极坐标和参数方程

1、极坐标和参数方程知识框架命题趋势考查的重点：考查的重点：一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系；一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系；二是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量主二是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量主要考查对方程中各量几何意义的理解，知识面不太广，重要考查对方程中各量几何意义的理解，知识面不太广，重在考查基础知识在考查基础知识一、极坐标的概念1.平面上点的极坐标10 1, 如图所示 在平面上取一定点 ,从 引一条射线,再取定一个单位长度并规定角旋转的正方向(通常以逆时针方向为正),这样就构成了一个标. 点称为点,射线称为轴OOOxOOx极坐系极极.图10-1 极坐标

2、系图形示意Ox,M ,.,.,:,.MOMOMOxOMMMMM 设 为平面上任意一点,连接 , 令 表示从 到 的角 称为点 的极径 称为点 的极角这一对有序实数 与 称为点 的极坐标记作0,0,0,0. 当 时 不论 取什么值 都表示极点.当 时 不论 取什么正值 当 都在极轴上0,02,.MMM 当时 对于平面上任意一点 除极点外都可以找到惟一的一对实数与之对应;反过来,对于任意一对实数 也总可以在平面上找到惟一的一点 与之对应.也就是说,当 和 在上述范围内取值的 平面上的点 除极点外 与实数对之间具有一一对应的关系12340,02,3,3,4.例如,如图10-2所示,当时 点和的极坐标

3、11分别为 3,和 1,而极坐标为和 2,所对应的点626分别是和MMMM1234102,MMMM图 的极坐标1M2M3M4Mx1166234O,.0,103( );0,103( )0,;0,. 由于实际应用的需要 极径 和极角 也可以取负值当时 规定在角 的终边上取点使如图a 所示 当时 则在角 的终边的反向延长线上取点,使如图b 所示;当时 极轴按逆时针方向旋转 当时 极轴按顺时针方向旋转MOMMOM103图 极径 和极角 的不同取值Ox,M 0 0O,M 0 0 x234372,1,3,4,6246104.1例如,点在极坐标系内的位置如图所示MMMM 1234104,MMMM 图 点在极

4、坐 标系内的位置1M2M3M4Mx6234O76y图10-5 点M的极坐标OxM344,3733, 3,3,444113,.,243,MMMk 由此可知,在这样的规定下,对于任意一对有序实数仍然可以在平面上确定惟一的点 , 但是反过来,平面上任意一点却对应着无限多对实数,它们都是这个点的极坐标.例如,图10-5中点 的极坐标可以是一般说来 点 的极坐标可以写为 3,-4或 421,kkZ 其中这种点与坐标之间的非一一对应关系是极坐标不同于直角坐标的地方.,.,00.由于 -可用来表示因此 可将的情形转化为的情形来处理.除非必要, 一般不取负值 2.极坐标和直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是

5、两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示.为了研究问题方便，有时需要把它们进行互化.106,.如图所示 把直角坐标系的原点作为极点 轴的非负半轴作为极轴 并在两种坐标系中取相同单位长度x图10-6 直角坐标系与极坐标系的关系xOy, yx,M x y,.: 设是平面上任意一点,它的直角坐标是 x,y极坐标是显然可知M cossinxy10 110 1 ,.(!) 利用公式可以把点的极坐标化为直角坐标公式借助图形记忆.M,.M 设点 的极坐标为 5,- 求它的直角坐标3例1,:由公式 10-1 可得 55cos,32x5 35sin.32y 解55 3,.22,10 1:

6、于是得点的直角坐标为我们也可以把点的直角坐标化为极坐标由公式变化可得MM222tan0 xyyxx1020,02 .tan,. 为了使点极点除外 的极坐标惟一确定,一般可取在由的值确定 时 应该根据点所在的象限决定恰当的MM,.设点的直角坐标为 1,-1 求它的极坐标M例2 :由公式 10-2 可得22112, 1tan1.1 71, 1,472,.4 因为点在第IV象限,所以于是可得点的极坐标为MM解二、曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程的概念,.,xyxy 在平面上的一条曲线 在直角坐标系中可以用含有 和 的方程来表示同样,在极坐标系中,曲线也可以用含有 和 的方程来表示而且有些曲线在直

7、角坐标系中不容易用 和 的方程表示,但在极坐标系中却可简单地用 和 的方程来表示这就要求我们在解决具体的曲线方程问题时 选择建立恰当的坐标系来得出方程.为了区别这两类曲线方程,我们将曲线在直角坐标系中得出的方程称为标而在极坐标系中得出的方程称为标.直角坐方程,极坐方程利用点的直角坐标与极坐标间的互化公式,可将曲线的直角坐标方程与极坐标方程进行互化.2220. 将等轴双曲线化为极坐标方程xyaa例3,cos ,sin,xy 由公式 10-1 将代入方程 得:22222cossin,a2222cossin.所以 a22cos2,所以a22.cos2即a.这就是所给的等轴双曲线的极坐标方程解2220

8、0.将圆化为极坐标方程xyaxa例4 ,:由公式 10-1 可得 2222cossin2cos0a所以22cos0,a所以02 cos0.或a0,2 cos0 . 因为表示点圆 与已知矛盾 应舍去 所以所求圆的极坐标方程为a0aa解2 sin0,. 将化为直角坐标方程 并作出它的图像aa例52 sin,:a将方程 的两端乘以 得22sin .a又因为222,sin,xyy所以222.xyay即 2220 xyaaa,0,107.caa 显然 这是一个圆心是半径是 的圆 如图所示图10-7 例5题图形xOyc 解 2.极坐标方程的作图 极坐标方程的作图与直角坐标方程、函数的作图一样，都可用描点法

9、.(1)0 ;(2).2a a 作出下列极坐标方程的图像. 例6(1)0 ,;a aaOa 对于方程可以看出当 取任何值时的取值都是 因此方程的图像是以极点 为圆心, 为半径的圆图10-8 1080a a图 例6题(1) 的图像xOaa,0a解(2),2,2. 对于方程可以看出当 取任何值时的取值都是因此方程的图像是通过极点且垂直于极轴的直线图10-9OBA1092图 例6题(2) 图形xO22AB,. 在极坐标系中 有时方程的形式简单 但所表示的曲线却比较复杂如果只用描点法,则需要求出曲线上相当多的点,才能画出整个曲线.为了作图的方便,我们先来了解曲线对称性.31411,10 10 ,;,2

10、.12 设是极坐标系中任意一点 图是关于极点的对称点是关于极轴的对称点;是关于直线的对称点MMMMMMM 图10-10 极坐标系中的对称关系xO21,M 2,M3,M 4,M ,由以上点的对称关系 可得到曲线的对称关系见表10-1.f = f线对称关表10 -1 曲的系以代替 ,方程不变以代替 ,方程不变曲线关于极点对称曲线关于极轴对称 以- 代替 ,同时以-代替 ,方程不变曲线关于 =对称21 cos0.作出方程的图像aa例7 coscos ,. 因为-所以用- 代替方程不变 因此这方程表示的曲线是关于极轴对称的 0.将与 的对应值列表如下 表10-20对应表10 - 2 与 的值0060.

11、13a40.29a30.5a2a231.5a341.71a561.87a2a解 依照上表作出各点并连成光滑的曲线,再根据对称性就可作出所给方程的全部图像(图10-11),这曲线称为心形线.图10-11 心形线xO23462334562a3.极坐标方程的建立 ,. 我们知道曲线可以看成是适合某种条件的点的轨迹.如果在极坐标系内用流动坐标将满足的条件表示成一个关系式则这个关系式就是曲线的极坐标方程f 0,.A aa 求经过点,0 且而和极轴垂直的直线的极坐标方程例8 10-12,.,2MOMOMAOMaOAM 如图所示,设是直线上任意一点.连接,则=又因为所以有cos 即 cos a.这就是所求直

12、线的极坐标方程图10-12 例8图形xO,0A a,M 解 设有一圆经过极点 ,圆心 在极轴上,半径为 ,求它的极坐标方程.OCa例9,10 13 ,2 ,2cos,2MOMMAOMAOMOMAOAaa 设 是圆上任意一点 图连接 及 则 因为 所以 即 2 cosa, 这就是所求圆的极坐标方程 它与例4所化成的极坐标方程一致.图10-13 例9图形xO,M AC解 *4.等速螺线及其方程 当一个动点沿着一条射线做等速运动，而射线又绕着它的端点做等角速旋转时，这个动点的轨迹叫做等速螺线（阿基米德螺线）.下面我们来建立等速螺线的极坐标方程.0010 14,.,0 ,.lOOxMMllO 如图所示

13、 以射线 的端点为极点 射线的初始位置为极轴 设曲线上动点M的坐标为 动点在初始位置 的坐标为 在 上运动的速度为 绕 转动的角速度为,t,M 可以得出 经过时刻 点的极径为:0t图10-14 等速螺线的极坐标系xO00,0M,M l:极角为t由于t所以0,:令得a00,0 .为常数 且aaa.这就是等速螺线的极坐标方程00,.,. 如果即动点由极点 开始运动,那么这时 极径 与极角 成正比MOa0.下面我们来作等速螺线的图像aa,.2 在方程中,以- 代替同时以代替方程不变 所以曲线关于直线对称0103 .将与 的对应值列表如下 表 0 对应表10 - 3 与 的值,0,0,.10310 1

14、5,.a由上表取值可以看出当 时 所以曲线由极点开点 又当 增大时 也随之增大, 每转一圈增加 2 , 也相应增加 2 依照表可作出曲线如图所示 图中虚线表示 为负值 时的曲线 004a42a234a34a54a5432a3274a742 a2图10-15 等速螺线OxABCD如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由和两段曲线组成. 为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心 与 点的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求:段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm;当从动杆接触到轮廓线上点 时,由于弹簧的作用从动杆就向左移动到 ,开始与凸轮的段相接触,从动杆接触段时不动,试

15、求凸轮的轮廓线段和段的极坐标CDEABCCOCCDEEAABCABCABCCDE例10 方程.图10-16 例10图形10010OABCEDOOC 取凸轮轴心 为极点,以 为极轴,建立极坐标系. 因为CDE段的作用是将凸轮的等角速转动化为从动杆的等速直线运动,故曲线为等速螺线,设CDE段的极坐标方程为0a100,0110,., 由于点和在曲线上 因此这两点的坐标都满足上述方程把它们分别代入方程 得下列方程组:CE00,100=110=a:解此方程组得010100,.a解:所以段的极坐标方程为CDE10100,0, ,100,:又因为从动杆接触段时不动 故段应为半径等于圆心在极点的圆弧 它的极坐

16、标方程为ABCABC100,2知识梳理极轴极轴极坐标系极坐标系极径极径极角极角极坐标极坐标2x2y22acos要点探究 探究点探究点1平面直角坐标系中图象的变换平面直角坐标系中图象的变换 【思路思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中心在原点的椭圆，再通过伸缩变换化为中心在原点的单位心在原点的椭圆，再通过伸缩变换化为中心在原点的单位圆圆 【点评】【点评】本题设计的目的是考查平面直角坐标系中图象本题设计的目的是考查平面直角坐标系中图象的变换的基本应用意在通过曲线图象的变换，的变换的基本应用意在通过曲线图象的变换， 来表示对应来表示对应的坐标伸缩变换对于伸

17、缩变换下图象对应的方程变化也是的坐标伸缩变换对于伸缩变换下图象对应的方程变化也是应该掌握的，但在本讲中只作了解应该掌握的，但在本讲中只作了解. 【思路思路】通过坐标变换求出曲线的变换方程通过坐标变换求出曲线的变换方程 【点评】【点评】曲线的伸缩变换和平移变换在具体解题时往往要综曲线的伸缩变换和平移变换在具体解题时往往要综合使用，两个步骤的变换，变换的顺序不同，变换的大小是不一合使用，两个步骤的变换，变换的顺序不同，变换的大小是不一样的，通过实例比较加以区别样的，通过实例比较加以区别 探究点探究点2极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 【思路思路】利用极坐标和直角坐标的互化公式把极坐利用

18、极坐标和直角坐标的互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程标方程化为直角坐标方程. 【点评】【点评】 极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用：条件才能使用：(1)原点和极点重合；原点和极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；轴正半轴与极轴重合；(3)两坐标系中长度单位相同极坐标和直角坐标的互化中，更两坐标系中长度单位相同极坐标和直角坐标的互化中，更要注意等价性，特别是两边同乘要注意等价性，特别是两边同乘n时，方程增加了一个时，方程增加了一个n重解重解0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解 探究点

19、探究点3极坐标方程的求解极坐标方程的求解 【答案答案】 1020cos 【点评】【点评】求曲线的极坐标方程，关键就是找出曲线上的点满求曲线的极坐标方程，关键就是找出曲线上的点满足的几何条件，将它们用极坐标表示，通过解三角形得到当然，足的几何条件，将它们用极坐标表示，通过解三角形得到当然，直角坐标系中轨迹方程的求解方法，对极坐标方程的求解也适用，直角坐标系中轨迹方程的求解方法，对极坐标方程的求解也适用，如直译法、定义法、动点转移法等如直译法、定义法、动点转移法等 【思路思路】 先把圆先把圆C的参数方程化为直角坐标方的参数方程化为直角坐标方程，然后在所建的极坐标系中构造三角形程，然后在所建的极坐标

20、系中构造三角形图图722 【点评】【点评】本题中极坐标极点与直角坐标系的原点不重合，本题中极坐标极点与直角坐标系的原点不重合，不能用极坐标与直角坐标的互化公式求解，这是同学解题时易犯不能用极坐标与直角坐标的互化公式求解，这是同学解题时易犯的错误，的错误， 探究点探究点4简单的极坐标方程的应用简单的极坐标方程的应用 【思路思路】有两种解题思路，一是在极坐标系下联立方有两种解题思路，一是在极坐标系下联立方程组求解，另一种方法是化为直角坐标方程求解程组求解，另一种方法是化为直角坐标方程求解 【答案答案】 【点评】【点评】本题有两种解法，一种是在极坐标系下，结合图形本题有两种解法，一种是在极坐标系下，

21、结合图形求解；另一种是先化成直角坐标，然后在直角坐标系下求解由极求解；另一种是先化成直角坐标，然后在直角坐标系下求解由极坐标方程解决的问题，若不好处理，就直角坐标化；由直角坐标给坐标方程解决的问题，若不好处理，就直角坐标化；由直角坐标给出的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化出的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化. 【思路思路】 (1)利用直角坐标与极坐标的互化公式；利用直角坐标与极坐标的互化公式；(2)设极坐标求解设极坐标求解 【点评】【点评】本题在处理过椭圆中心的弦长时，用极坐标方法本题在处理过椭圆中心的弦长时，用极坐标方法比直角坐标方法要简便的多比直角坐标方法要简便的多

22、. 探究点探究点5柱坐标和球坐标的应用柱坐标和球坐标的应用 【答案答案】 规律总结参 数 方 程一、参数方程的概念先来看下面的一个例子.,.0 以初速度并与水平面成 角发射炮弹 若不计空气的阻力求炮弹运动的轨迹方程10 17,0.,.,0 如图所示 建立直角坐标系 设点为炮弹在运动中的任意一位置,可以看出,要用 和 之间的直接关系来表示炮弹运动的轨迹方程是比较困难的但是我们知道 炮弹运动的轨迹是由炮弹在各个时刻的位置所决定的.下面就来分析炮弹在任意位置的坐标 和 分别与时刻 之间的关系.如果不考虑地心引力,则经过时刻 ,炮弹运动到 ,于是=但事实上炮弹受地心引力的影响 不在点 而在点M x y

23、xyf x,yxyttTOTtTM2.1cos ,sin,:200由于点的横坐标为纵坐标为因此我们就以方程组Mttgt12cos01sin2xtttytgt 00 ，2111,.0,.0,.gtttM x yttM x y来表示炮弹运动的轨迹方程 其中 是重力加速度 g=9.8m/s是炮弹落地的时刻对应于 的每一个值 就确定了炮弹相应的每一个位置因此 在上连续变化时就描出了炮弹运动的轨迹图10-17 炮弹运动规律的轨迹OxyTQ0cosv t0sinv t0v t,M x y,:从这个例子可以看出曲线上动点的轨迹可以用流动坐标 和 分别与另一个变量 的一组方程M x yxyt 103xx ta

24、tbyy t ， . !.来表示参数方程一般形式, 同样 在极坐标系中曲线上的动点的轨迹可以用流动坐标 和 分别与另一个变量 的一组方程Mt 10-4ttt ， .来表示 方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲线的参数方程.变量t叫做参数. 在用参数方程表示曲线时，方程中的参数不一定是时间，也可以是其他的量，应当根据问题的具体条件适当地选定. 为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.二、参数方程的作图在所给曲线的参数方程 x= x tatby= y t ，,中 先给参数t以某些可能取的值,求出x和y的对应值,这样就确定了曲线上的点,将

25、这些点连成光滑的曲线,就是参数方程的图像.作出参数方程例1 x=tt y= t2，-+2.的图像.tt,xy 这里 可以取一切实数.将 和 的对应值列表如下 表10-4 解t,x, y对应表表10- 4 的10- 4 的值值txy 描点作图时,可以不管表里第一行 的数值,只需根据 和的值,就可以确定点的位置,图10-18就是所给参数方程的图像.210182x tyt=图 参数方程的图像Oxy24yxtxy396244112000112443962三、化曲线的参数方程为普通方程曲线的参数方程： x= x tatby= y t ，.是通过参数 来间接表示 与 之间的关系如果从这两个方程能消去参数

26、,那么就得到表示 与 间的直接关系的普通方程.例如,上面所述的炮弹运动的参数方程可以化为普通方程.txytxy已知炮弹运动的参数方程为:12cos01sin2x=tttytgt 00，105106105,:从式解出 得tcos0 xt106 ,:代入式得21sincos2cos000 xxyg化简得222tan2cosgyxx0.这就是炮弹运动轨迹的普通方程这个方程的右边是x的二次式,轨迹是抛物线,抛物线的名称就是由此而来的.把参数方程例2 2sin,cosxttyt=为参数=107108,.化为普通方程 并说明它表示什么曲线将式 10-7 两边平方,得: 22sin10-9xt 109:再将

27、式与式 10-8 两边相加得222sincos1.xytt:得普通方程21xy即2 1-y=x2,0,1 ,.cos,显然 它的图像是抛物线 顶点在对称轴为 轴 开口向下由于恒为正值或零 故参数方程的图像仅为 轴上方的部分,如图10-19所示.yytx解2222,0,1,sec,sectanF x yx yxyxat tabxaty=bt 与曲线的参数方和化为普通方程的情况相反 若已知曲线的普通方程并给出某指定参变量分别与的函数关系 则曲线的普通方程也可化为参数方程.例如,已知双曲线设是参数将代入双曲线的普通方程,可得,因此:sectanx= aty=bt 就是所给双曲线的参数方程.(!参数方

28、程是否一定可化为普通方程?反之呢?)2sin1019cosx =ty =t图 参数方程的图像11Oxy10,1四、曲线参数方程的建立,txyt 建立曲线的参数方程 除去由曲线的普通方程化为参数方程以外,通常是把曲线看作动点的轨迹,选取适当的参数 ,使曲线上点的流动坐标 与 或 与分别用与参数 的关系式来表示,下面我们来介绍一些常见曲线的参数方程.1.椭圆的参数方程22221.,.,:xyM x,yababa, bMMAxAAOAAOxt 设是椭圆上的任意一点.以原点为圆心,分别以 为半径作两个辅助圆 图10-20过 作直线 垂直于 轴 垂足为 交大辅助圆于 连接 设则图10-20 辅助圆作法示

29、意OxyBBtAAMcos .,:sin .代入上述椭圆方程 得xOAatyA Mbt因此cossinx= atty=bt ，-这是所给椭圆的参数方程.参数 叫做椭圆上点的偏心角 或离心角tM当时,a=b即得到圆的参数方程为：cossinx= atty= at ，-,1021 .atM x,yOMx它的圆心在原点 半径为 , 其中参数 通过圆上动点 半径 与 轴的正半轴所成的角 图2.圆的渐开线的参数方程1022, 如图所示 把一根没有伸缩性的绳子绕在一个固定的圆圈上,然后在绳子的端点处将绳子拉紧并逐渐拉开(这时绳的拉直部分和圆保持相切),这时绳子的端点的轨迹叫做圆渐开线,这个圆叫做渐开线圆M

30、M的的基.x = aty = atcos图10-21 参数方程的图像sinOxyxtay,P x y图10-22 圆的渐开线OxytrtNADMBC 下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线的参数方程.(1)O,r,A.OOAx 直角坐标参数方程 如图10-22所示,设基圆的圆心为半径为 绳子全部绕在圆圈上时,端点为 取 为原点,过 的直线为 轴,建立直角坐标系.M x,yBMOBBOx=tBM = BA= rt 设是渐开线上任意一点, 是切线,连接 ,取 为参数.由渐开线的定义,得 ,.作轴,轴,则于是点的坐标为MDxBNxMCBNMBCtM,x=OD=ON+ND=ON+CM,y=

31、 DM = NC= NB-CBcossinON = rt,NB= rt.因为sinsin ,coscosCMBMtrtt CBBMtrtt所以 cossinsincosx= rt+rttty= rt rtt，为参数-这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.(2),.OAMBMOBBOM =tBM = BA= rt 极坐标参数方程 如图10-23所示,取基圆的圆心 为极点,使极轴通过 点,建立极坐标系.设 为渐开线上任意一点 是基圆的切线,连接 、 ,取为参数.由渐开线的定义,得 ,在直角三角形中OBM,tancosrBMrtttan ,tan.所以即rtrttt于是得到圆的渐开线的极坐标参数方程为

32、:costanrttt1023,0.2,.由图可知 极角 和极径都是随着 的变化而变化的 参数的取值范围是用圆的渐开线作齿形曲线时, 叫做压力角.它的大小和点的位置有关,愈大点离轮心愈远压力角也愈大ttttMM 图10-23 极坐标系中圆的渐开线xAOB,M tr3.摆线的参数方程.rM 设有一半径为 的圆,在一直线上滚动而无滑动.当圆滚动时,圆周上定点的轨迹叫做摆线或轮线 下面我们来建立它的方程旋1024,.,.,.:,.,sin ,cos ,xMCxAMx yMBACMCBtMxODOADAOAMByDMACBCOA= AMrt ACr MBrtBCrt 如图所示 取定直线为 轴 圆开始滚动时 点的位置为原点设圆在运动中任一位置时圆心为 并与 轴相切于 点 圆上的定点 的坐标为作 为参数于是得点 的坐标为因为所以sin1 cosxr ttt xt tMrrtM图10-24 摆线xOytMDABCrrr2 r知识梳理参数方程参数方程参变数参变数参数参数普通方程普通方程要点探究 探究点探究点1曲线的参数方程曲线的参数方程 【思路思路】把参数方程化成普通方程，在直角坐标系下把参数方程化成普通方程，在直角坐标系下求解圆心到直线求解圆心到直线l的距离的距离 【思路思路】当小圆上的定点从当小圆上的定点