第1章复数与复变函数

1、v 复变函数与积分变换，实际上是两门课，都属复变函数与积分变换，实际上是两门课，都属 于工程数学于工程数学. v 第第1章到第章到第6章是属于复变函数，复变函数论章是属于复变函数，复变函数论 发展到今天已成为一个内容非常丰富、应用极发展到今天已成为一个内容非常丰富、应用极 为广泛的数学分支为广泛的数学分支. 作为大学必修课程的复变作为大学必修课程的复变 函数主要讲述解析函数的基本理论和有关方法，函数主要讲述解析函数的基本理论和有关方法，通常它包含以下三方面内容：通常它包含以下三方面内容：qCauchy积分理论积分理论qWeierstrass级数理论级数理论qRiemann保形映照理论保形映照理

2、论.v 第第7,8章是属于积分变换，主要包括傅里叶章是属于积分变换，主要包括傅里叶 (Fourier)和拉普拉斯和拉普拉斯(Laplace)积分变换积分变换.一、复数域、扩充复平面及其球面表示一、复数域、扩充复平面及其球面表示 在中学代数中已经知道，虚数单位在中学代数中已经知道，虚数单位 具有性质具有性质 ，将，将这一虚数单位与两个实数这一虚数单位与两个实数 用加、乘结合起来得到复数用加、乘结合起来得到复数i2i1 , xyizxy 分别称为复数分别称为复数 的的实部实部与与虚部虚部记为记为 . .zRe, Imzxzy, x y 复数的四则运算为复数的四则运算为11221212(i )(i)

3、()i()xyxyxxyy11221 2121221(i )(i)()i()xyxyx xy yx yx y若若 ，22i0 xy111122121221122222222222i(i )(i)()i()i(i)(i)xyxyxyx xy yx yx yxyxyxyxy1212zzxx12.yy 两复数两复数相等相等当且仅当实部与虚部相等，当且仅当实部与虚部相等，i.e.i.e. 和和 若复数若复数 ，则，则 称为称为 的的共轭复数共轭复数，记作，记作 . izxyixyzz而而 称为称为 的的绝对值绝对值（模模），22zxyzRe, Im22izzzzzz1112121 21222z, ,

4、() ,zzzzzz zzzzz，记，记 . . 22zzxy2z于是于是0z 1 212,z zz z11222 (0),zzzzz22212121 212122Re,zzzzz zzzzz显然显然 ， 对于平面上一个给定的直角对于平面上一个给定的直角坐标系来说，复数坐标系来说，复数 可可以用坐标为以用坐标为 的点来表示的点来表示. 轴为实轴，轴为实轴， 轴为虚轴，所轴为虚轴，所在平面称为在平面称为复平面复平面，记作，记作 .（见图（见图1.1） izxy( , )x yxyizxy( , )P x yx实轴r0y虚轴复平面图图1.1 一个复数不仅可以用一点来表示，而且可以用一个由一个复数不

5、仅可以用一点来表示，而且可以用一个由原点指向这点的向量来表示，这个复数、这个点、这个原点指向这点的向量来表示，这个复数、这个点、这个向量都以同一字母向量都以同一字母 来表示之来表示之.z 任一向量作平行移动后得到的所有向量都视为与原向量任一向量作平行移动后得到的所有向量都视为与原向量恒等恒等. 于是复数的加法成为向量的加法于是复数的加法成为向量的加法. 而复数的公式往往而复数的公式往往赋有几何意义，例如赋有几何意义，例如 表示向量长度，表示向量长度， 表表示三角形两边之和大于第三边，等等示三角形两边之和大于第三边，等等. a1212zzzz 对复数也可引入极坐标对复数也可引入极坐标 复数复数也

6、称为复数也称为复数 的的三角表示式三角表示式. 显然，显然， ， 称为复数称为复数 的的模模. 称为复数称为复数 的的辐角辐角，记，记 辐角辐角 有无穷多值有无穷多值,彼此相差彼此相差 的整数倍的整数倍. 通常把满足通常把满足 的辐角值的辐角值称为称为 的主值，记为的主值，记为 ，于是，于是( , ),ri(cosisin ),zxyr z|rzrzzArgzArg . z2ArgzargzArgarg2()zzkk 用复数的极坐标来表示两复数的乘、除法、乘方以及开用复数的极坐标来表示两复数的乘、除法、乘方以及开方，有时很方便方，有时很方便. 如果如果 则则 两复数相乘，积的模为模的积，积的辐

7、角为辐角的和两复数相乘，积的模为模的积，积的辐角为辐角的和. 进而进而11112222(cosisin),(cosisin)zrzr1 21 21212cos()isin()z zrr(cosisin)nnzrnn，不难知道，不难知道1122222(0)zz zzzz11121222,ArgArgArgzzzzzzzz0, zw 2nwz nwzn.nz ，使得，使得 ，则称，则称 为为 的的 次次方根方根，记为记为设设 ，则，则 .ii, zreweiinnere,2 ()nrnkk 从而从而解出后解出后（算术根），（算术根），2knnr因此，因此， 的的 次方根为次方根为zn2i22(co

8、sisin)knnnnkkkwzrernn （i）当当 时，得到时，得到 个相异的根个相异的根 （ii）当当 以其他整数值代入时，上述根又重复出现以其他整数值代入时，上述根又重复出现. 0,1,2,1knn011,.nw wwk 例例1将将 写成三角形式写成三角形式 i 解：解：令令 i,(cosisin )zzr 由由 2233(cos2isin2 )icosisin22zr 231, 222rk31, 4rk ，0,1k 33cosisin44i77cosisin44 例例2假设假设 ， ，试证只有，试证只有 时时 才是实数才是实数.izxy0,iyz 221xy21zz 证：证： 实数实

9、数 从从 得得 ，故，故 21zz22222()111zzzzzzzz zzzz()(1)0zzzz0y 0zz 222211011zzzzxy 例例3试证试证 1()()2xyzxy 证：证：22222222()2()(2)()0zxyxyxyx yxy221(),2xyz1()2xyz又因又因ii,zxyxyxy1()()2xyzxy 例例4 在一直线上的条件是在一直线上的条件是 为实数为实数, 试证明之试证明之.123,z z z1323zzzz 证：证： 在一直线上的条件是在一直线上的条件是以线段以线段 与线段与线段 为两边的角为两边的角 是是 的整数倍，即的整数倍，即123,z z

10、z23z z13z z1 32z z z1323argzznzzy13zz23zzx01.2图 平面图形用复数形式表示，有时平面图形用复数形式表示，有时很简单很简单. 若若 ， 为一固定的复数，为一固定的复数， 为一固定的实数，为一固定的实数，则则 表示一个以表示一个以 为中心，为中心， 为半径的圆盘，记为半径的圆盘，记作作 . 同样，同样，izxyr0zzr0z0zr0(, )D z r 上半平面上半平面 ； 右半平面右半平面 等等等等 .Im0z Re0z 引入坐标，得到复平面引入坐标，得到复平面 ，但如何来处理无穷远点？，但如何来处理无穷远点？在复变函数论中，引入一个点，叫做在复变函数论

11、中，引入一个点，叫做无穷远点无穷远点，记作，记作 ， 称为称为扩充复扩充复平面平面，它的几何模型称，它的几何模型称为为复球面复球面，如图，如图1.3： 球面球面 上任意点（除点上任意点（除点 外）外） 与复平面上的与复平面上的点点 一一对应，反之亦一一对应，反之亦然然. 但是在复平面但是在复平面 上上引进无穷远点引进无穷远点 与球面与球面 上上 点对应点对应.NPQNaaa aa (0),00aaa 以此来扩展以此来扩展 . 有限复数有限复数 ，NPQ0yx图图1.3 二、复平面的点集，复变函数二、复平面的点集，复变函数 的的 邻域邻域： 1( ) Nzz ，称为，称为 的的内点内点：若：若

12、使得使得 . .0zGG00()NzG 称为称为 的的界点界点：若：若 以及以及0zG0,0()cNzG 0().NzG 若若 的每个点皆为内点，则称的每个点皆为内点，则称 为为开集开集. . 若若 的所有的所有极限点都属于极限点都属于 ，则，则 称为称为闭集闭集. . 全部边界点组成的集，全部边界点组成的集，称为称为 的的边界边界，记为，记为 . . GGGGGGG0z00() Nzzzz 的的 邻域邻域： G 1基本概念基本概念 设设 为复数点集（平面点集）为复数点集（平面点集）. 2区域、曲线区域、曲线 非空平面点集非空平面点集 称为称为区域区域：若它满足：若它满足 （1） 为开集；为开

13、集； （2） 是是连通的连通的，就是说，就是说 中任何两点都可以用一条完中任何两点都可以用一条完 全属于全属于 内的折线连接起来内的折线连接起来. DDDDD 设已给曲线设已给曲线 ：( )( )i ( )()zz tx ty tt 区域区域 加上它的边界称为加上它的边界称为闭区域闭区域.D如如 ， ，则，则 叫做叫做连续曲线连续曲线.( )x t( ) ,y tC 若若 ，即没有重点的连续曲线叫做，即没有重点的连续曲线叫做简简单曲线单曲线，当，当 时，则称为时，则称为简单闭曲线简单闭曲线. 1212( )( )ttz tz t( )( )zz 若在若在 上恒有上恒有 ，且，且 、 ，则称为，

14、则称为光滑曲线光滑曲线；若一条曲线由有限条光；若一条曲线由有限条光滑曲线连接而成，则称为滑曲线连接而成，则称为逐（按）段光滑曲线逐（按）段光滑曲线. ,( )( )i( )0z tx ty t( )x t( ) ,y tC 一个区域一个区域 ，若在，若在 内任作一条简单闭曲线，其内部仍内任作一条简单闭曲线，其内部仍全含于全含于 ，则称，则称 为为单连通区域单连通区域；否则称为；否则称为多连通区域多连通区域. DDDD 这里，我们承认一条简单闭曲线将平面分为这里，我们承认一条简单闭曲线将平面分为内部内部和和外部外部. 设设 是一个复数集，如果对是一个复数集，如果对 中的任一复数中的任一复数 ，通

15、过一，通过一个确定的规则有一个或若干个复数个确定的规则有一个或若干个复数 与之对应，就说在与之对应，就说在上定义了一个上定义了一个复变函数复变函数，记为，记为 . GwG( )wf zzG 3复变函数定义，极限，连续性复变函数定义，极限，连续性 Gzw( )f z( )wf z*( )Gf G( )wf z 如果如果 的一个值对应着一个的一个值对应着一个 值值, , 那么称那么称 是是单值的单值的否则就称是否则就称是多值的多值的. 称为称为 的的定义域定义域, , 称称为为 的的值域值域. 例如例如 ， ， 及及 均为均为 的的单值函数；单值函数； （ 整数）及整数）及 均为均为 的多值函数的

16、多值函数. wzwz2wz1(1)1zwzzznwz0,2znA rg (0)wz zz 当当 为单值时，其反函数为单值时，其反函数 可能是多值的可能是多值的. 当函数当函数及其反函数都是单值函数时，则称这种函数是及其反函数都是单值函数时，则称这种函数是双方单值的双方单值的. ( )f z()w 对于对于 中的每一个中的每一个 ，一定存在一个或若干个，一定存在一个或若干个值与之对应，这就定义了值与之对应，这就定义了 上的一个函数上的一个函数. 或记为或记为 *( )Gf Gwz*G( )zw1( )zfw( )wf z称为称为 的的反函数反函数. 设复变函数设复变函数 在在 的去心邻域的去心邻

17、域 内有内有定义，定义， ，对，对 ，若，若 ，使得当，使得当 时，有时，有 . 则称则称 为当为当 趋向于趋向于 时，函数时，函数的的极限极限，记为，记为 或当或当 时时 ， . ( )wf z0z00zzA0 000zz|( )|f zAAz0z( )f z0lim( )zzf zA0zz( )f zA 关于复变函数的极限与连续性关于复变函数的极限与连续性. 注注1 趋向趋向 是按任意的方式进行的通常用是按任意的方式进行的通常用“方式方式”这这一术语，以区别一术语，以区别“方向方向”一词，具体地说，即使当一词，具体地说，即使当 沿任沿任何射线方向趋向于何射线方向趋向于 时，时， 都趋向于数

18、都趋向于数 ，还不能说，还不能说 在点在点 以以 为极限为极限. z0zz0z( )f zA( )f z0zA 注注2 对极限概念可作一几何说明：对极限概念可作一几何说明： 首先留意不等式首先留意不等式 所确定的是所确定的是 平面上的一个去心邻域，即除平面上的一个去心邻域，即除去了中心去了中心 的一个的一个 邻域邻域. 00zzz0z 在点在点 以以 为极限的意思是：先在为极限的意思是：先在 平面上给定一平面上给定一个以个以 为心为心, , 为半径的圆，而后能找到为半径的圆，而后能找到 的一个去心的一个去心 邻域，使得邻域，使得 中含于此去心邻域内的点的象都在上述中含于此去心邻域内的点的象都在

19、上述 圆圆内内. 先、后顺序关系：先、后顺序关系： 圆是先给的，去心的圆是先给的，去心的 邻域则是邻域则是后找的后找的. ( )f zAwA0z0zDA0zyx0z 平面u0yw平面图图1.4 下面的结论成立，它们的证明方法与工数里的相应结下面的结论成立，它们的证明方法与工数里的相应结论是类似的论是类似的. 若若 在点在点 有极限，则其极限是唯一的有极限，则其极限是唯一的. 若若 ， ，则，则 ( )f z0z0lim( )zzf zA0lim ( )zzg zB i. 0lim ( )( )zzf zg zABii. 0lim( )( )zzf zg zA Biii. 0( )lim (0)

20、.( )zzf zABg zB； ； 证：证：由不等式由不等式22,()().ua vbuavbuavb 在极限定义中，若极限在极限定义中，若极限 为函数为函数 在点在点 的值的值 即即A( )f z0z0(),f z00lim( )()zzf zf z则说则说 在点在点 连续连续. ( )f z0z 定理定理1 设设 ， ，则，则 ( )( , )i ( , )f zu x yv x yiAab0lim( )zzf zA00lim ( , )xxyyu x ya00lim ( , )xxyyv x yb且且 定理定理2 设设 ，在点，在点 连续连续 在在点点 连续连续. ( )if zuv0

21、00izxy、u v00(,)xy 例例1 求下列极限值求下列极限值 （1） ，（，（2） 0limzzz2i1lim1zziizxyzxy 解：解：（1）令）令 ，则，则 ，沿直线，沿直线 ， 趋于趋于0时，时，izxyymxz00i1 ilimlimi1 ixxy mxzxmxmzxmxm 它随它随 值而作各式各样变化，故值而作各式各样变化，故 不存在不存在. m0lim /zz z（2） 2ilim(1)0zz2i1lim1zz 例例2 问下列函数在原点连续吗？问下列函数在原点连续吗？ （1） （2）0 0( )Re / 0zf zzzz0 0( )Im /(1) 0zf zzzz 解：解：（1）令）令 ，则，则 沿半直线沿半直线 时时 izxy22Re zxzxy(0),ymx x0z 222220000Re1limlimlim11zxxy mxxzxxzxm xxmm 不存在，因此在不存在，因此在 不连续不连续. 0lim( )zf z0z （2）令）令 ，则，则 ， 故故 在在 连续连续. izxy 22Im(1)1zyzxy220( , )(0,0)lim ( )lim0(0)1zx yyf z