物理大二上 唐莹09振send.

1、本学期演示实验课定于本学期演示实验课定于10月月12日日开始，上网选开始，上网选课系统于课系统于10月月5日日向学生开放。选课网址：向学生开放。选课网址：20:8080/。1.由于每年学生总有忘记密码而来查询，因此由于每年学生总有忘记密码而来查询，因此初设密码为学生学号初设密码为学生学号，希望能通知学生密码更，希望能通知学生密码更改后请记住自己的密码！改后请记住自己的密码！2.根据本学期学生人数，根据本学期学生人数，演示课结束时间暂定演示课结束时间暂定11月月27日日；希望学生根据自己的时间选择上课；希望学生根据自己的时间选择上课时间，但时间，但不允许和大学物

2、理实验上课时间发生不允许和大学物理实验上课时间发生冲突，冲突，按时上课。如果不能按时来上课，请及按时上课。如果不能按时来上课，请及时到网上退约。时到网上退约。本章内容：本章内容： 1 简谐振动简谐振动 2 谐振动的合成谐振动的合成 3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 本章重点：本章重点： 简谐振动的特征量简谐振动的特征量; 旋转矢量法。旋转矢量法。 本章难点：本章难点： 正确求出特征量；正确求出特征量； 谐振动的合成谐振动的合成.一、简谐振动的定义一、简谐振动的定义二、简谐振动的特征量二、简谐振动的特征量三、简谐振动表示法三、简谐振动表示法四、角谐振动四、角谐振动单摆与复摆单摆与

3、复摆五、简谐振动能量五、简谐振动能量 1 简谐振动简谐振动以以弹簧弹簧振子振子为例为例, ,以以滑滑块块为研究对象为研究对象, ,取取平衡平衡位置位置为为坐标原点坐标原点, ,对于对于小幅小幅振动情况分析。振动情况分析。ooAxv=0oxvF=0，x=0vF=0，x=0Ax Fv=0一、简谐振动的定义 1. 简谐振动简谐振动方程方程及及定义定义恢复力恢复力牛顿第二定律牛顿第二定律xmkmFtx 22dd2 mk胡克定律胡克定律kxF 令令0dd222 xtx这一微分方程的解为这一微分方程的解为)cos(0 tAx谐振动的谐振动的运动学方程运动学方程或质点的或质点的振动方程。振动方程。位移位移x

4、to2T23TT)cos(0 tAx_振动方程振动方程AA:振幅振幅 :角频率角频率 0:初相初相特征量特征量( (1) )物体只在弹性力或准弹性（线性恢复力物体只在弹性力或准弹性（线性恢复力) )作用下发生的运动称为作用下发生的运动称为简谐振动简谐振动。( (2) )满足满足0dd222 xtx 动力学方程的运动为动力学方程的运动为简谐振动简谐振动. . (3)在无外来强迫力作用下在无外来强迫力作用下,质点离开平衡位置的质点离开平衡位置的位移位移(或其他物理量或其他物理量)是是时间时间的的正弦函数正弦函数或或余余弦函数弦函数的直线运动是的直线运动是简谐振动简谐振动。判断一振动是否是简谐振动判

5、断一振动是否是简谐振动, ,用三种定义中任何一种皆可用三种定义中任何一种皆可. . 简谐振动定义简谐振动定义: :三判据三判据.kxF )cos(0 tAx任何一个任何一个稍微偏离平衡状态稍微偏离平衡状态的稳定系统的稳定系统, ,都可看都可看成成简谐振子简谐振子. .对于物理学中的许多问题对于物理学中的许多问题, ,谐振子谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。都可以作为一个近似的或相当精确的模型。 晶格点阵晶格点阵广义来说广义来说：某个物理量：某个物理量随时间的变化随时间的变化是是正弦正弦或或 余弦余弦关系关系, ,则可称该则可称该物理量物理量作作简谐振动简谐振动。AC活塞的往复运动当活

6、塞的往复运动当 RL时才时才近似为谐振动。近似为谐振动。木块在静水中上下运动在木块在静水中上下运动在不计不计阻力阻力情况下为谐振动。情况下为谐振动。2.简谐振动的简谐振动的速度速度和和加速度加速度)tsin(Atxv0dd)cos(dd0222 tAtxa其中其中,Avmo2TT23T2T速度速度v加速度加速度ato2TT23T2T称为称为速度幅值速度幅值和和 加速度幅值加速度幅值。ax总是和总是和 方向相反方向相反A)(txA2 A )tsin(v0mxta20m)cos( Aa2m A)(tx1. .振幅振幅A : :物理量物理量x的最大值的最大值0 t00cos Ax 0Asin0v22

7、020vx A2. .周期周期T 频率频率 角频率角频率 _决定于决定于初始条件初始条件. .)tcos(Ax0AxA 二二. .描述描述简谐振动的特征量简谐振动的特征量机械振动机械振动 : :物体偏离平衡位置的最大位移物体偏离平衡位置的最大位移. .周期周期T : :做做一次完全振动一次完全振动所需要的所需要的时间时间. .002tTt)(T1 2T 称为振动的称为振动的角频率角频率或或圆频率圆频率。 2 频率频率 : :每秒每秒振动振动的的次数次数. .-决定于系统的决定于系统的固有固有性质性质. .mk 对于弹簧对于弹簧振子振子2 3. .相位和初相位相位和初相位当当A和和 为一定时为一

8、定时振动物体在任一时刻的振动物体在任一时刻的运动状态运动状态)(0 t(指位置和速度指位置和速度)完全完全(唯一地唯一地)由由决定。决定。)(0 t 是是t = =0时的相位时的相位, ,称为称为初相位初相位。0 称为振动的称为振动的相位相位。0 t00sinAv00cos Ax (1)由由初始条件确初始条件确定定0 ，的的两两个个值值0 取取一一个个例例1:已知已知A=12cm,T=2scmxt600 000sinAv 解：解：Ax00cos 00v3;30 21 30 )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx 两个振动两个振动同相同相任意时刻它们的任意时刻它们的相相位差位差为为

9、 位移位移xto2TT23T2Tx2x11020 0 描述描述运动状态运动状态, ,反映反映振动周期性特点振动周期性特点, ,可可比较两个振动在比较两个振动在步步调调上的差异。上的差异。(2)相位的特点相位的特点 )(20 t12 )(10 t位移位移xto2TT23T2Tx2x1 两个振动两个振动反相反相 称振动称振动2超前超前振动振动1 0 当当时时o2TT23T2Txx2x1 1020 tt或者说振动或者说振动1落后落后2 (3)相位差相位差与与时间差时间差)()(0102 ttttt )(12 x (cm) t (s) O 4 21例例2 .一谐振动曲线如图一谐振动曲线如图.求振动周期

10、求振动周期 t6701sT7126722 0 t00v2Ax030st 101x01v231)/1 (s67M0Ox0AM t )cos(0tAx的轨迹是的轨迹是( (参考参考) )圆圆在在x轴上的轴上的投影点的运动投影点的运动是是简谐振动简谐振动其端点其端点M2. .复数表示法复数表示法(自阅教材自阅教材P7)1.振动曲线表示法（解析法）振动曲线表示法（解析法）)cos(0 tAxx-t 曲线曲线 v-x 曲线曲线三三. . 简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法3. .旋转矢量表示法（旋转矢量表示法（重点重点!）从原点做从原点做长度为长度为A的矢量，的矢量，绕原点以绕原点以 逆时针逆时针匀速

11、旋转匀速旋转V3.0txoxA t+ 两种表示法的两种表示法的对应关系对应关系用旋转矢量法求用旋转矢量法求相位相位或或相位差相位差的步骤的步骤：第一步：第一步：由质点此刻由质点此刻位移位移x的值的值在旋转矢量图在旋转矢量图 的的x轴轴上画出一点上画出一点 0 0 X XO O第二步：第二步：这点对应在矢量参考圆上这点对应在矢量参考圆上有两点。有两点。第三步：第三步：由质点此刻由质点此刻振动速度振动速度的的方方向向确定旋转矢量的位置。由此定出确定旋转矢量的位置。由此定出此刻的相位。此刻的相位。若求相位差，只需画出若求相位差，只需画出两个时刻两个时刻的的旋转矢量计算它们的夹角即可。旋转矢量计算它们

12、的夹角即可。 x (cm) t (s) O 4 21再看例再看例2 .一谐振动曲线如图一谐振动曲线如图.求振动周期求振动周期 t6 sT7126722 注意注意:x轴在竖直方向轴在竖直方向! XO例例3 一物体沿一物体沿X作作谐振动谐振动.振幅振幅A=20cm,周期周期T=4s. t=0时物体的位移为时物体的位移为-10cm且向且向X轴负向轴负向运动运动.求求:(1)t=1s 时物体的时物体的位移位移；(2)何时何时物体物体第一次第一次运动到运动到x=10cm处；处；(3)再经多少时间物体第二次运动到再经多少时间物体第二次运动到x=10cm处；处；2A 0 0解：解：作旋转矢量图，作旋转矢量图

13、， 320 mtx)322cos(2 .0 mx173. 0)322cos(2 . 0 (1) t=1s 时物体的位移：时物体的位移： Xst34 sTt22 (2)何时物体第一次运动到何时物体第一次运动到 x=10cm处：处：(3)再经多少时间物体第二次运动到再经多少时间物体第二次运动到x=10cm处；处；2A32 mx173. 0)322cos(2 . 0 (1) t=1s 时物体的位移：时物体的位移：mtx)322cos(2.0 解：解：1 1. .单摆单摆0dd22 lgt角位移很小时角位移很小时, ,单摆的振动是简谐振单摆的振动是简谐振动动. .角频率角频率, ,振动的振动的周期周期

14、分别为：分别为：glTlg22 sin sinmg 22ddtml振动方程振动方程 max )cos(0 tgmFl角振幅角振幅 sinmg sinmgft 记！记！ 当当 角很小时，角很小时， Rat 22ddtl四、角谐振动四、角谐振动 物体所受的回复力与物体所受的回复力与sin 成正比成正比,摆动不是简谐振动。摆动不是简谐振动。 m =178 =1780 0 当当 角不是很小时，角不是很小时，)2sin43212sin211(4222220 mmTT m =45 =450 0t 1800900思考题思考题:摆球圆运动的角速度摆球圆运动的角速度?等于简谐振等于简谐振动的角频率吗动的角频率吗

15、?设在任意时刻设在任意时刻t,平衡位置平衡位置与与OC间的夹角间的夹角为为 , 规规定定偏离平衡位置沿偏离平衡位置沿逆时针方向逆时针方向转过的角位移为转过的角位移为正正。 sinmglM sin摆角很小时摆角很小时则则 mglM o lCGmglJT 22 根据转动定律根据转动定律 Jmglt 2dd20dd222 xtx与与比较比较当摆角很小时复摆在其当摆角很小时复摆在其平衡位置平衡位置附近作附近作简谐振动简谐振动. .2.复摆复摆 (物理摆物理摆)J为绕为绕O 轴的转动惯量。轴的转动惯量。22tJJMdd这时这时复摆受到的对于复摆受到的对于0轴的力矩为轴的力矩为 21d ZMA 质点直线运

16、动质点直线运动 刚体的定轴转动刚体的定轴转动tdd 位移位移 x速度速度22ddddtxtva 加速度加速度 xFAd功功 角位移角位移 角速度角速度txvdd 22ddddtt 角加速度角加速度质量质量 m 2iirmJ 转动惯量转动惯量功功动能动能221mvEK 转动动能转动动能221 JEK mv动量动量 J角动量角动量转动定律转动定律力矩力矩tzFrM 力力 F牛顿二律牛顿二律 F=maJM 仍以仍以弹簧弹簧振子为例振子为例)cos(0 tAx振动物体的动能为振动物体的动能为)(sin212102222 tAmmEk振动物体势能为振动物体势能为)(cos21210222 tAkkxEp

17、考虑到考虑到2 mk则总能量则总能量221kAEEEpk 这一结论对于任何简谐系统都成立。这一结论对于任何简谐系统都成立。系统的总能量系统的总能量2AE 是恒量是恒量振动过程中机械能守恒。振动过程中机械能守恒。五、五、简谐振动的能量简谐振动的能量振动曲线振动曲线从图可见从图可见,动能和势能的变化频率是位移变动能和势能的变化频率是位移变化频率的化频率的2倍倍,总能量并不改变。总能量并不改变。, tEk tEp 曲线曲线221kAE xt t2TT T23TE Ep pE Ek k0 初初相相t to o2TT T23TElg .!6!4!21cos642 22dd2121)tl (mmvEk)c

18、os(0 tmgmFl sinmg 当当 角很小时，取前两项角很小时，取前两项)sin(0 tdtdm)(sin2102222 tmlm)cos(mglEp1)(cos21022 tmglm221)cos1(mmmglmglE 总总221mgl)cos(0 tAxA由初始条由初始条件决定件决定由振动系统的由振动系统的动力学性质决定动力学性质决定0由初始条件由初始条件决定决定,用旋转用旋转矢量表示法矢量表示法本节总结本节总结：22020vxAmk lg 00sinAv00cos Ax 的的两两个个值值0 取取一一个个)(sin210222 tAmEk)(cos21022 tAkEp221kAEE

19、Epk 4.简谐振动的能量简谐振动的能量1.谐振动判据：谐振动判据：kxF 0dd222 xtx2.特征量特征量：mglJT 22 3.计算计算相位差相位差或或时间差时间差 12 t一个振动不同状态之一个振动不同状态之时间差时间差 1020 t两个振动两个振动超前超前或或滞后滞后的的时间时间k k2 2k k1 1补充补充：串并联串并联弹簧弹簧的的等效劲度系数等效劲度系数。串联串联2121kkkkk kk并联并联21kkk 思考思考：将：将劲度系数为劲度系数为k的弹簧分成的弹簧分成相同相同的的n段段， 每段弹簧的劲度系数？每段弹簧的劲度系数？ nk二、同方向二、同方向不同频率不同频率两个两个简

20、谐简谐振动的合成振动的合成一、同方向一、同方向同频率同频率两个两个简谐简谐振动的合成振动的合成三、两个三、两个互相垂直互相垂直同频率同频率简谐简谐振动的合成振动的合成研究方法研究方法：采用振动描述的：采用振动描述的解析法解析法和和矢量图法矢量图法 来分析简谐振动的合成。来分析简谐振动的合成。四、两个四、两个互相垂直互相垂直不同频率不同频率简谐简谐振动的合振动的合成成 2 振动的合成与分解振动的合成与分解2021012021010coscossinsin AAAAtg )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx21xxx )cos(0 tAx)cos(21020212221 AAAAA

21、合振动成仍为合振动成仍为简谐振动。简谐振动。x20 x0 x10 x02010P .Aot M2A1AA2A1A一、同一、同方向方向同同频率频率两个两个简谐简谐振动的合成振动的合成转速同转速同,平行四边形的形状保持不变。平行四边形的形状保持不变。所以所以合成振动合成振动的振幅不变。的振幅不变。)(20010 讨论两个特例讨论两个特例 (1)两个振动同相两个振动同相,21020 k ,.2, 1, 0 k)cos(21020212221 AAAAA由由212122212AAAAAAA )cos(21020212221 AAAAA由由(2)两个振动反相两个振动反相212122212AAAAAAA

22、,)12(1020 k,.2, 1, ok如果如果21AA 则则 A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振动合成振动xto2TT23T2T合成振动合成振动一般情况一般情况, 为其他任意值为其他任意值.则：则：)(2121AAAAA 可见：可见：两个分振动的两个分振动的相位差相位差决定合振动决定合振动。合成振动合成振动t2TT23T2TxoO OA例例4:两个沿同一直线且具有两个沿同一直线且具有相同振幅相同振幅和和周期周期的的谐振动合成后，产生一个具有谐振动合成后，产生一个具有相同振幅相同振幅的谐振的谐振动，求原来两个振动的相位差。动，求原来两个振动的相位差。解：解： 21AAA AAA 21

23、3212 1A2AO O1A例例5.一质点参与了三个简谐振动一质点参与了三个简谐振动,其方程分别为其方程分别为解：解： 321AAAA3A2A求合振动的振幅。求合振动的振幅。)tcos(Ax31)tcos(Ax2)tcos(Ax353=0 分析分析：这这N个个分振幅分振幅是一个是一个正正多边形多边形的一部分。的一部分。这个正多边形有一个这个正多边形有一个外外接圆接圆,设圆心在设圆心在P点。点。例例6: N个同方向个同方向,同频率同频率,同振幅的谐振动同振幅的谐振动.若它们若它们相位相位依次为依次为 ， 2 ，,试求它们的试求它们的合振幅合振幅. 并证并证明当明当N =2k 时的合振幅为零。时的

24、合振幅为零。 每个每个分振幅矢量分振幅矢量对应的对应的圆心角圆心角 RP合振幅合振幅对应的圆心角对应的圆心角为为N A合合XOBCA0解：合振幅解：合振幅2sin2 NRA 由由 OPB可看出可看出2sin20 RA2sin2sin0 NAA 当当N =2k 时的合振幅为零。时的合振幅为零。请记住请记住!光学用。光学用。 N QRPab /2PA -仍为仍为简谐振动简谐振动x12A 1A 2若若 1 1= = 2 2 , ,则则 不变；不变；若若 1 1 2 2 , ,则则 变；变；-为为一复杂运动一复杂运动同方向同频率两个同方向同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成二、同二、同方向方向不同不

25、同频率频率两个两个简谐简谐振动的合成振动的合成同方向同方向不同频率不同频率两个两个简谐简谐振动的合成振动的合成 tA2cos212 t2cos21 21xxxtAx11cos tAx22cos 解析法分析解析法分析:设两设两振动振幅、初相振动振幅、初相相同，并相同，并以它们的以它们的初相位都为零时初相位都为零时为计时起点为计时起点位移位移x xt to o2TT T23T2T2T分振动分振动1 1分振动分振动2 2合振动合振动122 为为一复杂振动一复杂振动和频和频差频差频振幅周期性变化振幅周期性变化toxx1x2 着重研究着重研究21, 相近情况相近情况拍现象（拍现象（Beat)：两两个个频

26、率频率都大而都大而差差很小的同方很小的同方向振动合成时，所产生的合向振动合成时，所产生的合振动忽强忽弱的现象。振动忽强忽弱的现象。即即 1- 2 1 or 2 x tA2cos212 t2cos21 21xxx 振幅随时间的变化非常缓慢振幅随时间的变化非常缓慢振幅调制因子振幅调制因子Amplitude modulation factorV3.0拍拍 x tA2cos212 t2cos21 振幅变化缓慢振幅变化缓慢振幅变化缓慢振幅变化缓慢 |2|12拍拍的周期：一个强弱的周期：一个强弱变化所需的时间变化所需的时间toxx1x221xxx 单位时间内合振动单位时间内合振动加强或减弱的次数加强或减弱

27、的次数称为称为拍频拍频|2|1212 拍拍手风琴的中音簧：手风琴的中音簧： 的两排中音簧的频的两排中音簧的频率大概相差率大概相差6到到8个赫兹，其作用就是产生个赫兹，其作用就是产生“拍拍”频。而俄罗斯的频。而俄罗斯的“巴扬巴扬”-则是单则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。利用拍频测速利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用

28、于对卫星、各种交通工具的雷达测方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。速装置中。 拍现象是一种很重要的物理现象。拍现象是一种很重要的物理现象。)cos(1011 tAx)cos(2022 tAy)(sin)cos(210202102021222212 AAxyAyAx消去消去 得到轨道方程得到轨道方程t（椭圆方程）（椭圆方程） 102001020 21AAyx 21AAyx yx质点的轨迹曲线质点的轨迹曲线仍为谐振动，仍为谐振动，但是振动方向但是振动方向改变了！改变了！三、两个三、两个互相垂直互相垂直同同频率频率简谐简谐振动的合成振动的合成12 A22 A插播插播/胡胡yx2102

29、0 1222212 AyAx21AA 轨迹为圆轨迹为圆注意！注意！提问：提问：若若y方向方向振动振动落后于落后于x方向方向,结果如何？结果如何？21AA 如果如果 ， 轨迹为椭圆轨迹为椭圆两个互相垂直两个互相垂直不不同振幅同振幅同频率同频率简谐简谐振动的合成振动的合成22301020 12 A22 A2443454749与合成相反：一个圆运动或椭圆运动与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为可分解为相互垂直的两个简谐振动。相互垂直的两个简谐振动。四、两四、两当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比利萨如图形利萨如图形无阻尼自由振动无阻尼自由振动 阻尼振动

30、阻尼振动( 摩擦阻尼，辐射阻尼摩擦阻尼，辐射阻尼 )由由牛顿第二定律牛顿第二定律txkxtxmdddd22 令令20 mk 2 m ( 称为阻尼因子称为阻尼因子)txFtdd ( 称为阻尼系数称为阻尼系数)对于摩擦阻尼对于摩擦阻尼,当当 不太大时不太大时0dd2dd222 xtxtx 一一 阻尼振动阻尼振动3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动与共振受迫振动与共振 220 称为阻尼振动振幅称为阻尼振动振幅Otx此常系数线性齐次微分方程的解为此常系数线性齐次微分方程的解为在阻尼较小时，在阻尼较小时， 0，) cos(00 teAxt0dd2dd222 xtxtx teAA 000220222TT 过阻尼

31、过阻尼振动振动)(0 临界阻尼临界阻尼)(0 在生产实际中根据不在生产实际中根据不同要求控制阻尼大小。同要求控制阻尼大小。图中曲线分别为图中曲线分别为阻尼阻尼振动振动)(0 设设 为物体相继两次通过极大为物体相继两次通过极大(或极小或极小)位置所经时间位置所经时间T驱动力驱动力tFF cos0 运动方程运动方程tFtxkxtxm cosdddd022稳态振动稳态振动后，后，方程的解为方程的解为)cos(0 tAx对于一定的对于一定的振动系统，当一定时，位移振幅振动系统，当一定时，位移振幅A随频率随频率而改变。而改变。0F注意注意: :稳态时的稳态时的受迫振动受迫振动与与无阻尼自由振动无阻尼自由振动实质实质有所不同有所不同。令令