电路理论基础(哈尔滨工业大学陈希有第3版)10

1、第十章第十章 线性动态电路暂态过程的时域分析线性动态电路暂态过程的时域分析1 动态电路的暂态过程 3 一阶电路的零输入响应2 电路量的初值 6 一阶电路的全响应 4 阶跃函数和冲激函数 5 一阶电路的零状态响应10 状态变量分析法 7 求一阶电路暂态过程解的三要素公式8 卷积积分 9 二阶电路的暂态过程 动态电路的暂态过程分析是电路理论的重要内容，本章讨论线性动态电路暂态过程的时域分析。首先介绍动态电路的暂态过程，建立时域分析法的基本思路。然后重点介绍求解一阶电路的三要素法及其相关概念。其次讨论卷积积分及二阶电路在不同条件下解的特点。最后简要介绍状态方程的概念。 提要 10.1动态电路的暂态过

2、程暂态稳态稳态动态电路动态电路电阻电路电阻电路换路直接跃变无过渡过程基本要求：了解动态电路暂态过程及时域分析的基本概念。基本要求：了解动态电路暂态过程及时域分析的基本概念。稳态稳态时域分析法时域分析法(time domain analysis) 以时间为主变量列写电路的微分方程并确定初始条件，通过求解微分方程获得电压、电流的时间函数(变化规律)。0,)()(StUtutRiC图示电路换路后的KVL方程为ttuCtiCd)(d)(式中SddUutuRCCC代入上式，得初始值初始值u(0+)、i(0+) 、q(0+) 、 (0+)换路之后，电路量将从其初始值开始变动。10.2电路量的初始值1 电容

3、电压uC和电感电流iL初始值的确定 tCCitCutqd)()()(设在线性电容上电压和电流参考方向相同，则有0000d)(d)(d)()0()0(CCCCiiiCuq电容电荷的初始值可表示为00d)()0()0()0(CCiqCuq式中等号右端第一项积分表示t=0-时的电荷q(0-), 故)0()0( qq)0()0(CCuu若在t=0瞬间电容电流有界，则上式积分项必为零，于是得到)0()0()0()0(LLii应用对偶原理有：换路定律换路定律 基本要求：熟练计算电路量的初始值。基本要求：熟练计算电路量的初始值。2 除uC 、 iL之外各电压电流初始值的确定在 t=0+ 瞬间 电容相当于电压

4、源； 电感相当于电流源。于是电路将成为电阻电路，可用分析直流电路的各种方法来求解。 依据电路的结构约束和元件约束，在t=0+瞬间有：0)0( i0)0(u)0()0(RRRiu)0()0(RRGui)0()0(CCuu)0()0(LLiiKVLKCL电阻元件或电感元件电容元件例题10.1图(a)所示电路，在t0时电路的微分方程：0ddCCCCCRutuRCuRiuut0基本要求：掌握一阶电路零输入响应的计算，理解时间常数的含义。基本要求：掌握一阶电路零输入响应的计算，理解时间常数的含义。0)0()0(UuuCC根据换路定律CuRCiCRu01RCp特征方程0ddCCCCCRutuRCuRiuu

5、RCp1RCtptCAAuee通解特征根00e)0(UAAuC代入初值-0(0 )ee0ttRCRCCCuuUt0de(0)dtCCRCCuuUiCtRtR RC电路的零输入响应时间常数时间常数 (单位s)RC可见uC和iC的衰减速率取决于RC之积 。令-0(0 )ee0ttRCRCCCuuUt0de(0)dtCCRCCuuUiCtRtR 00.007U00.018U00.05U00.135U00.368U0U0uC(t)54320t 对放电时间的影响 对放电时间的影响对放电时间的影响经过 35 的时间,放电基本结束。 时间常数时间常数 的理解 CuRCiCRu放电过程中的能量传递放电过程中的

6、能量传递2/2CCCuw 电容储能越多C越大 越大RupR/2R越大电阻消耗功率越小放电时间越长2000020221d)e(d)(d)(CUtRRUtRtittpRCtCR电阻所消耗的能量202221)0(21)0(21)0(CUCuCuWCCe电容的原始储能RC电路的零输入响应2 RL电路的零输入响应 0 RLpLRp特征根特征方程/eee)(ttLRptLAAAti通解0)0()0(IiiLL换路定律d0dLLRLiuuLRitKVL方程RL时间常数(单位:s)0(edd/0tRItiLRiutLLL)0(ee )0()(/0/tIitittLL00e)0(IAAiLt0/0( )(0 )

7、ee(0)ttLLi tiIt/0de(0)dtLLLiuRiLRItt 2/2LLLiw 电感储能越多L越大 越大2LRip R越小电阻消耗功率越小放电时间越长换路时电感两端可能出现很高的瞬间电压 =L/R 例题10.2t0+时， V105 . 3)V105 . 335()0(44ku 图示电路，已知US=35V，R1=5，R1=5k，L=0.4H。t0时的电流iL及开关两端电压uk 。解s108A7)0()0(5211SRRLRLRUiiLL iL的初始值及时间常数分别为)0()Ve105 . 335(41025. 142S2StiRUuUutLk再由KVL求得断开含电感的电路时，开关可能

8、承受很高的电压。 )0(Ae7e )0(41025. 1/tiittLL根据 得/0( )(0 )ee(0)ttLLi tiIt等效为1单位阶跃函数u(t)的波形阶跃函数阶跃函数)0(1)0(0)(ttt单位阶跃函数单位阶跃函数1t)(t(d)O若幅值为1基本要求：掌握单位阶跃函数与单位冲激函数的定义及其相互关系。基本要求：掌握单位阶跃函数与单位冲激函数的定义及其相互关系。1t)(0tt 0tO延迟单位阶跃函数延迟单位阶跃函数)(1)(0)(000tttttt阶跃发生在t=t0时刻)()()(0ttttG1t)(tG0t(b)O1t)(tO二者相减得二者相减得到脉冲函数到脉冲函数 )()()(

9、)(01tttAtAGtf)()()()(02tttBttBtGtf 构造一般的脉冲函数构造一般的脉冲函数 单位脉冲：单位脉冲：强度等于1的脉冲。 脉冲强度2单位脉冲函数3单位冲激函数单位脉冲函数的宽度趋于零单位冲激函数定义单位冲激函数定义1d)(000)(ttttt奇异)(0tt 延迟单位冲激函数 冲激强度冲激强度)()()()(11tttttt)()()()()()0()()(111tttftttftfttf)(d)()()0(d)()(11tfttttfftttftttttt)(d)()(d)(11)()(dd)()()(dd)(111ttttttttttt4.单位冲激函数的性质 电路中

10、储能元件的原始储能为零即uC(0+)=0，iL(0+)=0，仅由独立电源作用引起的响应称为零状态响应零状态响应(zero-state response)。10.5一阶电路的零状态响应1一阶电路在正弦电源作用下的零状态响应 其中 u 是开关接通时刻的 uS 相位，称为接入相角接入相角。)cos(umStUu设图示电路中，uS 为正弦电压源：t0 时, 电路的微分方程和初始值分别为SdduRitiLLL0)0()0(LLii其通解iL的组成 hpLLLiii特解通解基本要求：掌握一阶电路的零状态响应的计算；理解强制分量与自由分量、稳态分基本要求：掌握一阶电路的零状态响应的计算；理解强制分量与自由分

11、量、稳态分量与暂态分量的含义；掌握单位阶跃特性与单位冲激特性的计算及其相互关系。量与暂态分量的含义；掌握单位阶跃特性与单位冲激特性的计算及其相互关系。 (1) 求特解iLp(t) )cos()(ipmptItiLL表示为正弦量RL串联电路的阻抗je|jZLRiuujpm)( jmjjmmpmee|e|Z|ejLLIZUULRUI解得根据正弦量的相量表示的线性性质和微分性质mpmpmjUIRILLLSdduRitiLLL)cos()(ipmptItiLL+/ipme)cos(tLLAtIi(3) 对应的非齐次微分方程的通解对应的非齐次微分方程的通解 (2) 求求对应的齐次微分方程的对应的齐次微分

12、方程的通解通解iLh (t)对应的齐次微分方程0ddhhLLRitiLSdduRitiLLL /hee)(ttLRLAAti其通解为 ipmcosLIA/ipmipme )cos()cos(tLLLItIi解得代回通解公式 (4) 确定积分常数确定积分常数自由分量自由分量暂态分暂态分量量强制分量强制分量稳态分量稳态分量/ipme)cos(tLLAtIi令t=0+0)cos()0(ipmAIiLL0)0()0(LLii由换路定律iL、iLp和iLh的波形一阶电路在正弦电源激励下，其零状态响应与接入角的关系 /ipmipme )cos()cos(tLLLItIii =u - = /20e )cos

13、(/ipmhtLLIi直接进入正弦稳态i = /pmpmhe )cos()cos(tLLLLpLItIiii/pmpmecostLLItIi =u - = 0或i =u - = /pm/ipmhee )cos(tLtLLIIi出现较大的极值2 阶跃响应与单位阶跃特性阶跃响应：阶跃响应： 电路在阶跃电源作用下的零状态响应。单位阶跃特性：单位阶跃特性：线性电路的阶跃响应与阶跃电源的幅值之比，表示为s(t)。图示电路中uC (0-)=0 ，以uC (t)为响应的单位阶跃特性为S)()(UtutsC单位阶跃特性还可能具有电阻或电导的量纲。s(t)无量纲 列KVL方程SuuuCRuR=Ri，i =Cdu

14、C / dt uS =US (t)(ddStUutuRCCC其通解)()()(hptststs单位阶跃特性零状态)()(d)(dttsttsRC0)0()0(CCuu0)0(sS)()(UtutsC求解RC一阶电路的单位阶跃特性s(t)对应的齐次方程为通解为/hee)(tRCtAAts0)(d)(dhhtsttsRC)()(d)(dttsttsRCs() =11)(ptstuS() = uC() = US)()()(hptststs/e1)(tAts/e1)(tAts令t=0+01)0(As1A 引用 (t) ，拓展s(t)的定义域至t0时的零输入响应。 iS =Q (t) 列KCL方程)(1

15、ddStQiuRtuCiiCCRC两边计算定积分000000d)(d1dddttQtuRttuCCC)0()0(dddd)0()0(00CCuuCCuuCuCttuCCC000d1tuRCuC有限QuuCCC)0()0(求解RC一阶电路的单位冲激响应冲激电流源作用下的RC电路含冲激电源的复杂电路，可应用诺顿定理或戴维南定理先将复杂电路化简称图示两电路，然后再按上两式求初始值。 QuuCCC)0()0()0()0(CCuCQuuS = (t)0()0(LLiLi对偶原理求解RL一阶电路的单位冲激响应冲激电流源作用下的RC等效电路例题10.3图(a)所示电路，设求冲激响应iL 。H1 . 0,60

16、,3021LRR)(Wb18Stu解将除电感以外的电路用戴维南电路等效，如图(b)所示。其中)(Wb122021S2oc2121tRRuRuRRRRRuS的冲激强度为12Wb。所以电流的初始值为A120Wb12)0(LiL时间常数为s005. 0RL电感电流的冲激响应为Ae120e )0(200/ttLLii(t0)10.6一阶电路的全响应全响应全响应: 由独立源和储能元件的原始储能共同作用引起的响应。0)0()0(UuuCCSdduutuRCCC求全响应uC (0-) =U000ddCCutuRC0)0()0(UuuCCSdduutuRCCC 0)0()0( CCuu仅uC (0-)作用仅u

17、s作用零输入零状态S)()(dduuuuutRCCCCC 0)0()0(UuuCC +)()()(tututuCCC 全响应可分解为基本要求：基本要求：掌握全响应的计算及其与零输入响应和零状态响应的关系。 理解叠加定理在线性动态电路中的应用。全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应全响应强制分量自由分量全响应强制分量自由分量全响应的分解全响应的分解从响应与电路状态的关系看：从响应与激励的关系看：全响应、零状态响应和零输入响应中都含有自由分量；零输入响应中只有自由分量；零状态响应中一般既含强制分量，也含自由分量。两种分解的关系例题10.4在图示电路中，以电流源iS为激励，以电压uC为

18、响应时，已知其单位阶跃特性s(t) =2(1-e-5t) (t)。t0时电容已充电， uC(0-)=3V。 分别在iS =2 (t)A和 iS =0.2C (t)（C表示电荷的单位即库仑）两种情况下求全响应iC (t)。解先求零输入响应 , 只有自由分量，其函数形式与s(t)中的自由分量相同)0(V,e3e )0(e )0()(555tuututtCtCC再求零状态响应uC (1)令iS =2 (t)A作用，阶跃响应为V)()e1 (4)(A2)(5ttstutC 故全响应为 0)(V,)e-(4)0(,V3)()()(5-tttutututCCCCuCu 0)(V,)e-(4)0(,V3)(

19、)()(5-tttutututCCC上式在t=0处连续， uC(t) =(4-e-5t) V ,(t0)。对此式求导计算电流iC ： 0tAe5 . 0Ae51 . 0d)(d)(55ttCCttuCti(2)令iS =0.2C (t)作用，求冲激响应u C 。 先求单位冲激特性h (t)(s)/(e10)(s)/(e10)()e1 (2d)(d)(555tttttsthtttV)(e2)(C2 . 0)(5tthtutC 冲激响应u C 为全响应 0)(V,5eV)2e(3e)0(,V3)()()(5-5-5-tttutututttCCCuC(0+)=5V， uC在 t=0 处不连续，故上式

20、定义域不含t=0。为求，tuCiCCddV)(3)(e5)(5tttutC)(3)(e25)(e5 1 . 0d)(d)(55tttttuCtittCCA)(e5 . 2)(C2 . 05ttt须将uC表示在统一的表达式内，即V2/CQuC上式表明，在t=0瞬间电容充入电荷Q=0.2C，致使电压跃变，uC(0-)=3V从跃升至uC(0+)=5V 。 0)(V,5eV)2e(3e)0(,V3)()()(5-5-5-tttutututttCCC10.7求一阶电路暂态过程解的三要素公式戴维南等效诺顿等效KVL方程初始条件0oc)0(ddUuuutuRCCCCKCL方程初始条件0sc)0(ddIiii

21、tiGLLLL0d ( )( )( )d(0 )f tf tg ttfF统一表示为激励响应时间常数一阶电路的一般形式基本要求：熟练掌握一阶电路微分方程及其解的普遍形式(即三要素公式)、 经典分析法的基本过程。0d ( )( )( )d(0 )f tf tg ttfF通解为/phpe)()()()(tAtftftftfAff)0()0(p)0()0(pffA令t=0+/ppe)0()0()()(tfftftf代入求暂态解的求暂态解的三要素公式三要素公式：利用响应的初始值利用响应的初始值 f(0+) 、时间常数、时间常数 和特解和特解 fp(t) (通常用强制分量作为特解通常用强制分量作为特解)来

22、求响应来求响应 f(t) 的方法。的方法。经典法：经典法：通过列写微分方程求解暂态电路的方法。求解任意的待求电压或电流的三要素公式设已知uC或iL，统一用f(t)表示。欲求某元件的电压或电流表示为，)(tf/p22p2121e)0()0()()()()()(tfkfktfktgktfktgktf如右图，可得t=0+)0()0()0(21fkgkft)()()(p21ptfktgktf/p2121p21e)0()0()0()0()()()(tfkgkfkgktfktgktf/ppe)0()0()(tfftf代回原式得例题10.5图(a)所示电路中，电感电流i(0-) =10A ， L=(1/6)

23、H。求t 0时电流 i 的变化规律。用图(b)计算电感两端的等效电阻R。列回路电流方程：121121302) 15(55)53(iuuiiuii解得11653ui 等效电阻65311iuR时间常数s531RL由三要素法公式0Ae10e )0()(53/tititt解i为零输入响应，其稳态值i()=0 。由换路定律得 A10)0()0(ii例题10.6图(a)所示电路t0时电压uC和电流i。解由图(a)求得30)0(Cu30)0()0(CCuu计算直流稳态电压的电路如图(b)所示，列节点电压方程：60V30A2)()601301(Cu50)(Cu将两个独立电源置零，得到计算等效电阻的电路如图(c

24、)所示。2060306030R时间常数s10F5 . 020 RC0)(tV)e2050(e)()0()()(1 . 0/ttCCCCuuutu由三要素公式得电容电压电阻电流0)(tA)e1 (3160V30)(1 . 0tCuti例题10.7图(a)所示电路中t0时处于稳态。设US1=38V，US2=12V，R1=20 ，R2=5 R3=6 ，L=0.2H，求t0时的电流iL 。解由图(a)计算换路前的电感电流A1)0(312S1SRRUUiLA1)0()0(LLii计算直流稳态电流的电路如图(b)所示。列回路电流方程：2S232121S22121)()(UiRRiRUiRiRRA44. 0

25、)(2iiL令US1= US2=0，画出计算等效电阻R的电路如图(c)所示。1032121RRRRRRsRL02. 0得由三要素公式)0(A)e56. 044. 0(e)()0()()(50/tiiitittLLLL例题10.8电路如图(a)所示，C=0.001F， uS为正弦电压源，幅值为90V，角频率为50rad/s。当为uS正的最大值时，将开关接通，开关接通前电容电压为10V。求开关接通后电压u的变化规律。解据题意，uS表示为V)50cos(90Stu u是电容电压，故V10)0()0(uu该电路当t时，达到正弦稳态。利用相量模型图(b)计算正弦稳态分量up(t)。列节点电压方程：V45

26、230) j1 (05. 0V3mpU30V090)j0.05S601301(mpU)4550cos(230)(pttu由三要素公式，得0)(Ve20)4550cos(230e)45cos(23010)4550cos(230e)0()0()()(5050/pptttuutututtts02. 0F001. 060306030 RC时间常数例题10.9 将例题10.8中正弦电压源改为斜变电压源uS(t)=90t V，且在 uS(t)=0 时将开关接通，其它条件不变，重求电压 u(t) (t 0)。解改变独立电源，电容电压初始值和时间常数保持不变，即V10)0()0(uus02. 0(b)化简电路

27、如图(b)所示, 图中uoc=60tV，R=20。则有强制分量为tutu60dd10203BAtupuoc=60ttBAtA60)(1022代入原微分方程2 . 1B-1Vs60A2 . 160)(pttu0)(Ve2 .112 . 160Ve )2 . 110(2 . 160)(5050ttttutt代入三要素公式10.8卷积积分)(d)()(dthxty微元引起的响应为d0时d)()()(dthxtyt时刻的响应为tthxty0d)()()(tthxty0d)()()(若x(t)在0或t时刻存在冲激函数卷积卷积)()()(thtxty记为tdd,t0)d)()()(thtxty)()(d)

28、()(0txthhtxt令即满足交换率任意激励可分解为)(d)()(dtxtx基本要求：掌握电路零状态响应与单位冲激特性的关系，理解卷积积分蕴含的 电路概念及其计算。例题10.10设图示电路中，V)(e1525. 0Stut用卷积计算uC 。解以uC为响应，求单位冲激特性h(t) 。为此令uS = (t) V， 求得三个要素：0)0()0(CCuuV5 . 0V1)4040(40)(Cus 1F05. 040404040 RC根据三要素公式得位阶跃响应V)e1 (5 . 0e)()0()()(/ttCCCCuuutu则单位阶跃特性为)e1 (5 . 0)(tts1se5 . 0d)(d)(tt

29、tsth单位冲激特性为：S00.25()0( )( ) ()d15e0.5edtCttutuh tV)ee (1025. 0tt)()()(thtxty根据卷积积分式例题10.11图(a)所示电路，R=10，L=1H，激励uS波形如图 (b)。求零状态响应i。解以电流i为响应，单位阶跃特性为1011( )(1 e)0.1(1 e)RttLs tR单位冲激特性为110) s(ed)(d)(tttsth根据式 在0t0时由KVL得0CLRuuu将元件方程tuCitiLuRiuCLRdd,dd,代入上式，求得描述uC的微分方程01dddd22CCCuLCtuLRtu 二阶常系数线性齐次微分方程的两个

30、初始条件为，0)0(1)0(1dd)0()0(00iCiCtuUuutCCCC基本要求：一般掌握二阶电路微分方程的列写及其求解过程、响应变量及其一阶 导数初值的计算、微分方程特征根与响应自由分量性质的关系。零输入0pCu特征方程012LCpLRp01dddd22CCCuLCtuLRtuLCLRLRp1222特征根为令0/(2 )1/RLLC2021p2022p描述二阶电路的二阶微分方程二阶电路的暂态过程与特征根的关系10CLR/2 ，即电路参数满足2021p2022pp1、p2互异)0()ee(2112120tppppUutptpCC)0()ee ()(dd21120tppLUtuCitptp

31、CC)0()ee(dd2121120tppppUtiLutptpCL0)0(1)0(1dd)0()0(00iCiCtuUuutCCCC解得非振荡非振荡 (过阻过阻尼尼)过程过程01dddd22CCCuLCtuLRtutptpCAAu21ee21通解为p1、p2共轭d2021jpd2022jp220d20aCLR/2 ，即电路参数满足01dddd22CCCuLCtuLRtu通解tptpCAAu21ee21)sin(e)cossin(edd2d1tAtAtAuttC)sin(ed0d0tUutCC)sin(eddd0d0tUtiLutCLtLUtuCitCCdd0sinedd0)0(1)0(1dd

32、)0()0(00iCiCtuUuutCCCC振荡振荡(欠阻欠阻尼尼)过程过程p1，p2为相等负实根ppp2130aCLR/2，即电路参数满足通解为tCtAAue )(2101dddd22CCCuLCtuLRtutCCt aUue )1 (0tCtCCtLUtCUtuCieedd002tCLtUtiLue ) 1(dd00)0(1)0(1dd)0()0(00iCiCtuUuutCCCC解得临界临界状态状态临界临界电阻电阻tOuCiuLu,i例题10.12图(a)所示电路，设R=20，L=0.1H，C=20F 。分别求 iL 的单位阶跃特性 s(t) 和单位冲激特性 p(t) 。解设iS = (t

33、)A,由KCL ， KVL得SddiituCiiLCLC0ddRiutiLuuuLCLRCL代入2dd11(0)s2ddiRiLLiitLLtLCLCt代入已知数5522105105dd200ddLLLititi0)0()0(1)0(1dd0)0()0(0CLLtLLLuRiLuLtiii010520052pp特征方程d11522, 1js )700j100(s )21054200200(p特征根图图10.47 例题例题10.12 d11522, 1js )700j100(s )21054200200(piL自由分量形式为)700sin(e)sin(e100dhtBtBittL又iLp=1(激

34、励为 (t)，通解为)700sin(e1100hptBiiitLLL0)0()0(1)0(1dd0)0()0(0CLLtLLLuRiLuLtiii0cos700sin100dd0sinA1)0(0BBtiBitLL87.81A01. 1B87.81A01. 1B)700sin(e1100hptBiiitLLL1001 1.01esin(70081.87 )(0)tLitt可写为1001 1.01esin(70081.87 ) ( )AtLitt由单位阶跃特性与单位冲激特性的关系得)()700sin(e2 .714d)(d)(100ttttstht)()87.81700sin(e01. 11 )(100tttst激励为 (t)图图10.47 例题例题10.12 10.10动态电路的状态变量分析1状态变量与状态方程传统经典法处理高阶电路时遇到的困难传统经典法处理高阶电路时遇到的困难微分方程的列写困难；求解过程复杂；初始值难以确定。状态变量分析法状态方程：由电路的状态变量及其一阶导数组成的一阶微分方程组，称为电路的状态方程状态方程(state equation)。 状态变量：能完整地、确定地描述动态电路示与行为的最少变量，称为电路 的状态变量状态变量(state variab