方差---湘教版七年级数学下册

1、湘教版七年级下册湘教版七年级下册有两个女声合唱队，各由有两个女声合唱队，各由5名队员组成，她们的名队员组成，她们的身高为（单位：厘米）：身高为（单位：厘米）：甲队：甲队：160，162，159，160，159乙队：乙队：180，160，150，150，160.如果单从队员的身高考虑，哪队的演出效果好？如果单从队员的身高考虑，哪队的演出效果好？不难算出每个队的平均身高都是不难算出每个队的平均身高都是160160厘米，但甲队身高波动小，乙队身高厘米，但甲队身高波动小，乙队身高波动大，单从身高考虑，甲队比较整波动大，单从身高考虑，甲队比较整齐，演出的效果会好一些齐，演出的效果会好一些 一组数据中的数

2、与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要一组数据中的数与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的特征，它反映了一组数据的分散程度分散程度 如何反映一组数据与其平均数的偏离程度？给定一组数据：如何反映一组数据与其平均数的偏离程度？给定一组数据：3，3，4，6，8，9，9，其平均数是，其平均数是679986433这组数据中的每个数与平均数这组数据中的每个数与平均数6的偏差是：的偏差是：363363264066268369369将各个数与平均数的偏差相加，能否得到总偏差？将各个数与平均数的偏差相加，能否得到总偏差？ 03320233相加的结果为相加的结果为0，不能反映总

3、偏差，不能反映总偏差，这是因为偏差有正有负，相加时正负这是因为偏差有正有负，相加时正负相消，因而不能反映总偏差相消，因而不能反映总偏差你用什么方法可以反映总偏差的大小？你用什么方法可以反映总偏差的大小？但在今后的计算中，绝对值用起来不方便其实，一个但在今后的计算中，绝对值用起来不方便其实，一个数的绝对值是非负的，一个数的平方也是非负的；并且数的绝对值是非负的，一个数的平方也是非负的；并且绝对值较大的数，它的平方也较大，因此这组数据的每绝对值较大的数，它的平方也较大，因此这组数据的每一个数与平均数的差的平方也能反映这个数与平均数的一个数与平均数的差的平方也能反映这个数与平均数的偏离程度偏离程度不

4、如先将各数与平均数之差平方，然后再相加，就不会不如先将各数与平均数之差平方，然后再相加，就不会出现正负相消的情况出现正负相消的情况：443320233222222可以考虑先取绝对值再相加可以考虑先取绝对值再相加 一组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的一组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的平均值，称为这组数据的平均值，称为这组数据的方差方差744例如，上面所给的一组数据的方差是例如，上面所给的一组数据的方差是我们将上面计算方差的过程用下面的表格来表示：我们将上面计算方差的过程用下面的表格来表示：数据编号数据编号1234567数据数据3346899平均数平均数(3+3+4+6+8+9+9) 7

5、=6偏差偏差3320233偏差的平方偏差的平方9940499偏差平方和偏差平方和9+9+4+0+4+9+944方差方差744744 计算前面的实例中甲、乙两个女声合唱队各队队员身高的方差，并计算前面的实例中甲、乙两个女声合唱队各队队员身高的方差，并说明计算结果的实际意义说明计算结果的实际意义516015916016016015916016216016022222120501010020222222 . 151012022222乙队队员身高的方差是：乙队队员身高的方差是：516016016015016015016016016018022222 计算的结果表明：乙队队员身高的方差比甲队队员身高的方

6、差大得多，计算的结果表明：乙队队员身高的方差比甲队队员身高的方差大得多，即乙队中各队员的身高与她们的平均身高的偏差大，而甲队中各队员的身即乙队中各队员的身高与她们的平均身高的偏差大，而甲队中各队员的身高与她们的平均身高的偏差小，这说明乙队的队员高的高，矮的矮而甲队高与她们的平均身高的偏差小，这说明乙队的队员高的高，矮的矮而甲队队员的身高比较整齐队员的身高比较整齐解解甲、乙两队中，每队队员的平均身高都是甲、乙两队中，每队队员的平均身高都是160厘米，甲队队员身高的方差是：厘米，甲队队员身高的方差是：方差反映的是一组数据哪个方面的特征？方差反映的是一组数据哪个方面的特征？方差反映的是一组数据方差反

7、映的是一组数据与其平均数的偏离程度，与其平均数的偏离程度，方差越小，数据越集中；方差越小，数据越集中；方差越大，数据越分方差越大，数据越分散散5名女篮球队员的身高为（单位：厘米）名女篮球队员的身高为（单位：厘米）193 182 187 174 189试求出这组数据的方差，并说明其具体含义试求出这组数据的方差，并说明其具体含义厘米185518917418718219351851891851741851871851821851932222242.8方差是每个队员的身高与她们的平均身高的偏差的平方的平均值，它涉及方差是每个队员的身高与她们的平均身高的偏差的平方的平均值，它涉及数据组中的每个数据，反映

8、了数据组与其平均数的偏离程度数据组中的每个数据，反映了数据组与其平均数的偏离程度平均身高：平均身高：方差：方差：解解1.一个小组有一个小组有8名同学，分别测量同一根绳名同学，分别测量同一根绳子的长度，测得的数据如下（单位：厘米）子的长度，测得的数据如下（单位：厘米）108.5， 110， 109.3108.9110.8 110.5 109.4 109.2（1）如何确定这根绳子的长度的近似值？）如何确定这根绳子的长度的近似值？（2）如何评价测量结果的准确程度？）如何评价测量结果的准确程度？2.一组数据的方差为一组数据的方差为0，这组数据，这组数据有什么特点？方差可以是负数吗？有什么特点？方差可以

9、是负数吗？为什么？为什么？一组数据的平均数表示这组数据的一般水平一组数据的平均数表示这组数据的一般水平或数据的集中位置，一组数据的方差是各数或数据的集中位置，一组数据的方差是各数据相对于它们的平均数的偏差的平方的平均据相对于它们的平均数的偏差的平方的平均数，方差的意义在于：它反映了一组数据的数，方差的意义在于：它反映了一组数据的分散或波动的程度分散或波动的程度 棉花纤维的平均长度是评价棉花质量的一个重要指标，但不棉花纤维的平均长度是评价棉花质量的一个重要指标，但不是唯一的指标纤维越长的棉花纺成棉纱质量越好，用来制成是唯一的指标纤维越长的棉花纺成棉纱质量越好，用来制成的棉织制品的质量也越好但如果

10、一批棉花的纤维长的长、短的棉织制品的质量也越好但如果一批棉花的纤维长的长、短的短，参差不齐，并不是好棉花，反之，纤维长度比较均匀、的短，参差不齐，并不是好棉花，反之，纤维长度比较均匀、整齐，才是质量好的棉花，棉花纤维的长度是否均匀，可以用整齐，才是质量好的棉花，棉花纤维的长度是否均匀，可以用方差来反映：方差越小，各种长度的纤维之间差别越小，棉花方差来反映：方差越小，各种长度的纤维之间差别越小，棉花的质量越好和纤维的平均长度一样，方差也是评价一批棉花的质量越好和纤维的平均长度一样，方差也是评价一批棉花质量的重要指标质量的重要指标质质 量量 评评 估估如何评价一批棉花的质量？如何评价一批棉花的质量

11、？用加权平均计算棉花纤维长度的平均数：用加权平均计算棉花纤维长度的平均数：85. 435. 064 . 0525. 03用加权平均计算棉花纤维的方差：用加权平均计算棉花纤维的方差：3275. 135. 085. 464 . 085. 4525. 085. 43222答：这批棉花纤维的平均长度为答：这批棉花纤维的平均长度为4.85厘米，其方差为厘米，其方差为1.3275厘米厘米2纤维长度纤维长度3厘米厘米5厘米厘米6厘米厘米所占比率所占比率25%40%35%有一批棉花，其各种长度的纤维所占比例如表所示：有一批棉花，其各种长度的纤维所占比例如表所示：试求这批棉花纤维的平均长度与方差试求这批棉花纤维

12、的平均长度与方差解解 一台机床生产一种圆柱形零件，按设计要求，圆柱的直径为一台机床生产一种圆柱形零件，按设计要求，圆柱的直径为4040毫米由于毫米由于生产条件的限制和一些不确定的因素的影响，生产出来的每个零件的直径不生产条件的限制和一些不确定的因素的影响，生产出来的每个零件的直径不可能恰好都是可能恰好都是4040毫米，而是在毫米，而是在4040毫米的上、下波动显然，在正常生产的条毫米的上、下波动显然，在正常生产的条件下，这种波动的程度不能太大，以保证零件的直径合乎设计要求件下，这种波动的程度不能太大，以保证零件的直径合乎设计要求生产过程的控制生产过程的控制 我们知道，数据的波动程度可以通过方差

13、来反映，为了保证生产正常，我我们知道，数据的波动程度可以通过方差来反映，为了保证生产正常，我们可以通过测量产品直径的方差对生产过程进行监控：例如，每隔一段时们可以通过测量产品直径的方差对生产过程进行监控：例如，每隔一段时间从这段时间生产的产品中任意地取出间从这段时间生产的产品中任意地取出10件，测量它们的直径得到一组数件，测量它们的直径得到一组数据，计算出这组数据的方差，如果方差不超过预定的数量，则认为生产正据，计算出这组数据的方差，如果方差不超过预定的数量，则认为生产正常；否则，应对生产过程进行调整以恢复正常，保证产品质量常；否则，应对生产过程进行调整以恢复正常，保证产品质量8:309:30

14、4039.840.140.239.94040.240.239.839.810:0011:00404039.94039.940.24040.14039.9 对于我们的问题，根据以往的经验，在正常生产时直径的方差应对于我们的问题，根据以往的经验，在正常生产时直径的方差应不超过不超过0.010.01毫米毫米2 2，下表是某日，下表是某日8:308:309:309:30及及10:0010:0011:0011:00两个时两个时段中各任意抽取段中各任意抽取1010件产品量出的直径的数值（单位：毫米）：件产品量出的直径的数值（单位：毫米）：用计算器可以算出两组数据的平均数都是用计算器可以算出两组数据的平均数

15、都是4040（毫（毫米），能否根据平均长度等于设计长度就判断生米），能否根据平均长度等于设计长度就判断生产正常呢？产正常呢？如何对生产情况作出评价？如何对生产情况作出评价？虽然产品直径的平均长度等于设计长度，虽然产品直径的平均长度等于设计长度，但每件产品的直径还是可能在平均数的上、但每件产品的直径还是可能在平均数的上、下波动，偏离平均数，所以还应该进一步下波动，偏离平均数，所以还应该进一步考察方差，以了解数据波动的情况考察方差，以了解数据波动的情况8:308:309:309:30生产的生产的1010件产品的直径的方差是件产品的直径的方差是0.0260.026，远，远远超过远超过0.010.01的界限，故生产情况不正常；经过调整后，的界限，故生产情况不正常；经过调整后，在在10:0010:0011:0011:00生产的生产的1010件产品的直径的方差为件产品的直径的方差为0.0080.008，已控制在已控制在0.010.01的范围内，说明生产过程已恢复正常的范围内，说明生产过程已恢复正常1.某企业对员工的工资情况进行调查，他们将某企业对员工的工资情况进行调查，他们将月工资分为月工资分为800元、元、1000元、元、1500元三个等级，元三个等级，每个等级职工人数占职工总数的比例分