高数D曲线凹凸与图形

1、二、曲线的渐近线一、函数的凹凸性与拐点第五节函数的凹凸性与 函数作图 第三三章 三、函数图形的描绘AB定义定义 . 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有1212( )()(),22xxf xf xf则称( )f x为I上的上凹凹函数;(2) 若恒有1212()()(),22xxf xf xf则称连续曲线上内点的凹凸分界点称为拐点拐点 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox一、函数的凹凸与拐点一、函数的凹凸与拐点( )f x为I上的上凸凸函数;自学定义，定理自学定义，定理1、 2 . 定理定理1*.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 上( )0,fx

2、则 为 I 上的上凹 函数;)(xf(2) 在 I 上( )0,fx则 为 I 上的上凸函数 .)(xf证证:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x221xx )()(2fxf221xx )(f 221xx )(2x221xx !2)(2f 22)(x221xx 两式相加两式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx )()(21ff ()0 ,fx说明 (1) 成立;(2)(f 221xx )(1x221xx 设函数在区间I 上有二阶导数证毕12()()()2f xf xf221xx 例例1. 判断曲线4xy 的凹凸性.解

3、解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(是上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,xyo例例2. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3xy 的拐点 .oxy凹凸xxy24362 )(3632xx例例3.

4、 求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3) 列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0 (),(2711322xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,二、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线 .例如, 双曲线1

5、2222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by )(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例4. 求曲线211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线.212. 斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(li

6、mxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或例例5. 求曲线3223xxxy的渐近线 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .312 xy三、函数图形的描绘三、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某

7、些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周例例6. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy1332201231例例7. 描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy)

8、1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义无定义1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线1x铅直

9、渐近线4541xy特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241例例8. 描绘函数21y22xe的图形. 解解: 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21内容小

10、结内容小结Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减1.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上的凹凸分界点2. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线3. 函数图形的描绘-按作图步骤进行思考与练习思考与练习 1. 曲线)(1122xxeey(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD作业作业 P1301(6); 2(2)

11、 ; 3;5; 7(3),(5)证明:20 x当时，.2sinxx有证明证明:xxxF2sin)(令, 0)0(F, 则)(xF )(xF)(xF是凸凸函数)(xF即xx2sin)20( x 2 .0)2(F2cosxxsin0)2(),0(minFF0(自证)拐点为 ,凸区间是 ,),(21)1,(2121e3. 曲线21xey的凹区间是 ,提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及渐近线 .1yyox1)1 ,(2121e)1 ,(2121e112xxy有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxx备用题备用题xxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2令0 y得,11x, )1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831备用题备用题 求笛卡儿叶形线yxayx333的渐近线 . 解解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :x,133ttay3213tta, 1tx时当因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxy