第一章--2(矩阵与数值分析)

1、1.3 1.3 向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数 在讨论实数、复数的大小、误差时，将任意的实数变量或复数变量都与一个非负实数 xxfxx（2）齐次性齐次性yxyx （3）三角不等式三角不等式 注意到注意到 满足以下三个性质：满足以下三个性质：xxf)(0 x（1）非负性非负性 当且仅当当且仅当 时时 0 x0 x相联系，用它来度量着变量或误差的大小。把任意一个向量与一个非负实数联系起来，这个非负实数必须能够度量向量的大小。例如,向量的模(长度).设想设想问题问题如何度量一个向量 对另一个向量 的逼近程度?xy巧合巧合向量的模(长度) 也满足三个性质:x（3）三角不等式三角不等式xyxy（2）齐

2、次性齐次性xx（1）非负性非负性 ; ;当且仅当当且仅当 时时, ,0 xx00 x 二、研究向量序列、级数的收敛准则向量范数的主要应用向量范数的主要应用：一、研究向量值误差估计由向量长度的三个性质抽象出的概念就是 向量范数向量范数AR :实数域 C:复数域 nC :n维复向量空间 m nC:nm维复矩阵集合 ( ):A方阵A的谱半径 T:xnR : 维实向量空间 nm nR:nm维实矩阵集合 T:A的转置 的转置 矩阵 向量xH:xH:A的共轭转置 的共轭转置 向量矩阵xA1.3.1 1.3.1 向量范向量范数数0 x （1）非负性非负性 当且仅当当且仅当 时时 x00 xxx（2）齐次性齐

3、次性yxyx （3）三角不等式三角不等式则称函数 为上的一个向量范数nC以及任意复常数( )fxxC,y即对任意向量 和nC( 维复向量空间）上的一个非负，若该函数满足以下三个条件： 定义在实值函数，记为nx定义定义1.41.4常用的向量范数 表示 的模ixix,),(21Tnxxxx向量 inixx1max-范数: -范数:niix11x2-范数:221niixx P -范数:11()1nppipixp x以1-范数为例,验证范数定义中的三个条件。（1）非负性非负性11niixx（2）齐次性齐次性（3）三角不等式三角不等式1111nniiiixxxx1111111()nnnniiiiiiii

4、iixyxyxyxyxy显然显然1-范数和2-范数分别是p-范数在，2时的特例。而-范数是p-范数当 时的极限。事实上,p 111(max)maxnpppppiiii ni nixnxn xxx两边开 次方得p111()npppiixnxx令 ,由夹逼准则,得p pxx例例1 1 求向量 的，2和-范数。3,4,12Tx解解1341219x 222234( 12)13x max3, 4,1212x例例2 2 求向量 的，2和-范数。343Ti,ix解解1343527xiimax34 ,35xii22234325429xii 对于给定的任意一种向量范数xxWW范数可以表为，其加权的它的每一个分量

5、的权系数。,其中 W 为对角矩阵，其对角元便是加权加权1-1-范数为：范数为： 1xxWW1321200030001xxx32123xxx3123( ,),Tx x xCx,20003000133CW例如,对 加权加权2-2-范数为：范数为：2Wxwx2123222149xxx加权向量范数例例 对任给3321),(CxxxTx,试问下列实值函数是否构成向量范数？ ,2. 1321xxx,52. 2321xxx,. 3434241xxx32123. 4xxx答：答：1.1.和2.都不满足非负性条件，不是向量范数；3.不满足齐次性条件，不是向量范数；4. 满足加权向量范数的定义，构成向量范数。1x

6、2x111112x12x1x2x111112221 xx1x2x11111, 1max21xx1, 1max21xx1, 1max21xx121xx121 xx121 xx121xx121 xx向量的，向量的，2 2和和-范数的几何意义范数的几何意义等价范数等价范数。 xxx21cc 则称 和 为 上的 nC定义定义nC设和为上的两种向量范数，使得若存在两个与向量 无关的正常数1,c2,cx1nxxx2nxxx1211nxxx例如，1.3.2 向量范数的等价性定理1.2 上的任意两种向量范数均等价。nC 0detAIA定义定义称如下集合为矩阵称如下集合为矩阵 的谱的谱nnCA称如下实数为矩阵称如下实数为矩阵 的谱半径的谱半径nnCA iim