弹性力学 空间问题的基本理论

1、弹性力学空间问题的基本理论空间问题的基本理论第七章第七章合肥工业大学本科生教学合肥工业大学本科生教学弹性力学弹性力学主讲教师：袁海平主讲教师：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)弹性力学一、平衡微分方程一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程例题例题第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的基本理论3 在空间问题中，应力

2、、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。平衡微分方程平衡微分方程一一弹性力学空间问题的基本理论4取出微小的平行六面体，取出微小的平行六面体， ，zyxvdddd 考虑其考虑其平衡条件平衡条件: , 0 xF,0yF; 0zF, 0 xM, 0yM. 0zM平衡微分方程平衡微分方程一一弹性力学空间问题的基本理论5 由由x 轴向投影力的轴向投影力的平衡微分方程平衡微分方程可得可得 因为因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为轴互相垂直，均

3、为定向，量纲均为L，所，所以以 x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性对等性。000yxxzxxyzyxyyyzxzzzfxyzfyzxfzxy 平衡微分方程平衡微分方程一一弹性力学空间问题的基本理论6 由3个力矩方程得到3个切应力互等定理切应力互等定理， 空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量。)dd(dzyxyxxyxzzxzyyz平衡微分方程平衡微分方程一一弹性力学一、平衡微分方程一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及

4、物理方程五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程例题例题第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的基本理论8 在空间问题中，同样需要解决：由直在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量角坐标的应力分量 ，来求出斜，来求出斜面面( (法线为法线为 ）上的应力。）上的应力。xyzn物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态二二弹性力学空间问题的基本理论9 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：(,).xyzppppp沿坐标向分量： p沿法向和切向分量：(,).nnp物体内任一点的应力状

5、态物体内任一点的应力状态二二弹性力学空间问题的基本理论10 取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。 由四面体的力平衡条件可得1. 求),(zyxppppxxxyzxyyzyxyzzxzyzplmnpmnlpnlm物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态二二弹性力学空间问题的基本理论112. 求),(nnp将),(zyxpppp向法向 投影，即得zyxnnpmplp222222 . (b)xyzyzzxxyl m n mnnllm,222222nnzyxpppp22222 . (c)nxyznpppn得由物体内任一点的应力状态

6、物体内任一点的应力状态二二弹性力学空间问题的基本理论12 设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而得出空间空间问题的应力边界条件问题的应力边界条件:3. 在 上的应力边界条件s,zyxfffs),(zyxppp),(zyxfff()()()xxyzxsxyzyxysyzxzyzszlmnfmnlfnlmf物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态二二弹性力学一、平衡微分方程一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理

7、方程四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程例题例题第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的基本理论141.1.假设 面(l , m , n)为主面，则此斜面上n . , 0pnn斜面上沿坐标向的应力分量为： zyxppp,. , ,npmplpzyx代入 , 得到：主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题的基本理论15考虑方向余弦关系式，有. 1222nml 结论：式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b),(a ).xyx

8、zxyzyxyzxzyzlmnlm nlm nlmn主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题的基本理论162. 求主应力求主应力 将式(a)改写为：。0)(, 0)(, 0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题的基本理论17 上式是求解上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于的齐次代数方程。由于l , m , n不全为不全为0，所以其系数行列式必须为零，得，所以其系数行列式必须为零，得, 0zyzxzzyyxyzxyxx展开，即得求主应力的方程求主应力的方程, 32222()(

9、)xyzy zz xx yyzzxxy . 0)2(222xyzxyzxyzzxyyzxzyx( c )主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题的基本理论183.3.应力主向 设主应力 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理后得1111,nml1111111111()0, (d)()0.yxzxxyzyxymnllmnll主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题的基本理论19由上两式解出 。然后由式(b)得出1111,lnlm12211111.(e)1()()lmnll再求出 及 。1m1n4. 4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力一点

10、至少存在着三个互相垂直的主应力321,（证明见书上）。主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题的基本理论205.5.应力不变量应力不变量 若从式(c) 求出三个主应力 ，则式(c)也可以用根式方程表示为，123()()()0 . (f) 因式(c) 和( f )是等价的方程，故 的各幂次系数应相等，从而得出：321,主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题的基本理论211123212233122231232222.xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy , , (g)主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三

11、三弹性力学空间问题的基本理论22 所以分别称 为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。 式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。 321,主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题的基本理论236.6.关于一点应力状态的结论：关于一点应力状态的结论： 6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学空间问题

12、的基本理论24(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量.321,(5) 最大和最小切应力为 ，作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。 13.2321 设主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三弹性力学一、平衡微分方程一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程例题例题第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明

13、教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的基本理论26 空间问题的几何方程，空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出： (a)xuxyvyzwzyzwvyzzxuwzxxyvuxy几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四弹性力学空间问题的基本理论27 从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系： 若位移确定，则形变完全确定。若位移确定，则形变完全确定。 从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四弹性力学空间问题的基本理论28-沿x , y , z 向的刚体平移； 若形变确定，则位移不完全确定。若形变确定，则位移不完全

14、确定。 由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若 ，还存在对应的位移分量，为：0yzx),(zyx 0,yzuuzy( , , ; , , ).x y z u v w(b)000,wvuzyx,-绕x , y , z轴的刚体转动。几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四弹性力学空间问题的基本理论29 若在 边界上给定了约束位移分量 ，则空间问题的位移边界条件为：空间问题的位移边界条件为： uswvu,( ),suu( , , ).u v w( c )几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四弹性力学空间问题的基本理论30zyxzyxzzyyxxzyxdddddd)d)(dd)(dd(d1)

15、1)(1)(1 (zyx.zyx(d) 其中由于小变形假定，略去了形变的其中由于小变形假定，略去了形变的2 2、3 3次幂。次幂。体积应变体积应变定义为： dvdvvd几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四弹性力学空间问题的基本理论31空间问题的物理方程空间问题的物理方程 应变用应力表示，用于按应力求解方法：应变用应力表示，用于按应力求解方法：),(1zyxxE2(1),yzyzE( x ,y ,z ). (e)可表示为两种形式：几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四弹性力学空间问题的基本理论32 应力用应变表示，用于按位移求解方法：应力用应变表示，用于按位移求解方法：),21(1xxE,

16、(1)yzyzE (x ,y , z). ( f )由物理方程可以导出,21E（g） 是第一应力不变量，又称为体积应力。21 E-称为体积模量。几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四弹性力学空间问题的基本理论33 空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论：几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四弹性力学一、平衡微分方程一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力

17、四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程例题例题第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的基本理论35 空间轴对称问题空间轴对称问题 采用柱坐标 表示。(,)z 如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五弹性力学空间问题的基本理论36 对于对于空间轴对称问题：空间轴对称问题：应力中只有应力中只有,zz。0; 0; 0uzz(a)形变中只有形变中只有,zz位移中

18、只有位移中只有,zuu所有物理量仅为所有物理量仅为( (,z,z) )的函数。的函数。轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五弹性力学空间问题的基本理论37而由, 0F得出为 。 0, 0, (b)0, 0.zzzzZzFfzFfz平衡微分方程：平衡微分方程：轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五弹性力学空间问题的基本理论38 几何方程几何方程：其中, 00zu，几何方程为, , , (c)zzzzuuuzuuz。轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五弹性力学空间问题的基本理论39物理方程：物理方程：应变用应力表示：应变用应力表示：。，（zzZEzE)1 (2),)(1(d)轴

19、对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五弹性力学空间问题的基本理论40 应力用应变表示：应力用应变表示：(), , ),112 (e).2(1)zzEzE ，（其中。zuuuzz轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五弹性力学空间问题的基本理论41边界条件：边界条件： 一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。 在柱坐标中，坐标分量 的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。z ,轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五弹性力学一、平衡微分方程一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态三、主应力三、主应力

20、最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程例题例题第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的基本理论43例题 1设物体的边界面方程为 试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力 应力边界条件是什么形式？, 0),(zyxF),(zyxq例题例题六六弹性力学空间问题的基本理论44,/ kFnxx（x, y, z)，其中1 / 2222,.xxyzFFxkFFF 解：当物体的边界面方程为 时，它的表面法线的方向

21、余弦 为zyxnnn,0),(zyxF例题例题六六弹性力学空间问题的基本理论45当面力为法向分布拉力q时，,xflq(x, y, z).因此，应力边界条件为 , ().xxyxyzzxxsFFFF qx,y,z代入应力边界条件，得 ,xxyyxzzxsxF F F kf(x, y, z).例题例题六六弹性力学空间问题的基本理论46例题2 试求图示空间弹性体中的应力分量。 (a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。 (b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。例题例题六六弹性力学空间问题的基本理论47qqooxxzz例题例题六六弹性力学空间问题的基本理论