材料力学第九章

1、第九章第九章压杆稳定压杆稳定第九章第九章 压杆稳定压杆稳定目录9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式9.5 9.5 压杆的稳定压杆的稳定校核校核9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的其他支座条件下细长压杆的 临界压力临界压力9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力，在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力，要从三个方面来考虑：强度、刚度、稳定

2、性。要从三个方面来考虑：强度、刚度、稳定性。 稳定性稳定性 构件在外力作用下，保持其原构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。有平衡状态的能力。目录9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要讨论压杆工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要讨论压杆稳定问题，这类问题表现出与强度问题截然不同的性质。稳定问题，这类问题表现出与强度问题截然不同的性质。F目录不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的微小扰动就使小球远离原来的平衡位置平衡位置 微小扰动使小球离开原来的平衡微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置，但

3、扰动撤销后小球回复到平衡位置位置目录9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念压力等于临界力压力等于临界力压力大于临界力压力大于临界力压力小于临界力压力小于临界力目录 压杆丧失压杆丧失直线直线状态的平衡状态的平衡，过渡，过渡到到曲线状态的平衡曲线状态的平衡。称为丧失稳定，简称为丧失稳定，简称称失稳，失稳，也称为也称为屈屈曲曲压力等于临界力压力等于临界力压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念目录 临界压力临界压力 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。最小轴向压力。9.

4、2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程弯矩弯矩FwM令令则则通解通解目录9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力边界条件：边界条件：若若则则（与假设矛盾）（与假设矛盾）所以所以目录w9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力得得当当 时，时，临界压力临界压力欧拉公式欧拉公式挠曲线方程挠曲线方程w目录1、适用条件：、适用条件：理想压杆（轴线为直线，压力与轴线理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）重合，材料均匀）线弹性，小变形线弹性，小变形两端为铰支座两端为铰支座9.2 9

5、.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力-欧拉公式欧拉公式2 2、21lFcrEIFcr杆长，杆长，F Fcrcr小，易失稳小，易失稳刚度小，刚度小，F Fcrcr小，易失稳小，易失稳lxAwlk sin,3 3、在、在 F Fcrcr作用下，作用下，挠曲线为一条半波正弦曲线挠曲线为一条半波正弦曲线Awlx,2即即 A A 为跨度中点的挠度为跨度中点的挠度目录例题例题解：截面惯性矩临界压力269kNN1026939.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力目录9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力一端固定一端自

6、由一端固定一端自由22cr)2( lEIF对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：1 1、从挠曲线微分方程入手、从挠曲线微分方程入手2 2、比较变形曲线、比较变形曲线ABCll目录9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力lABC0.7lcrF4l4lABCD2lcrF两端固定两端固定22cr)5 . 0(lEIF 一端固定一端固定一端铰支一端铰支22cr)7 . 0(lEIF 目录9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力长度系数长度系数（无量纲）（无量纲）

7、相当长度（相当于两端铰支杆）相当长度（相当于两端铰支杆）l欧拉公式的普遍形式：欧拉公式的普遍形式：2)(2lEIFcr 两端铰支两端铰支22cr)(lEIF xlyOFxF目录9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力目录l1.3l1.7l2l（a）（b）（c）【例【例9-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。哪个临界力最大。解：解：,2)(llaa,3 . 1)(llbb,19. 17 . 17 . 0)(lllcc,25 . 0)(llldd（d）杆临界力最大。杆临界力最大。9.4

8、9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式1 1、临界应力、临界应力22 Ecr目录9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式欧拉公式只适用于大柔度压杆欧拉公式只适用于大柔度压杆 杆长杆长l约束条件约束条件 截面形状尺寸截面形状尺寸i 集中反映了杆长、约束条件、截面集中反映了杆长、约束条件、截面形状尺寸对形状尺寸对 的影响。的影响。 cr 2 2、欧拉公式适用范围、欧拉公式适用范围1 pcrE 22当当pE 2即即pE 21令令目录【例【例9-2】图示压杆的图示压杆的E=70GPa，P=175MPa。此此压杆是否压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界

9、力为多少。适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。1.5mPyz10040【解【解】yIIIminmm3204010012401003AIiy9 .90203105 . 17 . 03il8 .62175107031PE因因 1，此压杆为大，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：kN2 .3341012)15007 . 0(401001070)(3233222lEIFcr【例【例9-3】图示圆截面压杆，图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，P=200MPa。试求可试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。用欧拉公式计算临界力时杆的长度。lFd【解】【解】

10、3 .992001020031PEdlddlIAlil464/4/4214dlm48. 241 . 03 .9941dl【例【例9-4】图示矩形截面压杆，其约束性质为：在图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xoz平面内平面内为两端固定；在为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。已知材平面内为一端固定，一端自由。已知材料的料的E=200GPa，P=200MPa。试求此试求此压杆的临界力。压杆的临界力。1mzy2060Fzxo【解【解】3 .992001020031PEmm32.1760201260203AIizzmm77. 560201220603AIiyy1mzy2060Fzxo,mm3

11、2.17zimm77. 5yi5 .11532.1710002zyyil7 .8677. 510005 . 0yzzil 压杆将在压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。平面内失稳，欧拉公式适用。MPa1485 .1151020023222ycrE 压杆临界力为压杆临界力为kN1781060201483AFcrcr3 3、中小柔度杆临界应力计算、中小柔度杆临界应力计算 bacrbas 2 (小柔度杆小柔度杆)(中柔度杆中柔度杆)scr 9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式a、b 材料常数材料常数pcrs 当当12 即即经验公式经验公式（直线公式）（直线公式）s

12、cr bas 2令令目录il 压杆柔度压杆柔度AIi 四种取值情况，四种取值情况，临界柔度临界柔度PE 21P 比例极限比例极限bas 2s 屈服极限屈服极限2 (小柔度杆小柔度杆)21 (中柔度杆中柔度杆)临界应力临界应力1 (大柔度杆大柔度杆)欧拉公式欧拉公式22 Ecr bacr直线公式直线公式强度问题强度问题scr 9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式目录9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式临界应力总图临界应力总图12目录lilAFcrcr9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式目录FF

13、stcrnFstn 稳定安全系数稳定安全系数stcrnFFn工作安全系数工作安全系数9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核压杆稳定性条件压杆稳定性条件stcrnFFnstcrn n或或crF 压杆临界压力压杆临界压力F 压杆实际压力压杆实际压力目录解：解：CDCD梁梁0CM150030sin2000NFFkN6 .26NF得ABAB杆杆il1m732. 130cos5 . 1l9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核 已知拖架已知拖架D D处承受载荷处承受载荷F=10kNF=10kN。ABAB杆外径杆外径D=50mmD=50mm，内径内径d=40mmd=40mm，材料为，材料为Q23

14、5Q235钢，钢，E=200GPaE=200GPa， =100=100，nnstst=3=3。校核校核ABAB杆的稳定性。杆的稳定性。1 例题例题目录kN6 .26NFABAB杆杆ilmm164644222244dDdDdDAIi131081610732. 11 得ABAB为大柔度杆为大柔度杆kN11822lEIFcrNcrFFn 342. 46 .26118stnABAB杆满足稳定性要求杆满足稳定性要求1m732. 130cos5 . 1l9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核目录 千斤顶如图所示，丝杠长度千斤顶如图所示，丝杠长度l=37.5cml=37.5cm，内径内径d=4cmd=

15、4cm，材料为，材料为4545钢。最大起重量钢。最大起重量F=80kNF=80kN，规定的稳定安全系数，规定的稳定安全系数n nstst=4=4。试校。试校核丝杠的稳定性。核丝杠的稳定性。例题例题9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核（1 1）计算柔度）计算柔度cm144464424dddAIi 7515 .372il 查得查得4545钢的钢的 2 2=60=60， 1 1=100=100， 2 2 1 1 故可用欧拉公式计算。故可用欧拉公式计算。11 7001211105.77yli其柔度为其柔度为9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核目录7mF12cm20cmyz7mFy20c

16、m12cmz9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核（2 2）计算）计算xoyxoy平面内的临界力平面内的临界力 及临界应力。及临界应力。如图（如图（b b）, ,截面的惯性矩为截面的惯性矩为43cm2880121220zIcm46. 320122880AIizz相应的惯性半径为两端固定时长度系数两端固定时长度系数5 . 011010146.37005 .01 zil柔度为柔度为目录7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz 应用经验公式计算其临界应力应用经验公式计算其临界应力, ,查表查表得得 kN8 .2322 . 012. 0107 . 96AFcrcr 9.5 9.5 压

17、杆的稳定校核压杆的稳定校核194. 0,3 .29bMPaaMPa7 . 9101194. 03 .29 bacr则则临界压力为临界压力为木柱的临界压力木柱的临界压力临界应力临界应力kNFcr161MPacr73. 6 目录7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz欧拉公式欧拉公式22)( lEIFcr 越大越稳定越大越稳定crF减小压杆长度减小压杆长度 l减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）增大弹性模量增大弹性模量 E（合理选择材料）（合理选择材料）9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性

18、的措施目录减小压杆长度减小压杆长度 l9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施目录减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施目录增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施目录小结小结1 1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界 载荷的概念载荷的概念2 2、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则柔度、中柔度、小柔度压杆的原则3 3、熟

19、知压杆临界应力总图，能根据压杆的、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的 类别选用合适的公式计算临界应力类别选用合适的公式计算临界应力4 4、掌握简单压杆的稳定计算方法、掌握简单压杆的稳定计算方法5 5、了解提高压杆稳定性的主要措施、了解提高压杆稳定性的主要措施目录第十章第十章 动载荷动载荷第十章第十章 动载荷动载荷10-1 概述10-2 动静法的应用10-4 杆件受冲击时的应力和变形实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限，实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限，胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量与胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量与

20、静载下的数值相同。静载下的数值相同。构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。静载荷：静载荷：在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。目录10-1 概概 述述动载荷：动载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。载荷随时间变化而变化。载荷随时间变化而变化。一、构件做等加速直线运动一、构件做等加速直线运动图示梁上有一个吊车，现在问图示梁上有一个吊车，现在问3 3个问题个问题1.1.物体离开地面，静止地由绳索吊挂物体离开地面，静止地由绳索吊挂2.2.物体匀速地向上提升物体匀速地向上提

21、升3.3.物体以加速度物体以加速度a a向上提升向上提升10-2 动静法的应用目录求这求这3 3种情况下的绳索应力种情况下的绳索应力？l1. 1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂物体离开地面，静止地由绳索吊挂QQPQstQA绳子：目录 与第一个问题等价2. 2. 物体匀速地向上提升物体匀速地向上提升目录或者说，按达郎伯原理（动静法）：质点上所有外力同惯或者说，按达郎伯原理（动静法）：质点上所有外力同惯性力形成平衡力系。性力形成平衡力系。惯性力大小为惯性力大小为mama，方向与加速度，方向与加速度a a相反相反 按牛顿第二定律按牛顿第二定律0NdQFQag(1)NddaFQk Qg(1)dakg

22、3. 3. 物体以加速度物体以加速度a a向上提升向上提升QaNdF 绳子动载应力绳子动载应力( (动载荷下应力动载荷下应力) )为：为：NddddstFQkkAA动应力动应力动荷系数动荷系数其中其中例例10-110-1：吊笼重量为：吊笼重量为Q Q；钢索横截面面积为；钢索横截面面积为A A，单，单位体积的重量为位体积的重量为 ，求吊索任意截面上的应力。，求吊索任意截面上的应力。解：解：agQQagxAxAFNdQAxQAxagQAxag1gaFst11daKg 动荷系数动荷系数NddstFKFddstKstFAxQ二、构件作等速转动时的应力计二、构件作等速转动时的应力计算算 薄壁圆环，平均直

23、径为薄壁圆环，平均直径为D D，横截面面积为，横截面面积为A A，材料单位体积的重量为，材料单位体积的重量为，以匀角速，以匀角速度度转动。转动。目录qAgDA Dgd2222NdF2DqFdNdAFNddA Dg224Dg224vg2NdF强度条件：dvg2 从上式可以看出，环内应力仅与从上式可以看出，环内应力仅与和和v v有关，而与有关，而与A A无关。所以，无关。所以，要保证圆环的强度，应限制圆环的速度。增加截面面积要保证圆环的强度，应限制圆环的速度。增加截面面积A A，并，并不能改善圆环的强度。不能改善圆环的强度。目录10-4 10-4 杆件受冲击时的应力和变形杆件受冲击时的应力和变形目

24、录冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加速度速度a a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。计算中，一般采用能量法。在计算时作如下假设在计算时作如下假设: :目录1.1.冲击物视为刚体，不考虑其变形冲击物视为刚体，不考虑其变形; ;2.2.被冲击物的质量可忽略不计被冲击物的质量可忽略不计; ;3.3.冲击后冲击物与被冲击物附着在冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动一起运动; ;4.4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与势能不

25、考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与势能的转化。的转化。 adTVV目录根据机械能守恒定律，冲击物的动能根据机械能守恒定律，冲击物的动能T T和势能和势能V V的变化应等于的变化应等于弹簧的变形能弹簧的变形能 , ,即即dV设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为为T bdVQ12dddVFdddFhQ21)(dddststFQ在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比，在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比，QFstdd 21 c2ddstVQ即：即：2220stdstdTQ 211dststTQ 221111dststThKQ 目录 ddddststFKQ ddFK Q ddstK将（将（b b）式和（）式和（c c）式代入（）式代入（a a）式，得：）式，得： ddstK adTVV bdVQ 21 c2ddstVQ当载荷突然全部加到被冲击物上，当载荷突然全部加到被冲击物上，211dstTKQ 由此可知由此可知, ,突加载荷的动荷系数是突加载荷的动荷系数是2 2，这时所引，这时所引起的应力和变形都是静荷应力和变形的起的应力和变形都是静荷应力和变形的2 2倍。倍。 222QvTg211dstTKQ 112vgstQ此时此时T=0T=0 1.1.若已知冲击物自高度若已知冲击