高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

1、高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给岀了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广阔喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用1.排序不等式定理 1设aia2. an,b)b . bn，那么有a-|bna2bn 1 . anb|(倒序积和)aa

2、2br2. anbn乱序积和a1b1a2b2 . anbn顺序积和其中订2,.,&是实数组bip2,.,bn个排列，等式当且仅当aia2. a.或bid .bn时成立.说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和 上乱序积和匚顺序积和.证明：考察右边不等式，并记Sa1br1a2br2. anbrn。不等式 S aibq a2br2 . anbrn的意义：当ri 1,r2 2,., & n时，s到达最大值 a1b1 a2b2 . anbn.因此，首先证明an必须和bn搭配，才能使S到达最大值.也即，设rn n且bn和某个 ak(k n)搭配时有akbnanbrnakbrnanbn. 1-1事实上，a

3、nbnakbrn(akbnanbrn)(bnbrn)(anak)0不等式i-i告诉我们当rn n时，调换bn和brn的位置其余n-2项不变，会使和S增加.同理，调整好an 和bn后，再调整an1和bn1会使和增加.经过n次调整后，和S到达最大值玄2匕2.anbn，这就证明了aibri a2br2 . anbrnaiD a2b2 anbn .再证不等式左端由 a1a2an,bnbn 10及已证明的不等式右端,(aibn玄201.anb()(aiQa2br2 anbrn)aibna2bn 1an b1aibr1a2br2an brna b c 例1 美国第3届中学生数学竞赛题设 a,b,c是正数，

4、求证：aabbcc (abc)r思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明证明：不妨设a b c，那么有lg a Ig b Ig c根据排序不等式有：alg a blg b clg c alg b blg c clg aalg a blg b clg calg c big a clg ba. b clg a b ca b c a b c例2设a,b,c2 .2 .2 2 2 2 a b b c c aR，求证：abc2c 2a 2b3. 3a bbc ca3 cab以上两式相加，两边再分别加上alga blg b clg c有 3(alg a blg b clg c) (a b c)(

5、lg c lg a lg b)a b c,lg abc3abc(abc) 3.思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明2 2 2 111证明：不妨设a b c，那么a2 b2c2且cba根据排序不等式，有c21a2b2c2第2页共15页a2 b2b2 c2c2 a2再考虑a3 b3c3，并且bcca2cab2a2b利用排序不等式,两式相加并除以综上所述,a3b3c3becaaba3cab3丄ab3 1c bca3bc2,即得原不等式得证b3cac3ababbc3cacb22cb22a2bbcb3caab例3设0a1a2.an ,0b-ib2.bn，而 “2,.,i

6、n 与 j1, j2 ,.,jn是1,2,., n的两个排列n求证：r 1n a bjrJsnnabs1-2s 1 rsr 1 s 1 rs思路分析：条件中有两组有序实数，而式1-2丨具有“积和形式，考虑使用排序不等式证明：令drbjJssr=1,2，n显然d1d2dn因为bib2bn，J(n 1)dr由排序不等式又因为a1a2ann所以r 1ardrai dr 且rr 1arbss 1 r snardrr 1注意到aro故n naibjrsr 1 s 1 r snnairr 1s 1bjJsnair drr 1r snnnbsn nar bsardrarr 1r 1s 1r sr 1 s 1

7、 rs故原式得证.2.均值不等式定理2设a1, a2,., an是n个正数，那么H (n) G(n) A(n) Q(n)称为均值不等式其中，H(n)A(n)Q(n)1111a1aan0n a.431a? .ann222a1a2.anVn分别称为ai,a2,.,an的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数 证明：先证 G(n) A(n).记 c n aia2.an，令bi色，c那么原不等式b|b2.bnn其中b1b2.bn(aia2.an)1Cn取 Xi,X2,., Xn 使 bi互，b2X2今那么bnXnXnXi由排序不等式，易证b1 b2bnX2Xn 1XnXnX1下证 A( n)

8、 Q(n)因为2 2a22an1(a1na2. an)2(a12 2a2)(a1 a3)(a1 a.)(a2 a?)2(a2a。)2-(a2an)2(an 1an)】(a1a2nan)2所以a1a2.ana：a；.2annn从上述证明知道，当且仅当a1a2.an时，不等式取等号.下面证明 H(n) G(n)对n个正数 丄， ,.,丄，应用G(n) H(n)，得ai a2an丄丄 1a1 a2an1 11 nf.n a1 a2an即 H (n) G(n)等号成立的条件是显然的例4o a1,x22 1 y20,求证：loga(ax ay) log a 2 ?证明:由于0a 1，ax 0,ay 0，

9、有ax ay2荷2 ax y从而loga(axay)loga(2 ,axay) log a 22下证x y 1，即x y1o2 84又因为x y x2 x(x1)111 1，等号在x=(这时y=)时取得24424所以log a(ax ay)loga218例5IMO设a,b,c是正实数，且满足 abc=1.111证明：(a 1)(b1)(c 1)1bca证明：令a -,b -, c -，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为x z x(x y z)( y z x)(z x y) xyz 2-1记 u x y z, v yzx,wzxy,注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有

10、一个负数如果恰有一个负数，那么uvw 0 xyz，2-1式成立.如果这三个数都大于 0,由算术一几何平均不等式uv (x y z y z x) x 2同理可证，vw y，、一 wu z于是, uv . vw . wu xyz即 uvw xyz， 2-1式得证.例 6 a, a2,., an 0，且 a a2 . an1.aia2ann求证：1 a2 a3. an 13 a3. an 1 a1 a2. an 1 2n 1n a n 2思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为(1).i 1 2 a i 1 2 ai可看为倒2 a左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均

11、难以求证，而左边各项数形式，尝试用调和平均证明：不等式左边化为(九1)，2 2 2对,.,，利用 A(n) H(n)有2 a1 2 a/ 2 an ajnn i 1 2 ain 2 aji 12n 2ai2 n2 n2n21 21 n12n 1nain _2i12n所以aii i 2 ai1)3 柯西不等式2n2n2n 1n2n 1定理3设ai，b R0=1,2,n,恒有不等式i 1aibi)2，当且仅当b1b2a?bn时,an等式成立.构造二次函数证明当a1a2anbn0时，不等式显然成立n2aii 1naibi Ci 1nbi，当 a1, a2,i 1,an中至少有一个不为零时，可知A0构

12、造二次函数fAx22Bx2C，展开得:ai22abx biaiXbi 20 故f X的判别式4B24AC移项得ACB2，得证。向量法证明Q,a2,an，b,b2.,bnCOSaba2b2anbn，2ai ,b2，得1naibii 1n2aii 12bi .当且仅i 1当 cos ,1，即平行时等号成立。数学归纳法证明i )当n=1时,有 a1b12 2a1 b2，不等式成立。当 n=2 时，a1b1 a2b22 2 2 2a1 b1 a2 b2 2a1b1a2b22 2 2 2 2 2aa?bib?ai bia22b22 ai2b22a22bj因为 a12b22 a222 2a1a2b2，故有

13、 aQa2b2 22aia22 b,2b22当且仅当aib2 a2b，即里!bia2-时等号成立。b2aha2b2akbk2ai2 2*22Ok当且仅当aa2Ol时等号成立。bi b2bk那么当n=k+i时，aib：日2匕2akbkak ibk i2aiba?b2akbk2 2akbi aib*26222 222aia2akbib2bk2ak ibk i222 2222 2aia2akbibbkai bk i2222 22aia2ak i b1b2bk i222 :2 22aia2anbib2bn当且仅当aibk ibiak i,a2bk ib2ak i,akbk即aia2akOk i时等号成

14、立。b2bkbk iii丨假设n=k时不等式成立，即bi2b22bk2于是n=k+1时不等式成立。由i ) ii丨可得对于任意的自然数 n，柯西不等式成立。利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式:格朗日恒等式2 24a2a/ b2 b22akbak2 2 i bk iaibia2b22bi aka2 2 ak bk i2 2 ak i bk i2 2 2 bk ak i ak i bki bkak i时等号成立,对于两组实数ai, a2, ,an ；bl, b2,bn有柯西一拉a1b2a2b|*23&3匕2aA ash 2a2bnanb2由实数性质 2b； ab a2b

15、2aibn anb 2R可得柯西不等式成立。an 1bnan bn以上给岀了柯西不等式的几种证法。不难看岀柯西不等式的重要性。anbn 2它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，假设将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。柯西不等式的推广命题1假设级数n2bi收敛，那么有不等式1证明:n2ai ,i 1aibiaibi收敛，且limnabi1从而有不等式naibii 1假设级数ai2与bii 1i 1收敛,数f x ,g x有不等式证明：因为函数2ai且对aib1limn i 1n2aibi2成立。2ailimnaibii 1bf x g

16、x dxann2aii 1 i -bi2f2 x dxnb212aib：，那么对定义在 a, b上的任意连续函i 12g x dxx ,g x在区间a,b上连续，所以函数 f x与g xf2 x、g2 x在a, b上可积，将a, b区间n等分，取每个小区间的左端点为i，由定积分的定义得:bnbnfx dxlimf ix,g x dxlimg i xani 1an.彳i 1b2 .n -2bn, 2fx dxlimfi x,g xdx limgani 1an7i 1令a12f2 1 ,b122g1，那么nnai2与 bi2 收敛，i 1i 1由柯西不等式得n2nnfi g i xf22i xgi

17、 xJi 1i 1i 1从而有不等式n2nnlimf i g ixlimf2 i xlim2g ixni 1ni 1ni1b2b2 x dxb 2fax g x dxfag x dx。a赫尔德不等式4设0, b0,(i1 11,2,n), p 0, q0,满足一 一p q1,那么:成立的充分必要条件是aipbqi 1,2, n; 0.aibii 1aibq1q，等号证明：首先证明 1p1 11时，对任何正数A及B,有一ApP1 Bq qAB.对凹函数fx In x,有:ln1 APp1 Bq q11 ln Ap p11 ln Bq qIn AB1 AP1 Bqp qAB.aknpaii 11,

18、 Bpbkpaiakbk1pbiqahpaibqbiq例 7 设 X1,X2，,Xn-,代入以上不q等式并对于1,2,个不等式相pak1np paii 1bkqnq k1q成立。等号成立的充分必要条件是:2R，求证：生X2X2X3XnX1思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明证明：因为x1, X2,., xn0，故由柯西不等式，得(X2X322X1X2片！为)(一X2X32xn 1Xn所以X1X21,即pain p aii 1q-b即nbqi 1X-!X2. Xn .2(X2 X3.X3X2X3XnX1 )22Xn 12Xn_XnX1X . xn.2 2 2 2 2例8实数

19、a, b, c, d , e满足a bcde8,a b c d e 16，求e的取值范围2 2 2例 9 X!,X2,X3 R 满足捲 X2 X31，求Xi2XiX1 X；X3的最小值.1 x3解：容易猜到 X1X2X3时，X1 2为了证明这一点，利用柯西不等式，得X32X33/3取最小值空.23 X33 z.X (1i 1i 1 1 X2只需要证明33Xi 1(1Xi2)等价于23335Xii 1X21xf32 2Xi )Xi1 ，i 1_2_3.33X33-1i 1由几何一算术平均不等式，得2X1252X1同理可证,2x；53：3 X2)x：3X2思路分析：由a2 b2 c2 d2 e2联

20、想到应用柯西不等式.解：因为4(a2 b2 c2 d2)(1 1 1 1)(a2 b2 c2 d2)(a b c d)2,即2 24(16 e )(8 e)，64 4e264 16e e2即25e 16e 0，所以e(5e 16)0，故60 e.5评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目3：3 X3STU53X3以上三式相加，3-1式得证，进而证得X-iX2221X11 X2的最小值是土3，当且仅当x11 X32X2X3评述：柯西不等式中的qb的项如何拆成两个因式ai和bi的积，可以说是应用此不等式的主要技巧上例33厶Xi (1Xi2)

21、_2_，我们将3.33x2中的Xi2表示为和XiX2的积，正因为aibi可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛例10试问：当且仅当实数x0 ,x1 ,., xnn 2满足什么条件是，存在实数y0,比，yn使得2 2 2 2zZ-!Z2 . z成立，其中z Xk iy k，i为虚数单位，k=o,1,n.证明你的结论高中联赛，19972 2 2 2思路分析：将ZZ1Z2. Zn成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找X(i 1,2,., n)的范围.2 2 2 2解：将ZoZ1Z2.Zn转化到实数范围内，即nn2 2 2 2 XkXoyk yo,3-2n(Xk

22、yk )2.k 13-3k 1k 1nXkYkXy。k 122假设存在实数yo, y1,., yn使3-2丨成立，那么Xoyonn由柯西不等式可得x：yjk 1k 1nn如果x0X：，由3-2丨可知yOy；，从而k 1k 1nn处y x： y：与3-3丨矛盾k 1k 1于是得2X。2Xkk 13-4反之假设3-4丨成立，有两种情况:x2X2，那么取ykXk ,k=0,1,2,n，显然3-2丨成立.x2x2，记 a22XkXo0，那么 X1,., Xn 不全为 0.不妨设Xn取yk0, k 0,1,2,., n并且取yn 1aXn.Xn 1Xn，YnaXn 12Xn易知3-2丨成立.综上，所求的条件为2X。k 12Xk .4 切比雪夫不等式定理4设 X1, X2,.,Xn，y1,y2,.,yn为任意两组实数，假设X)X2. XnX1X2.Xn且yy2yn，那么1nn1、“ 1xyi(x)(yi)n i1n i 1n i 1假设X1X2.Xn且y1y2.yn 或 X1X2.Xn 且y1y2. yn1 n w 1 nxyi(-x)( 一 yi)n