第二章电路的基本分析方法

1、第第2 2章章 电路的基本分析方法电路的基本分析方法l 电阻电路电阻电路仅由电源和线性电阻构成的电路仅由电源和线性电阻构成的电路l 分析方法分析方法（1 1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分）欧姆定律和基尔霍夫定律是分 析电阻电路的依据；析电阻电路的依据；（2 2）等效变换的方法）等效变换的方法, ,也称化简的方法也称化简的方法2. 1 电阻的串、并联等效变换电阻的串、并联等效变换 任何一个复杂的电路任何一个复杂的电路, , 向外引出两个端钮，且从一向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为二端网络电路为二端网络

2、( (或一端口网络或一端口网络) )。1. 1. 两端电路（网络）两端电路（网络）无无源源无无源源一一端端口口2. 2. 两端电路等效的概念两端电路等效的概念 两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系, ,则称则称它们是等效的电路。它们是等效的电路。iiB+-uiC+-ui等效等效对对A电路中的电流、电压和功率而言，满足电路中的电流、电压和功率而言，满足BACA明明确确（1 1）电路等效变换的条件）电路等效变换的条件（2 2）电路等效变换的对象）电路等效变换的对象（3 3）电路等效变换的目的）电路等效变换的目的两电路具有相同的两电路具有相同的VCRV

3、CR未变化的外电路未变化的外电路A A中的电中的电压、电流和功率压、电流和功率化简电路，方便计算化简电路，方便计算可以用可以用Req替代的条件：端子替代的条件：端子1-2以右部分有相同的以右部分有相同的伏安特性。伏安特性。 Req称为称为等效电阻等效电阻。用用等效电阻等效电阻替代电路的某部分以后，未被替代部替代电路的某部分以后，未被替代部分的电压、电流应保持不变。即分的电压、电流应保持不变。即“对外等效对外等效”，对内不，对内不一定等效。例如，要求解实际电路一定等效。例如，要求解实际电路1-2右端的右端的i1等，须用等，须用原电路求。原电路求。i42i3US+_iu+_rR1R2R3R41i1

4、i2i5US+_iu+_rReq211. 电路特点电路特点:2.1.1 电阻串联电阻串联 (Resistors Series)+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRk(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。结论结论：等效等效串联串联电路的电路的总电阻总电阻等于各等于各分电阻之和。分电阻之和。 2. 等效电阻等效电阻Req+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRku+_ReqiKVL u= u1+ u2 +uk+un由欧姆定律由欧姆定律uk = Rk i( k=1, 2,

5、 , n )u= (R1+ R2 +Rk+ Rn) i、u= Reqi、 设端口间只通过一个电阻连接，则设端口间只通过一个电阻连接，则Req=( R1+ R2 +Rn) = Rk、由等价条件得由等价条件得3. 串联电阻上电压的分配串联电阻上电压的分配显然显然kkkkkRRRRiRiRuu eqeq即即电压与电阻成正比电压与电阻成正比故有故有例例：两个电阻分压：两个电阻分压, 如下图如下图+_uR1R2+-u1-+u2i+_uR1Rn+_u1+_uni( 注意方向注意方向 !)4. 功率关系功率关系p1=R1i2， p2=R2i2， pn=Rni2p1: p2 : : pn= R1 : R2 :

6、 :Rn总功率总功率 p=ui=Reqi i=Reqi2 =(R1+ R2+ +Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2 =p1+ p2+ pn故可以直接用等效电阻计算串联电路故可以直接用等效电阻计算串联电路“内部内部”的的总功率总功率。（对照前面：（对照前面：“对外等效对外等效”，对内不一定等效。，对内不一定等效。）2.1.2 电阻并联电阻并联 (Parallel Connection)inR1R2RkRni+ui1i2ik_1. 电路特点电路特点:(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；(b) 总电流等于流过各并联电阻的电

7、流之和总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。等效等效令令 G =1 / R, 称为称为电导电导Geq=G1+G2+Gk+Gn= Gk= 1/RkinR1R2RkRni+ui1i2ik_2. 等效电阻等效电阻Req+u_iReqi = i1+ i2+ + ik+ in由由KCL:故有故有i = u/R1 +u/R2 + +u/Rn=u(1/R1+1/R2+1/Rn)、由等价条件得由等价条件得1/Req= 1/R1+1/R2+1/Rn、 设端口间只通过一个电阻连接，则设端口间只通过一个电阻连接，则i = u / ReqReq=1.36.513由由 G =1/1.3+1/6.5+1/13

8、= 1故故 Req=1/G=13. 并联电阻的电流分配并联电阻的电流分配eqeq/GGRuRuiikkk 由由即即 电流分配与电导成正比电流分配与电导成正比故故 对于两电阻并联对于两电阻并联R1R2i1i2i13 1.3 6.5 Req=?4. 功率关系功率关系p1=G1u2， p2=G2u2， pn=Gnu2p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn总功率总功率 p=ui=uuGeq=Gequ2 = (G1+ G2+ +Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ +Gnu2 =p1+ p2+ pn故可以直接用等效电阻计算并联电路故可以直接用等效电阻计算并联电路“内部内部”的的总功率

9、总功率。（对照前面：（对照前面：“对外等效对外等效”，对内不一定等效。，对内不一定等效。）2.1.3 电阻的串并联电阻的串并联要求要求：弄清楚串、并联的概念。：弄清楚串、并联的概念。例例1.Req = 4(2+36) = 2 2 4 3 6 Req 计算举例：计算举例： Req = (4040)+(303030) = 30 40 30 30 40 30 Req40 40 30 30 30 Req例例2.（ Y 形形连接与连接与 形形连接）连接）星形连接星形连接Y 形形三角形三角形连接连接 形形R12R31R23i3 i2 i1 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y12

10、3+u12Yu23Yu31Y2.2 电阻的星形电阻的星形连连接与三角形接与三角形连连接的等效变换接的等效变换下图是电阻的两种下图是电阻的两种连接方式：连接方式：下面要证明下面要证明：这两个电路，当它们的电阻满足一定的关系时，：这两个电路，当它们的电阻满足一定的关系时，是能够相互等效的。是能够相互等效的。等效的条件等效的条件: i1 =i1Y , i2 =i2Y , i3 =i3Y , 且且 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y 显然显然 、Y连接方式，既非串联也非并联。连接方式，既非串联也非并联。特点特点：都通过都通过3个端子，与外部相连。个端子，与外部相连。Y连

11、接连接 连接连接R12R31R23i3 i2 i1 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31YY接接: 用电流表示电压用电流表示电压u12Y=R1i1YR2i2Y 接接: 用电压表示电流用电压表示电流i1Y+i2Y+i3Y = 0 u31Y=R3i3Y R1i1Y u23Y=R2i2Y R3i3Y i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /R23 u12 /R12R12R31R23i3 i2 i1 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31Yi1 =u12 /R12 u31

12、/R31(1)(2)133221231Y312Y1YRRRRRRRuRui1332213Y121Y23Y2RRRRRRRuRui1332211Y232Y31Y3RRRRRRRuRui由式由式(2)解得：解得：i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /R23 u12 /R12i1 =u12 /R12 u31 /R31(1)(3)根据等效条件，比较式根据等效条件，比较式(3)与式与式(1)，得由，得由Y接接接的变换结果：接的变换结果： R RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR R1

13、22331123122331231122331312321133132132233212112GGGGGGGGGGGGGGGGGG或或注：式注：式(2)中前中前3个式子中，只有个式子中，只有2个式子是独立的。个式子是独立的。类似可得到由类似可得到由 接接 Y接的变换结果：接的变换结果： 122331233133112231223223311231121GGGGGGGGGGGGGGGGGG312312233133123121223231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR或或上述结果可从原始方程出发导出，也可由上述结果可从原始方程出发导出，也可由Y接接 接接的的变换结果直接得到

14、。变换结果直接得到。简记方法：简记方法：特例特例：若三个电阻相等：若三个电阻相等(对称对称)，则有，则有 R = 3RY( 大大Y小小 )13或或注意注意：(1) 等效对外部等效对外部(端子以外端子以外)有效，对内不一定成立。但有效，对内不一定成立。但可以用等效电路计算功率可以用等效电路计算功率* 。(2) 等效电路与外部电路无关。等效电路与外部电路无关。 相相邻邻电电阻阻乘乘积积R RR RYY 相相邻邻电电导导乘乘积积GGGG( (Y YY Y 电电阻阻两两两两乘乘积积) )不不相相邻邻电电阻阻R R 相相邻邻电电阻阻乘乘积积R RR R应用：简化电路应用：简化电路例例1. 桥桥 T 电路

15、电路1k 1k 1k 1k RE1/3k 1/3k 1k RE1/3k 1k RE3k 3k 3k 例例2. 双双 T 网络网络2.3.1 电压源的串并联电压源的串并联串联串联:uS= uSk ( 注意参考方向。一致，注意参考方向。一致，取取+；否则，取；否则，取 - 。)电压相同的电压源才电压相同的电压源才能并联。但每个电压能并联。但每个电压源的电流无法确定。源的电流无法确定。uSn+_+_uS1+_uS+_5VI5V+_+_5VI并联并联:2.3 电源的等效变换电源的等效变换2.3.2 电流源的串并联电流源的串并联可等效成一个理想电流源可等效成一个理想电流源 i S电流相同的理想电流源电流

16、相同的理想电流源才能串联。但每个电流才能串联。但每个电流源的端电压无法确定。源的端电压无法确定。串联串联:并联：并联：iS1iS2iSkiSiS= iSk2A2A2A（注意参考方向）（注意参考方向）2. 3. 3 电压源与电流源的串并联电压源与电流源的串并联对外可等效成电流源对外可等效成电流源 串联：串联：1111sI+-sUsI并联：并联：对外可等效成电压源对外可等效成电压源 sU11-+sIsU11+-电流为电流为Is 电压为电压为Us 3V电压源与电压源与10A电流源并联，可等效电流源并联，可等效成成3V的电压源，再与的电压源，再与2A电流源串联，电流源串联，对外可等效为对外可等效为2A

17、的电流源的电流源 -+6V1-+3A10V5A13V1-+10A2A15A电流源与电流源与3A电流源并联，等效电流源并联，等效成成2A电流源，再与电流源，再与10V电压源串电压源串联，仍等效为联，仍等效为2A电流源，再与电流源，再与6V电压源并联，对外等效为电压源并联，对外等效为6V的电的电压源压源 工作点工作点一个实际电压源，当它向外电路提供电流时，它的端电一个实际电压源，当它向外电路提供电流时，它的端电压压u总是小于总是小于uS ，且端电压，且端电压u随电流近似线性下降。随电流近似线性下降。一、实际电压源一、实际电压源uiUSUu=uS Ri iRi: 电源内阻电源内阻,一般很小。一般很小

18、。i+_uSRi+u_uS=US时，其外特性曲线如下：时，其外特性曲线如下：因此可用一个理想电压源因此可用一个理想电压源uS与一个电阻与一个电阻Ri 串联的支路模型串联的支路模型来表征其特性。来表征其特性。I2. 3. 4 有伴电源的等效变换有伴电源的等效变换工作点工作点二二 、 实际电流源实际电流源一个实际电流源，当它向外电路供给电流时，随着一个实际电流源，当它向外电路供给电流时，随着端电压的增加，输出电流近似线性下降。端电压的增加，输出电流近似线性下降。uiISUIi=iS Gi uiGi+u_iSiS=IS时，其外特性曲线如下：时，其外特性曲线如下：Gi: 电源内电导电源内电导,一般很小

19、。一般很小。因此可用一个电流为因此可用一个电流为 iS 的理想电流源和一个内电导的理想电流源和一个内电导 Gi 并联的模型来表征其特性。并联的模型来表征其特性。三三 、电源的等效变换、电源的等效变换实际电压源实际电压源、实际电流源实际电流源两种模型可以进行等效变两种模型可以进行等效变换，所谓的换，所谓的等效等效是指是指端口的电压、电流在转换过程中保端口的电压、电流在转换过程中保持不变持不变(即对外等效即对外等效)。u=uS Ri ii =iS Giui = uS/Ri u/Ri 通过比较，得等效的条件：通过比较，得等效的条件： iS=uS/Ri , Gi=1/Rii+_uSRi+u_iGi+u

20、_iSu=iS/Gi-i/Gi由电压源变换为电流源：由电压源变换为电流源：转换转换转换转换i+_uSRi+u_i+_uSR=1/Gi+u_iG=1/Ri+u_iSiGi+u_iS由电流源变换为电压源：由电流源变换为电压源：(2) 所谓的所谓的等效等效是对是对外部电路外部电路等效，对等效，对内部电路内部电路是不等效的。是不等效的。注意注意：开路的电流源模型可以有电流流过并联电导开路的电流源模型可以有电流流过并联电导Gi 。电流源模型短路时电流源模型短路时, 并联电导并联电导Gi中无电流。中无电流。 电压源模型短路时，电阻中电压源模型短路时，电阻中Ri有电流；有电流； 开路的电压源模型中无电流流过

21、开路的电压源模型中无电流流过 Ri； iS iGiiS(1) 方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反。方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反。iSGiiiS(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。理想电压源与理想电流源不能相互转换。i+_uSRi+u_i练习：练习： 利用等效变换概念化简下列电路。利用等效变换概念化简下列电路。1、2、4、3、5 2 10V16V4A8 9 3A应用应用：利用电源转换可以简化电路计算。：利用电源转换可以简化电路计算。例例1.I=0.5A6A+_U=？5 5 10V10V+_U55 2A6AU=20V例例2.5A3 4 7 2AI=？+_15v_+8v7

22、7 I例例3.把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。10V10 10V6A+_70V10 +_6V10 2A6A+_66V10 +_RRL2R2RRRIS+_ULRLIS/4RI+_ULLLSL 4RRRRIU例例4.如图电路，求如图电路，求UL即即RRRL2R2RR+ UL-IS2 u6V 24V 3 6V 4 2A u23A 3 6V 4 2A 2A 2 u1A136V 4 2A 45V 2A u13 6V 41V 52446.5V2uu4 2A 4 5A4. 受控电压源与电阻串联模型和受控电流源与电阻并联受控电压源与电阻串联模型和受控电流源与电阻

23、并联模型之间可以等效变换，变化方法与公式和实际电源相同。模型之间可以等效变换，变化方法与公式和实际电源相同。2. 3. 5受控源的等效变换受控源的等效变换 例例6 6 求求i3。41u与与5 5 电压源电压源 0604555132uii (KVL) 60202i601u解得: 243i注意：受控源等效变换后，不可丢掉控制量。注意：受控源等效变换后，不可丢掉控制量。解解:将将定律60+ +- -+ +- -+ +- -Vu1i220i35i2u1451604u5+ +- -+ +- -+ +- -Vi352i220u15+ +- -i0.50.9210A3IIII6A390.9I66154A.I

24、3 2A6 0.9II.0.5I2.3.6 输入电阻输入电阻 如果一个一端口内部仅含电阻如果一个一端口内部仅含电阻,则应用电阻的串、并联和则应用电阻的串、并联和星角变换等方法，可以求得它的等效电阻。星角变换等方法，可以求得它的等效电阻。 如果一端口内部除电阻以外还含有受控源，但不含任何如果一端口内部除电阻以外还含有受控源，但不含任何独立电源，可视为无源网络，则其端口电压与电流成正比，独立电源，可视为无源网络，则其端口电压与电流成正比，其比值为此一端口的输入电阻。其比值为此一端口的输入电阻。求输入电阻的一般方法：求输入电阻的一般方法：在端口加电压源，求端口电流；在端口加电压源，求端口电流；在端口

25、加电流源，求端口电压。在端口加电流源，求端口电压。i iu uR Ri in n xxxiiii87xiu45084ab.iiiuRxx例例8 8 求求Rabab。解解: :外加外加u, ,产生产生iKCL: :解得解得： b ba a0.57ix4 4b ba aixiuuuab KVL、 KCL、 定律定律 ：3192ab.iuR例例9 9 求求Rabab。解：将电源等效变换，解：将电源等效变换，解得解得： ui+ +- -0. 01b b502000.2100+ +- - -+ +a aabuabuabu外加外加u，产生，产生i。a a2502. 2100b b+ +- -+ +- -a

26、uabubab2 . 2100250uuiu例例10.I=?故故: 受控源和独立源一样可以进行电源转换。受控源和独立源一样可以进行电源转换。1k 1k 10V0.5II10V2k +500I- -I 5 50 00 01 10 00 00 01 10 00 01 11 15 50 00 0 I II II IA A 5 50 00 02 20 00 00 01 10 00 01 11 15 50 00 0 I II II IA A 线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。普遍性：对任何线性电路都适用。 复杂电路的一般分析法就是根据复杂电路的一般分析法

27、就是根据KCL、KVL及元件电压和及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路（网孔）电流法和节点电压法。为支路电流法、回路（网孔）电流法和节点电压法。（2）元件的电压、电流约束特性。元件的电压、电流约束特性。（1）电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律。定律。 方法的基础方法的基础(2) 系统性：计算方法有规律可循。系统性：计算方法有规律可循。 对于有对于有n个节点、个节点、b条支路的电路。若以支路电流、支路电压条支路的电路。若以支路电流、支路电压为电路变量为电路变量 (共有共有2b个未知变

28、量个未知变量:Uk、ik，k=1,2,b)2.4 支路电流法支路电流法 (branch current method )(2) 由由KCL得，得，(n-1)个独立方程；个独立方程； (变量是变量是ik )(3) 由由KVL得，得，(b-n+1)个独立方程；个独立方程； (变量是变量是Uk )(4) 由由VCR得，得，b个独立方程。个独立方程。 (变量是变量是Uk、ik ) 若将若将(4)中中Uk以以ik的表达式代入的表达式代入(3)，则由，则由(2)、(3)可得可得b个以个以ik为未知数的独立方程。未知数也是为未知数的独立方程。未知数也是b个，故可求解。此即为个，故可求解。此即为支路电流法支路

29、电流法。(1) 选定支路电流、支路电压为关联参考方向；选定支路电流、支路电压为关联参考方向；求解上述求解上述2b个独立方程，可得支路电流、支路电压。此法称个独立方程，可得支路电流、支路电压。此法称2b法法。举例说明：举例说明：uSR1R2R3R4R5R6+1234n=4，b=6 独立方程数应为独立方程数应为6个。个。支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。路的方法。支路支路(电流电流)法的一般法的一般步骤：步骤：(1) 选定各支路电流的参考方向；选定各支路电流的参考方向；(2) 选定选定(n1)个节点，列写其个节点，列写其KC

30、L方程；方程；(3) 选定选定b(n1)个独立回路，按指定回路的绕向，个独立回路，按指定回路的绕向，列写其以支路电流表示的列写其以支路电流表示的KVL方程。方程。 (即将元件特性代入即将元件特性代入) i1 + i2 i6 =0 i2 + i3 + i4 =0 i4 i5 + i6 =0R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0以支路电流为变量的以支路电流为变量的KVL方程方程如下：如下：举例说明支路电流法举例说明支路电流法R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0R3 i3

31、 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 =uSuS2R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6134123KCLKVL(一般电流法中，表达成一般电流法中，表达成 Rk ik = uSi) KVL方程的另一形式：即任一回路中，方程的另一形式：即任一回路中，电阻电压电阻电压的代的代数和等于数和等于电源电压电源电压的代数和，即：的代数和，即： s sk kk kk ku ui iR R式中式中Rkik为回路中第为回路中第k个支路电阻上的电压，和式遍及回个支路电阻上的电压，和式遍及回路中的所有支路，且当路中的所有支路，且当ik参考方向与回路方向一致时，

32、前面取参考方向与回路方向一致时，前面取“+”号；不一致时，取号；不一致时，取“”号。号。右边右边usk为回路中第为回路中第k支路的电源电压（也包括电流源引支路的电源电压（也包括电流源引起的电压）。在取代数和时，当起的电压）。在取代数和时，当usk与回路方向一致时前面取与回路方向一致时前面取“”号；当号；当usk与回路方向不一致时取与回路方向不一致时取“+”号；号；例例1.节点节点a：I1I2+I3=0(1) n1=1个个KCL方程：方程：US1=130V, US2=117V, R1=1 , R2=0.6 , R3=24 .求各支路电流及电压源求各支路电流及电压源各自发出的功率。各自发出的功率。

33、解解(2) b( n1)=2个个KVL方程：方程：R2I2+R3I3= US2 U= USR1I1R2I2=US1US20.6I2+24I3= 117I10.6I2=130117=13I1I3US1US2R1R2R3ba+I212(3) 联立求解联立求解I1I2+I3=00.6I2+24I3= 117I10.6I2=13解之得解之得I1=10 AI3= 5 AI2= 5 A(4) 功率分析功率分析PU S1发发=US1I1=130 10=1300 WPU S2发发=US2I2=117 (5)=585 W验证功率守恒：验证功率守恒：PR 1吸吸=R1I12=100 WPR 2吸吸=R2I22=1

34、5 WPR 3吸吸=R3I32=600 WP发发=715 WP吸吸=715 WP发发= P吸吸例例2.列写如图含理想电流源支路列写如图含理想电流源支路(这种无并联电阻的理想电这种无并联电阻的理想电流源又称无伴电流源流源又称无伴电流源)的支路电流方程。的支路电流方程。b=5, n=3KCL方程：方程：- - i1- - i2 + i3 = 0 (1)- - i3+ + i4 - - i5 = 0 (2)R1 i1- -R2i2 = uS (3)R2 i2+ +R3i3 + + R4 i4 = 0 (4)- - R4 i4+ +u = 0 (5)KVL方程：方程：iScuS123i1i3R1R2R

35、3ba+i2i5i4uR4解解1、引入电流源电压为变量，增引入电流源电压为变量，增加支路电流与电流源关系式。加支路电流与电流源关系式。附加方程：附加方程：i5 = iS (6)2、在选择独立回路时，也可不在选择独立回路时，也可不选含此支路的回路。对此例，选含此支路的回路。对此例，可不选回路可不选回路3，即去掉方程，即去掉方程(5)，而只列而只列(1)(4)及及(6)。含有无伴电流源时：含有无伴电流源时：解解列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。cR4uS i1R1 u21i1i3R2R3ba+i2i6i5u24i4+R5+u23方程列写分两步：方程列写

36、分两步：(a) 先将受控源看作独立源先将受控源看作独立源列方程；列方程；(b) 将控制量用未知量表示，将控制量用未知量表示，并代入并代入(a)中所列的方程，中所列的方程，消去中间变量。消去中间变量。KCL方程：方程：- -i1- - i2+ i3 + i4=0 (1)- -i3- - i4+ i5 i6=0 (2)例例3.KVL方程：方程：R1i1- - R2i2= uS (3)R2i2+ R3i3 + +R5i5= 0 (4)R3i3- - R4i4= u2 (5)R5i5= u (6)补充方程：补充方程：i6= i1 (7)u2= R2i2 (8)另一方法：去掉方程另一方法：去掉方程(6)

37、。cR4uS i1R1 u21i1i3R2R3ba+i2i6i5u24i4+R5+u232.5 网孔电流法与回路电流法网孔电流法与回路电流法(mesh current method and loop current method)基本思想基本思想 为减少未知量为减少未知量(方程方程)的个数，可以的个数，可以假想假想每个每个回回路（网孔）路（网孔）中有一个中有一个回路电流（网孔电流）回路电流（网孔电流）。若回。若回路（网孔）电流已求得，则各支路电流可用回路路（网孔）电流已求得，则各支路电流可用回路（网孔）电流线性组合表示。这样即可求得电路的（网孔）电流线性组合表示。这样即可求得电路的解。解。回路

38、电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流进回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以一次，流出一次，所以KCL自动满足自动满足。若以回路电流为未知量。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程方程(VCR方程代方程代入其中入其中) ，回路的绕行方向与回路电流方向取一致。，回路的绕行方向与回路电流方向取一致。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2b=3，n=2。独立回路为。独立回路为l=b- -(n- -1)=2(或平面电路网孔数或平面电路网孔数2)。选。选图示的两个独立回路，设图示的两个

39、独立回路，设回路回路电流电流分别为分别为il1、il2。支路电流。支路电流i1= il1，i2= il2- - il1，i3= il2。2. 5. 1列写网孔电流方程的方法列写网孔电流方程的方法网孔电流法网孔电流法：以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。仅适用于平面电路。的方法。仅适用于平面电路。举例说明：举例说明：该电路有三条支路，两个网孔该电路有三条支路，两个网孔 网孔网孔1：R1 il1+ +R2(il1- - il2)- -uS1+uS2=0网孔网孔2：R2(il2- - il1)+ R3 il2 - -uS2=0现以两个网孔电流为未知量，

40、按顺时针方向绕行，由现以两个网孔电流为未知量，按顺时针方向绕行，由KVL得得i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2整理得，整理得，几个规律：几个规律： (R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2- - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS21）方程中的系数）方程中的系数(R1+R2)及及(R2+R3)分别是两个网孔各自分别是两个网孔各自的电阻之和，的电阻之和，均为正值均为正值，称为，称为自电阻自电阻，用，用R11、R22表示。即表示。即 R11=R1+R2R22=R2+R3R12= R21= R2 2）两方程中的系数）两方程中的系数R2相同，为两个网

41、孔公用的电阻，且相同，为两个网孔公用的电阻，且前面有一负号，称为前面有一负号，称为互电阻互电阻，用，用R12、R21表示。表示。 当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正正号；号；否则为否则为负负号。号。3）两式等号右边分别为各网孔中电压源的代数和，称）两式等号右边分别为各网孔中电压源的代数和，称为为网孔电压源网孔电压源，用，用us11、 us22表示。表示。 与绕行方向一致的与绕行方向一致的电位升电位升为为正正，否则为，否则为负负 R11il1+ +R12il2=uS11R12il1+ +R22il2=uS22由此得标准形式的方程：由此得

42、标准形式的方程：原方程：原方程：(R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2- - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2us11= uS1- -uS2 us22= uS2 一般对于具有一般对于具有 m个网孔的电路，有个网孔的电路，有其中其中Rkk:自电阻自电阻(为正为正) ，k=1,2,m Rjk:互电阻互电阻+ : 流过互阻两个网孔电流方向相同流过互阻两个网孔电流方向相同- - : 流过互阻两个网孔电流方向相反流过互阻两个网孔电流方向相反0 : 无关无关注：注：1,不含受控源的线性网络不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。

43、2,平面电路，若网孔电流都取顺平面电路，若网孔电流都取顺(或逆或逆)时针，时针，Rjk均为负。均为负。R11il1+R12il1+ +R1m ill=uS11 R21il1+R22il1+ +R2m ill=uS22Rm1il1+Rm2il1+ +Rmm ill=uSmm推广：推广：网孔法的一般步骤：网孔法的一般步骤：(1)假定各网孔电流的参考方向（一般同取顺时针方假定各网孔电流的参考方向（一般同取顺时针方向或同取逆时针方向）；向或同取逆时针方向）； (2)找出各网孔的自电阻、互电阻及各网孔电压源找出各网孔的自电阻、互电阻及各网孔电压源（若电路中含有电流源时要变换成电压源）；（若电路中含有电流

44、源时要变换成电压源）； (4) 求解上述方程，得到网孔电流；求解上述方程，得到网孔电流；(5)由支路电流与网孔电流的关系求得各支路电流。由支路电流与网孔电流的关系求得各支路电流。 uS11、uS22、uSmm为网孔电压源的代数和。取和时，与为网孔电压源的代数和。取和时，与网孔电流方向网孔电流方向一致一致的电压源的电压源取取“-”，与网孔电流方向，与网孔电流方向相反相反的的电压源电压源取取“+” (因移到方程右端因移到方程右端)。(3) 列写网孔电流方程；列写网孔电流方程；例例1用网孔电流法求各支路电流。用网孔电流法求各支路电流。解：解： (1) 设网孔电流绕向为顺时针方向设网孔电流绕向为顺时针

45、方向(3) 列列 KVL 方程方程(R1+R2)il1 - -R2il2 = US1- - US2 - -R2il1 + (R2+R3)il2 - - R3il3 = US2 - -R3il2 + (R3+R4)il3 = - -US4对称阵，且对称阵，且互电阻为负互电阻为负(4) 求解网孔电流方程，得求解网孔电流方程，得 il1 , il2 , il3(5) 求各支路电流：求各支路电流：i1=il1, i2= il2 - -il1, i3= il3 il2, i4=- -il3(2)找出各网孔的自电阻、互电阻及各网孔电压源找出各网孔的自电阻、互电阻及各网孔电压源i1i2i3il1Il3Il2

46、+_US2+_US1R1R2R3+_ US4R4i4例例2 2 试用网孔法求解试用网孔法求解图示电路中的图示电路中的各支路电流。各支路电流。解：解： 网孔电流方向网孔电流方向如图所示。如图所示。网孔电流方程为：网孔电流方程为：（2+1+2）Im1- - 2Im2 - - 1Im3=3 - - 9- -2Im1+(2+6+3)Im2- - 6Im3=9 - - 6- -1Im1- - 6Im2+(3+6+1)Im3=12.5 - - 3Im3Im2Im1_ _12.5V+_ _+_+_ _+ 1 3 3 63V9V6VI3 2 2I5I4I1I6I2整理为：整理为： 5Im1 - - 2Im2

47、- - Im3= - - 6- - 2Im1+11Im2 - - 6Im3= 3- - Im1 - - 6Im2+10Im3= 9.5联立求解得：联立求解得： Im1= - - 0.5A Im2=1A Im3=1.5A各支路电流为各支路电流为：I1=Im1= - -0.5AI2=Im2= 1AI3=- -Im3= 1.5AI4= - - Im1+ Im3=2A I5= Im1- - Im2= - -1.5A I6= - - Im2+ Im3= 0.5A_ _12.5V+_ _+_+_ _+13363V9V6VI322I5I4I1I6I2Im3Im2Im12. 5. 2 特殊情况的处理特殊情况的

48、处理1.对受控源的处理对受控源的处理当电路中含有受控源时，列写回路电流方程将受控源同当电路中含有受控源时，列写回路电流方程将受控源同独立电源一样看待，写到各方程等号的右边。增加将控独立电源一样看待，写到各方程等号的右边。增加将控制量用网孔电流表示的补充方程。制量用网孔电流表示的补充方程。 2.对电路中无伴电流源的处理对电路中无伴电流源的处理两种方法处理两种方法处理 （1）设无伴电流源端电压为）设无伴电流源端电压为U，将此电流源看作电压为，将此电流源看作电压为U的的电压源，列写网孔电流方程，再增加一个附加方程。电压源，列写网孔电流方程，再增加一个附加方程。 （2）选择网孔电流使得只有一个网孔电流

49、通过无伴电流源，）选择网孔电流使得只有一个网孔电流通过无伴电流源，则此网孔电流就已知了，此网孔电流方程可省去。则此网孔电流就已知了，此网孔电流方程可省去。 例例3 3 图示电路，图示电路，求各支路电流。求各支路电流。解：解：方法一：方法一：列方程：列方程：xslluuiRiRR123131)(xslluuiRRiR223213)(12slliii辅助方程辅助方程联立求解联立求解+-uxil2 2il1 1设设ux及网孔电流及网孔电流il1、il2us1+-R1+-R2isus2R3i1i3i2.注：广义网孔是指将两个或两个以上的网孔视为一个网孔，注：广义网孔是指将两个或两个以上的网孔视为一个网

50、孔， 此方法适用于电路内部有电流源的电路此方法适用于电路内部有电流源的电路。方法二：广义网孔法方法二：广义网孔法设设il1、il2同上同上122211sslluuiRiR12llsiii对大回路（广义网孔）列方程：对大回路（广义网孔）列方程：il1il2广义网孔广义网孔us1+-R1+-R2isus2R3i1i3i2il1il2广义网孔广义网孔us1+-R1+-R2isus2R3i1i3i2方法三：将电路变形，使方法三：将电路变形，使iS处于边界，如图示。处于边界，如图示。us1R1+ +- -isR2R3us2i1i3i2+ +- -il1il2设网孔电流，设网孔电流，解得：解得：il2=i

51、S支路电流：支路电流：212S1SS21RRuuiRili1= =il1, i2= =il2- - il1 , i3= =iSS2iil2S1S22121)(uuiRiRRll列方程列方程: :us1R1+ +- -isR2R3us2i1i3i2+ +- - Im1=4A，Im2=1A，Im3=3A例例4 4 用网孔法求用网孔法求图示电路图示电路的网孔电流。已知的网孔电流。已知 =1=1， =1=1。解：解： 标出各网孔电流如图示。标出各网孔电流如图示。各网孔的各网孔的KVL方程为：方程为： m1：6Im1- -2Im2- -2Im3=16 m2 ：- -2Im1+6Im2- -2Im3= -

52、 - U1m3 ： Im3= I3 （直接写出）（直接写出）补充两个受控源的控制量与补充两个受控源的控制量与网孔电流关系方程：网孔电流关系方程：U1=2Im1I3=Im1- -Im2将将 =1， =1代入，联立求解得：代入，联立求解得：16 VU1+_U1I3_+ +_2 2 2 2 I1I32 Im1Im2Im316 VU1+_U1I3_+ +_2 2 2 2 I1I32 将将VCVSVCVS看作独立源建立方程；看作独立源建立方程； 找出控制量和网孔电流关系。找出控制量和网孔电流关系。校核校核: :4Ia- -3Ib=2- -3Ia+6Ib- -Ic=- -3U2- -Ib+3Ic=3U2

53、4Ia- -3Ib=2- -12Ia+15Ib- -Ic=09Ia- -10Ib+3Ic=0U2=3(Ib- -Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=- -0.51A1 I1+2I3+2I5=2.01( UR 降降= E升升 )例例5. 用网孔法求含有用网孔法求含有受控电压源受控电压源电路的各支路电流。电路的各支路电流。2V2 +_ 3 U2+3U21 2 1 I1I2I3I4I5IaIbIc解解：将将代入代入，得，得各支路电流为：各支路电流为：I1= Ia=1.19A, I2= Ia- - Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A,I4= Ib- - Ic=1.43A, I5= I

54、c=0.52A.解得解得* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。例例6. 列写含列写含无伴电流源无伴电流源的电路的网孔电流方程。的电路的网孔电流方程。方法方法1： 引入电流源电压引入电流源电压为变量，增加网孔电流和为变量，增加网孔电流和电流源电流的关系方程。电流源电流的关系方程。(R1+R2)I1- -R2I2=US1+US2+Ui- -R2I1+(R2+R4+R5)I2- -R4I3=- -US2- -R4I2+(R3+R4)I3=- -UiIS=I1- -I3I1I2I3_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+4个变量，个变量，4个个

55、方程。方程。方法方法2：选取独立网孔时，使理想电流源支路仅仅选取独立网孔时，使理想电流源支路仅仅 属于一个网孔属于一个网孔, 该网孔电流即该网孔电流即 IS 。I1=IS- -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=- -US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+I3(1) 对含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：对含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：IRIS+_RISIR转换转换(2) 对含有受控电流源支路的电路，可先按上述方法列对含有受控电流源支路的电路，可先按上述方法列方程，再将控制量用网孔电流表示。方程，再

56、将控制量用网孔电流表示。注意：注意：2. 5. 3 回路电流法回路电流法回路电流法回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。网孔电流法只能用在平面网络，而回路电流法对平面网络网孔电流法只能用在平面网络，而回路电流法对平面网络 及非平面网络均能应用。及非平面网络均能应用。网孔电流法列出方程是回路电流法中的一组，所以网网孔电流法列出方程是回路电流法中的一组，所以网孔电流法是回路电流法的一个特例。孔电流法是回路电流法的一个特例。一般对于具有一般对于具有 l=b- -(n- -1) 个独立回路的电路，有个独立回路的电路，有R11，R22，R

57、LL为各独立回路的为各独立回路的自电阻自电阻，均为，均为正值正值； R11il1+R12il1+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+ +R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+ +Rll ill=uSll 1)L(LL2L12L23211L1312,RRRRRRRRR为各独立回路间的为各独立回路间的互电阻互电阻，回，回路电流路电流同方向同方向通过互电阻时为通过互电阻时为正值正值，回路电流，回路电流反方向反方向通过互通过互电阻时为电阻时为负值负值； us11，us22，usLL为各独立回路的电压源，与绕行为各独立回路的电压源，与绕行方向一致的电位升为正，否则为负

58、。方向一致的电位升为正，否则为负。当电路中含无伴电流源时，用回路电流法处理比较方便，当电路中含无伴电流源时，用回路电流法处理比较方便，选择独立回路时，只要将通过无伴电流源支路的电流只选择独立回路时，只要将通过无伴电流源支路的电流只有一个回路电流，则此回路电流就是电流源的电流，因有一个回路电流，则此回路电流就是电流源的电流，因此该回路电流方程可省列。此该回路电流方程可省列。 例例. 列出电路的回路电流方程列出电路的回路电流方程IL1IL2IL4IL3R4+Us1-R2R3+Us2- 2 R1I2U2IsI2 +-+-U2解解: 选取独立回路如图所示，四个回路电流选取独立回路如图所示，四个回路电流

59、IL1，IL2，IL3，IL4均取均取顺时针方向。顺时针方向。 电流源电流源Is只有回路电流只有回路电流IL1通过，即通过，即IL1Is受控电流源只有回路电流受控电流源只有回路电流IL4通过，即通过，即IL4I2回路回路2 2 s2s1L332L32L12)(UUIRIRRIR回路回路3 3 2s2L44L343L23)(UUIRIRRIR将受控源的控制量用回路电流表示，有将受控源的控制量用回路电流表示，有 )(L2L122IIRUL22II 将将I IL1L1IsIs，I IL4L4II2 2代入整理，可得代入整理，可得 s2s2L343L2234s2s2s1L33L232)()()(IRU

60、IRRIRRRIRUUIRIRRIL1IL2IL4IL3R4+Us1-R2R3+Us2- 2 R1IU2IsI2 +-+-U223. 解方程组求得各回路电流，再根据支路电流与回路电流解方程组求得各回路电流，再根据支路电流与回路电流的关系，计算出各支路电流。的关系，计算出各支路电流。回路电流法的应用步骤：回路电流法的应用步骤：1. 选定一组独立回路，假定各回路电流的参考方向；选定一组独立回路，假定各回路电流的参考方向；2. 列写回路电流方程（注意对受控源和无伴电流源的处理）；列写回路电流方程（注意对受控源和无伴电流源的处理）；2.6 节点电压法节点电压法(node voltage method)