第三章能量守恒定律

1、1/1523一一、冲量、冲量 质点的动量定理质点的动量定理 动量动量vmp 3.1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理 牛顿第二定律牛顿第二定律dtd(mdtpda) mF下面分析一个力作用一个物体上下面分析一个力作用一个物体上, 经过一段时间后累积的效果经过一段时间后累积的效果.1v1tF2t2vF设力设力F作用在物体上作用在物体上, 在在t1到到t2时间内时间内, 物体物体的速度从的速度从 变化到变化到1v2vpppmmtFtt121221dvv上式两边积分上式两边积分, 得得(2)( dddvmptF则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,(1)可见可见, 冲量是描述力的时间累积

2、作用的物理量冲量是描述力的时间累积作用的物理量.冲量的冲量的单位单位是是 Ns . 冲量是冲量是过程矢量过程矢量, 其大小和方向取决于力的大小和方向及其作用时间其大小和方向取决于力的大小和方向及其作用时间.1. 冲量冲量冲量定义冲量定义: 力对时间的积分力对时间的积分(矢量矢量)21dtttFI(3)/154动量定理动量定理: 在给定的时间内在给定的时间内, 外力作用在质点上的冲量外力作用在质点上的冲量, 等于质点在此等于质点在此 时间内动量的增量时间内动量的增量. 直角坐标系中的分量形式直角坐标系中的分量形式3.1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理pppmmtFtt121221d

3、vv(2)(2)式左边是力的冲量式左边是力的冲量, 右边是质点动量的增量右边是质点动量的增量.2. 质点的动量定理质点的动量定理动量定理的数学表达式就是动量定理的数学表达式就是(2)式式.(ii) 动量定理动量定理kIjIiIIzyx(i) 冲量冲量(4)zzttzzmmtFI1221dvvyyttyymmtFI1221dvvxxttxxmmtFI1221dvv(5)(2)或或(5)式是单个质点的动量定理式是单个质点的动量定理, 如果一个体系由如果一个体系由多个质点多个质点构成构成, 结果如何结果如何 ?/155 质点系动量定理质点系动量定理: 作用于作用于系统系统的合外力的冲量等于系统动量的

4、增量的合外力的冲量等于系统动量的增量.质点系质点系1m2m12F21F1F2F3.1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理00ex0dppmmtFIiiiiiittii vv (9)(i) 作用于系统的合外力是指作用在系统内所有质点上的外力矢量和作用于系统的合外力是指作用在系统内所有质点上的外力矢量和.注意注意:(ii) 只有外力才对系统的动量变化有贡献只有外力才对系统的动量变化有贡献.(iii) 系统的内力对系统的动量变化没有贡献系统的内力对系统的动量变化没有贡献. 如两掌相击不能改变人的动量如两掌相击不能改变人的动量. ixiiixttexixxpptFI0i21d (5)直角坐标

5、系中直角坐标系中的分量形式的分量形式 iyiiiyttexiyypptFI0i21d iziiizttexizzpptFI0i21d/15二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理61vm2vmvmtpttmmtttFFtt12121221dvv动量定理常应用于求解动量定理常应用于求解碰撞问题碰撞问题的作用力大小的作用力大小. FmF2tFto1t如在木头上钉钉子的过程中如在木头上钉钉子的过程中, 作用作用时间很短时间很短, 产生的冲力很大产生的冲力很大. 因此因此才能将钉子钉进木头中才能将钉子钉进木头中.注意注意越小越小, 则则 越大越大.tF3.1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定

6、理如从高处下落的球如从高处下落的球, 被木板反弹被木板反弹, 如图所示如图所示.F在球与木板碰撞过程中在球与木板碰撞过程中, 球和木板间的相互球和木板间的相互作用力是变的作用力是变的, 如右下图所示如右下图所示.根据动量定理根据动量定理, 碰撞过程的平均作用力为碰撞过程的平均作用力为/1573.1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理应用动量定理解题的一般步骤：应用动量定理解题的一般步骤：1. 确定研究对象确定研究对象2. 分析对象受力分析对象受力, 确定哪些是外力确定哪些是外力, 哪些是内力哪些是内力.3. 选参照系建坐标系选参照系建坐标系4. 计算过程中合外力的冲量及始末态的动量计

7、算过程中合外力的冲量及始末态的动量;5. 由动量定理列方程求解由动量定理列方程求解三三、例题分析例题分析例例 1 一质量为一质量为0.05kg、速率为、速率为10ms-1的钢球的钢球, 以以与钢板法线呈与钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上角的方向撞击在钢板上,并以相同并以相同的速率和角度弹回来的速率和角度弹回来. 设碰撞时间为设碰撞时间为0.05s. 求在此求在此时间内钢板所受到的平均冲力时间内钢板所受到的平均冲力 .F1vm2vmxy解解 以钢球为研究对象以钢球为研究对象.钢球受到重力和钢板的冲力钢球受到重力和钢板的冲力, 相比较重力可忽略不计相比较重力可忽略不计.建立坐标系如图所示建立坐标

8、系如图所示.根据质点的动量定理的分量形式根据质点的动量定理的分量形式, 可列出方程并求解可列出方程并求解./158cos2 vm0sinsinvvmmtmFFxcos2 vFx的方向沿的方向沿x轴正向轴正向. Fx是钢板对钢球的冲力是钢板对钢球的冲力. xxxmmtF12vv )cos(cosvvmmyyymmtF12vv 3.1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理yyttyymmtFI1221dvvxxttxxmmtFI1221dvv由由得得, 由此可得由此可得, 0yFN1 .1421005. 045cos1005. 0201vm2vmxyFx根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律,

9、钢球对钢板的冲力钢球对钢板的冲力F x大小为大小为14.1N, 方向沿方向沿x轴负方向轴负方向.F x/1593.2 动量守恒定律动量守恒定律二、质点二、质点系系动量守恒定律动量守恒定律一、质点动量守恒定律一、质点动量守恒定律(1)式的意义式的意义: 在某一过程中在某一过程中, 当质点所受合外力为零时当质点所受合外力为零时, 质点动量守恒质点动量守恒.2121,mmPP或(1)121221dppmmtFttvv根据质点动量定理根据质点动量定理可得到可得到, 若若质点所受的质点所受的合外力为零合外力为零 , 即即0F则质点的总动量保持不变则质点的总动量保持不变, 即即 iiiittiipptFI

10、0ex0d根据质点系动量定理根据质点系动量定理0exexiiFF可得到可得到, 若若质点系所受的质点系所受的合外力为零合外力为零 , 即即(2)iiiipp0(3)(2)式表明式表明, 体系在任意时刻的总动量等于初始时刻的总动量体系在任意时刻的总动量等于初始时刻的总动量.动量守恒定律动量守恒定律: 当当系统系统所受合外力为零时所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变系统的总动量保持不变(守恒守恒)./1510(i) 系统的系统的动量守恒动量守恒是指系统的是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的.3.2 动量守恒定律动量守恒定律三、直角坐标系下的

11、动量守恒定律三、直角坐标系下的动量守恒定律常量当ixixiexixmPF, 0(4)式表明式表明, 当系统在某一方向上当系统在某一方向上 的合外力为零时的合外力为零时,系统动量在该方向的分量守恒系统动量在该方向的分量守恒.常量当iyiyiexiymPF, 0常量当iziziexizmPF, 0(4)四、注意点四、注意点(ii) 各物体的动量必各物体的动量必相相 对于对于同一惯性参考系同一惯性参考系. (iii) 守恒条件守恒条件: 合外力为零合外力为零 0exexiiFF但当但当 时时, 可可 略去外力的作用略去外力的作用, 近似地认为系统动量守恒近似地认为系统动量守恒. inexFF例如在碰

12、撞例如在碰撞, 打击打击, 爆炸等问题中爆炸等问题中. 这些情况下这些情况下, 外力远小于内力外力远小于内力, 动量近似守恒动量近似守恒.(iv) 动量守恒定律只在动量守恒定律只在惯性参考系惯性参考系中成立中成立, 是自然界最普遍是自然界最普遍, 最基本的定律之一最基本的定律之一./1511例例 1 设有一静止的原子核设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个 新的原子核新的原子核. 已知电子和中微子的运动方向互相垂直已知电子和中微子的运动方向互相垂直, 且电子动量为且电子动量为 1.210-22 kgms-1,中微子的动量为中微子的动

13、量为6.410-23 kgms-1 . 问新的原子核问新的原子核的的 动量的值和方向如何动量的值和方向如何?解解 由于衰变的过程非常迅速由于衰变的过程非常迅速, 且衰变过程中且衰变过程中, 粒子间的内力远大于外界粒子间的内力远大于外界 的作用力的作用力. 因此衰变过程中可以近似地看成合外力为零因此衰变过程中可以近似地看成合外力为零. 0Neppp即即3.2 动量守恒定律动量守恒定律根据动量守恒定律可知衰变过程前后系统的总动量守恒根据动量守恒定律可知衰变过程前后系统的总动量守恒.inexiiFF即即00iipp即即ep NppNpNeppp即即又因为又因为epp Np 22e2pppN所以所以/

14、15123.2 动量守恒定律动量守恒定律ep NppNp Np 22e2pppN1-23106.4 smkgp122e102 . 1smkgp将将和和代入上式代入上式, 得新原子核的动量大小为得新原子核的动量大小为 22322222e)104 . 6()102 . 1 ( pppN122221036. 1108496. 1smkg设新原子核的动量方向与中微子动量方向的夹角为设新原子核的动量方向与中微子动量方向的夹角为 , 则由图可得则由图可得Nepptg875. 11064. 0102 . 12322093.61则则000007.11893.61180180即衰变产生的新原子核的运动方向与中微

15、子运动方向成即衰变产生的新原子核的运动方向与中微子运动方向成118.070的夹角的夹角./1513 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）功是标量，过程量）sFrFWdcosdcosdrFWdd一一 功功 力的力的空间累积空间累积效应效应: WrF ，动能定理动能定理.FrdiF1drirdB*i1A1F对对 积累积累3.4 动能定理动能定理14BABArFrFWdcosd 合力的功合力的功 = 分力的功的代数和分力的功的代数和 iiiiWrFrFWddcosFArBrrdro 变力的功变力的功

16、rFWdd15tWP 平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率vFtWtWPtddlim0cosvFP 功率的单位功率的单位 （瓦特）瓦特）W10kW131sJ1W1二、功率二、功率 为了反映力做功的快慢为了反映力做功的快慢, 物理学中用单位时间内做的功来表物理学中用单位时间内做的功来表示示, 即功率即功率.定义定义: 功随时间的变化率叫做功率功随时间的变化率叫做功率.dtdWP 16二二 质点的动能定理质点的动能定理21222121dddd2121vvvvvvvvvmmmstmW 动能（动能（状态状态函数函数）mpmE22122kv 动能定理动能定理k1k2EEW 合合外力对外力对质点质点所作的功

17、所作的功,等于质点动能的等于质点动能的增量增量 . 功和动能都与功和动能都与 参考系参考系有关；动能定理有关；动能定理仅适用于仅适用于惯性系惯性系 .注意注意17P 例例 2 一质量为一质量为1.0kg 的小球系在长为的小球系在长为1.0m 细绳下细绳下 端端 , 绳的上端固定在天花板上绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直起初把绳子放在与竖直线成线成 角处角处, 然后放手使小球沿圆弧下落然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与试求绳与竖直线成竖直线成 角时小球的速率角时小球的速率 .3010sPsFsFWddddT解解 )cos(cos0 mglcosddmglsPdsinmgl0d

18、sinmglWdl0vTFsd18)cos(cos0 mglW由动能定理由动能定理2022121vvmmW得得)cos(cos20glv1sm53. 1Pdl0vTFsdkg0 .1mm0 . 1l3001019保守力保守力: 力所做的功与路径无关力所做的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的，仅决定于相互作用质点的始末始末相对相对位置位置.一、保守力做功的数学表达式一、保守力做功的数学表达式 非保守力非保守力ADBACBrFrFd d ABCD3.5 保守力与非保守力保守力与非保守力 势势 能能因此因此, 对任意保守力对任意保守力 , 在在AB两点间所做的功有如下特点两点间所做的功有如下特点.

19、FBDAADBrFrFd d BDAACBrFrFd d 当质点沿任意路径运动一周时当质点沿任意路径运动一周时,保守力保守力 所做的功为所做的功为 F物体沿物体沿任意闭合路径任意闭合路径运动运动 一周时一周时, 保守力对它所保守力对它所做的功做的功等于等于零零.ACBACBBDAACBlrFrFrFrFrF0d d d d d(7)()(ABrmmGrmmGW万有引力功：万有引力功：(1)(ABmgzmgzW重力功重力功(3)2121(22ABkxkxW弹性力功弹性力功(5)/1520三、势能三、势能1. 势能势能 与物体间相互作用及相对与物体间相互作用及相对位置位置有关的能量有关的能量. 2

20、. 保守力的功与势能的关系保守力的功与势能的关系3.5 保守力与非保守力保守力与非保守力 势势 能能非保守力非保守力: 力所作的功与路径力所作的功与路径有关有关.（例如（例如摩擦摩擦力力）)()(ABrmmGrmmGW引力功引力功是位置的函数是位置的函数.)(ABmgzmgzW重力做功重力做功是位置的函数是位置的函数.)2121(22ABkxkxW弹力功弹力功是位置的函数是位置的函数.引力势能引力势能rmmGEp(8)重力势能重力势能mgzE p(9)弹性势能弹性势能2p21kxE(10)zrmm xxoP1p2p)(EEEW(11)保守力所做的功等于系统势能增量的负值保守力所做的功等于系统势

21、能增量的负值./1521 势能具有势能具有相对相对性性, 势能势能大小大小与势能与势能零点零点的选取的选取有关有关.),(ppzyxEE 势能是势能是状态状态函数函数00pE如令如令讨论讨论 势能计算势能计算pp0p)(EEEW3.5 保守力与非保守力保守力与非保守力 势势 能能势能零点可任意选取势能零点可任意选取, 原则是使问题求解方便原则是使问题求解方便.引力势能通常选无限远处为势能零点引力势能通常选无限远处为势能零点; 重力势能通常选地面为势能零点重力势能通常选地面为势能零点; 弹性势能通常选平衡位置为势能零点弹性势能通常选平衡位置为势能零点; 通过计算保守力做功可以计算势能通过计算保守

22、力做功可以计算势能(零点确定的前提下零点确定的前提下).反之反之, 通过计算势能的改变可以计算保守力所做的功通过计算势能的改变可以计算保守力所做的功.0),(pp0d),(EzyxprFzyxE则有则有(12)(12)式表明式表明, 某点的势能大小等于保守力从某点的势能大小等于保守力从该点该点到势能零点所做的功到势能零点所做的功./15EPA=0AB22 四、势能曲线四、势能曲线0, 0pExpEzOmgzEp重力重力势能曲线势能曲线0, 0pEz0,pEr弹性弹性势能曲线势能曲线xOpE2p21kxE引力引力势能曲线势能曲线xOpErmmGEp3.5 保守力与非保守力保守力与非保守力 势势

23、能能势能是空间位置的函数势能是空间位置的函数, 将这种函数用图形表示就称为势能曲线将这种函数用图形表示就称为势能曲线.从势能曲线上可以看出势能随位置的变化规律从势能曲线上可以看出势能随位置的变化规律./1523一、质点系的动能定理一、质点系的动能定理1m2mimexiFiniF3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律质点的动能质点的动能 : 221mEk质点的势能质点的势能 : pE质点质点的动能定理的动能定理12kkEEW质点质点系系的动能与力做功的关系如何的动能与力做功的关系如何 ?如图所示如图所示, 是一个有是一个有n个质点组成的质点系个质点组成的质点系.质点系中的任意一个

24、质点通常既受内力又受外力作用质点系中的任意一个质点通常既受内力又受外力作用.质点系的动能的增量等于作用于质点系的质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切一切外力外力和和一切一切内力内力所做的功之和所做的功之和. 质点质点系系动能定理动能定理 0kk0kkinexEEEEWWiiii(1)/1424二、质点系的功能原理二、质点系的功能原理3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律内力和外力一样内力和外力一样, 可以改变质点系的动能可以改变质点系的动能.注意注意质点系的动能的增量等于作用于质点系的质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切一切外力外力和和一切一切内力内力所做的功之和所做的

25、功之和.作用于质点系的力有保守力和非保守力作用于质点系的力有保守力和非保守力, 它们做功的特点不同它们做功的特点不同. 质点质点系系动能定理动能定理 0kk0kkinexEEEEWWiiii(1)00p0kpkinncex)()(EEEEEEWWiiii(4)式中式中, iiEEEpiki(5)是系统的是系统的总总机械能机械能.机械能机械能 - 动能和势能统称动能和势能统称./1425三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律: 只有保守内力作功的情况下只有保守内力作功的情况下, 质点系的机械能保持不变质点系的机械能保持不变. 3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械

26、能守恒定律机械能机械能pkEEE0inncexEEWW 质点质点的功能原理的功能原理: 质点系质点系总总机械能的增量等于机械能的增量等于外外力和力和非非保守保守内内力作功之和力作功之和.保守力做功不改变质点系的总机械能保守力做功不改变质点系的总机械能.)(0pp0kkEEEE(6)式还可表示为式还可表示为,由由(6)式或式或(7)式可见式可见, 在外力和非保守内力不做功时在外力和非保守内力不做功时, 质点系内的动能和势能可以相互转质点系内的动能和势能可以相互转换换, 但动能和势能之和是不变的但动能和势能之和是不变的. 动能和势能的转换是通过保守内力做功而实现的动能和势能的转换是通过保守内力做功

27、而实现的.pkEE即即0pkEE或或(7)/1426例例 1 如图的系统如图的系统, 物体物体 A, B 置于光滑的桌面上置于光滑的桌面上, 物体物体 A 和和 C, B 和和 D 之间摩之间摩擦因数均不为零擦因数均不为零, 首先用外力沿水平方向相向推压首先用外力沿水平方向相向推压 A 和和 B, 使弹簧压缩使弹簧压缩, 后拆后拆除外力除外力, 则则 A 和和 B 弹开过程中弹开过程中, 对对 A、B、C、D 组成的系统组成的系统,有有 （A）动量守恒，机械能守恒）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒）动量不守恒，机械能守恒. （C）动量不守恒，机械能不守恒）动量不守恒，机械

28、能不守恒. （D）动量守恒，机械能不一定守恒）动量守恒，机械能不一定守恒.DBCA3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律四、例题分析四、例题分析DBCA例例 2 一雪橇从高度为一雪橇从高度为50m 的山顶上点的山顶上点A沿冰沿冰道由静止下滑道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为山顶到山下的坡道长为500m. 雪雪橇滑至山下点橇滑至山下点B后后,又沿水平冰道继续滑行又沿水平冰道继续滑行,滑行滑行若干米后停止在若干米后停止在C处处.若摩擦因数为若摩擦因数为0.050 .求此求此雪橇沿水平冰道滑行的路程雪橇沿水平冰道滑行的路程.(点点B附近可视为连附近可视为连续弯曲的滑道续弯曲的滑道.忽

29、略空气阻力忽略空气阻力.)本题可以直接用牛顿定律求解本题可以直接用牛顿定律求解, 但解题步骤较多但解题步骤较多.若用功能原理求解则较简捷若用功能原理求解则较简捷./1427NFfFPsinPcosPh s已知已知 , m500 , 050. 0 , m50sh求求 s解解 雪橇在坡道上和水平冰道上的受力如上图所示雪橇在坡道上和水平冰道上的受力如上图所示.12fEEW3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律以雪橇、冰道和地球为一以雪橇、冰道和地球为一系统系统, 支持力和压力不做功支持力和压力不做功, 重力是保守力重力是保守力.P2NF2fF而非保守摩擦力做功而非保守摩擦力做功. 因

30、此由功能原理可得因此由功能原理可得因此因此, 摩擦力在坡道上做功为摩擦力在坡道上做功为 coscosf1mgsdsmgdsFWBABAf坡道上的摩擦力为坡道上的摩擦力为cosfmgFFN/1428mghssmg)(可得可得12fEEW由功能原理由功能原理3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律mghEE12初末态机械能的变化为初末态机械能的变化为)( cos fssmgmgssmgW因此因此, 摩擦力在水平冰道上做功为摩擦力在水平冰道上做功为smgmgdsdsFWf 2f2水平冰道上的摩擦力为水平冰道上的摩擦力为mgFFN2f2初态雪橇的机械能为初态雪橇的机械能为(以水平冰道处的

31、势能为零以水平冰道处的势能为零)mghEEEpk111末态雪橇的机械能为末态雪橇的机械能为0222pkEEEm500500100050005. 050 shs即即即雪橇沿水平冰道滑行的距离为即雪橇沿水平冰道滑行的距离为500米米.NFfFPsinPcosPh sP2NF2fF/1429例例3 有一轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点有一轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为，另一端系一质量为 m 的小球，小球穿过圆环并在圆环上运动的小球，小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦不计摩擦).开始小球静止于点开始小球静止于点 A, 弹簧处于自然状态弹簧处于自然状态,其长度为圆环半

32、径其长度为圆环半径R ;当小球运动到圆环的底端点当小球运动到圆环的底端点B 时时,小球对圆环没有压力小球对圆环没有压力.求弹簧的劲度系数求弹簧的劲度系数.解解 以弹簧、小球和地球为一系统，以弹簧、小球和地球为一系统，因为小球在因为小球在AB内内只有保守内力做功只有保守内力做功所以系统机械能守恒所以系统机械能守恒, 即即ABEE 取图中点取图中点B为重力势能零点为重力势能零点3.6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律)30sin2(212122mgRmghkRmBv在在B点处由牛顿第二定律得点处由牛顿第二定律得 由上述两式由上述两式, 可以解得可以解得,RmmamgkRBn2v)30sin2(212kRmgRRmg