= ess1=0R(s)=S1R(s)=S21S(0.1S+1)5 =s0K=lim SG(s)H(s) =limS s0S(0.1S+1)5=5 ess2=1/5essr=ess1+ess2=0.23-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算45例：设一单位负反馈系统的开环传递函数为例：设一单位负反馈系统的开环传递函数为0),( )1)(1()1()(3212123 T,TTsTsTssTKsG作用下的稳态误差。作用下的稳态误差。求系统在输入求系统在输入2

29、211)(tttr 解：很显然，系统为解：很显然，系统为II型系统，其开环增益为型系统，其开环增益为K，其静态误差系数分别为其静态误差系数分别为2000lim( )lim( )lim( )pvasssKG sKsG sKs G sK 作用下的稳态误差为作用下的稳态误差为系统在输入系统在输入2211)(tttr KKKKeavpss11111 3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算46二、扰动信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差1、定义：、定义：G1(s)H(s)G2(s)R(s)N(s)C(s)_E(s)B(s) 扰动作用下的控制系统扰动作用下的控制系统En(s)= -Cn(s)扰动信号作用下的稳态误差：扰动信号作用下的稳态误差：3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算47En(s)= -Cn(s)= N(s) - G2(s)1+G1(s)G2(s)H(s)令令 R(s)=0essn= limS -G2(s)N(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s0212( )( ) ( )( )1( )( )( )nenE sG ssN sG s G s H s -令差差