土力学三++土中应力和地基应力分布

1、第三章第三章 土中应力土中应力1、土中一点的应力状态土中一点的应力状态2 、自重应力自重应力3 、附加应力或荷载应力、附加应力或荷载应力垂直均布荷载垂直均布荷载、垂直集中荷载垂直集中荷载、垂直线状荷载垂直线状荷载、条形条形荷载荷载（均布、三角形分布）、局部面积荷载（均布、三角形分布）、局部面积荷载 圆形均布荷载圆形均布荷载、矩形荷载矩形荷载（均布、三角形分布）、（均布、三角形分布）、 不规则面积任意分布荷载不规则面积任意分布荷载；非均质各向异性土中的附加应力分布非均质各向异性土中的附加应力分布 ；4 、基底压力、基底附加压力（基底净压力）基底压力、基底附加压力（基底净压力）地基中自重应力、地基

2、中自重应力、附加应力分布规律附加应力分布规律；小结小结土中一点的应力状态土中一点的应力状态在自然界中理想的弹性材料和塑性材料是没在自然界中理想的弹性材料和塑性材料是没有的，为了简化设计计算，在一定条件下，有的，为了简化设计计算，在一定条件下，把一般材料当成理想材料，在计算中引用弹把一般材料当成理想材料，在计算中引用弹性理论或塑性理论。对于土也是这样，近似性理论或塑性理论。对于土也是这样，近似地当成理想均匀弹性或塑性体，采用相应的地当成理想均匀弹性或塑性体，采用相应的计算理论。计算理论。假定地基土是连续的、均质各向同性的、半无限弹性体假定地基土是连续的、均质各向同性的、半无限弹性体 从工程角度看

3、，主要研究宏观土体的受力问题，工程上可以把从工程角度看，主要研究宏观土体的受力问题，工程上可以把土颗粒和孔隙混在一起，把土体当作连续介质来分析，从平均土颗粒和孔隙混在一起，把土体当作连续介质来分析，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。 当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引起的误差，当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引起的误差，通常也在容许范围之内。当然，如果土层性质变化较大时，就通常也在容许范围之内。当然，如果土层性质变化较大时，就要考虑非均质或各向异性的影响，进行必要的修正。要考虑非均质或各向异

4、性的影响，进行必要的修正。考虑到一般建构筑物荷载在地基中引起的应力增量考虑到一般建构筑物荷载在地基中引起的应力增量不是很不是很大，地基中产生的塑性区基本没有或相对较小，因此，对一大，地基中产生的塑性区基本没有或相对较小，因此，对一般工程而言，可以将土考虑为线弹性介质，以便直接用弹性般工程而言，可以将土考虑为线弹性介质，以便直接用弹性理论求土中的应力分布。但对于一些十分重要且对沉降有特理论求土中的应力分布。但对于一些十分重要且对沉降有特殊要求的建构筑物，用弹性理论进行土体中的应力分析其精殊要求的建构筑物，用弹性理论进行土体中的应力分析其精度是不够的，必须借助土的弹塑性理论才能得到比较符合实度是不

5、够的，必须借助土的弹塑性理论才能得到比较符合实际的应力与变形解答。际的应力与变形解答。 当土体受到外力作用而处于静力平衡状态时，土中一点当土体受到外力作用而处于静力平衡状态时，土中一点的应力状态：的应力状态： 1.可由可由6个独立应力分量表示个独立应力分量表示 x 、 y 、 z 、xy 、 xz 、 yz 2.确定主应力方向，由主应力确定主应力方向，由主应力1 、 2 、3 表示表示 土中一点的应力状态。土中一点的应力状态。 3.该点任一方向切面上的该点任一方向切面上的 、 都可确定（公式略）都可确定（公式略） xzyxyzxyyxxzzxyzzy231xy = yxxz = zxyz =

6、zyzx0 xzxzzx 二维平面问题：二维平面问题： 沿某一坐标轴向（假设沿某一坐标轴向（假设y轴），随轴），随 一点位置的改变其应力没有变化。一点位置的改变其应力没有变化。 这种情况土中一点的应力状态：这种情况土中一点的应力状态： 1.可由可由3个独立应力分量表示个独立应力分量表示 x 、 z 、 xz 2.确定主应力方向，由确定主应力方向，由主应力主应力1 、 3 表示表示 3.该点任一方向切面上该点任一方向切面上 的的 、 都确定都确定 13sincos2cossin22xzzx)sin(coscossin)(22xzzx Z由静力平由静力平衡条件：衡条件：Fx=0Fy=0 x0 xz

7、 xzzx ABC?, 0当= 1 或或3xzxz2sincossincos22tan2221221)2()(21xzzxzx21223)2()(21xzzxzxzx0 xzxzzx1(3) 13=0sincos2cossin22xzzx0)sin(coscossin)(22xzzx zx0 xzxzzx 132sin22cos2)(212cos2)(213131313131xzzx平面问题，土中一点的应力状态：平面问题，土中一点的应力状态： 1.可由可由3个独立应力分量表示个独立应力分量表示 x 、 z 、 xz 2.确定主应力方向，由确定主应力方向，由 主应力主应力1 、 3 表示表示 3

8、.该点任一方向切面上该点任一方向切面上 的的 、 都确定都确定 4、用摩尔应力圆表示、用摩尔应力圆表示 用摩尔应力圆表示土中一点的应力状态：用摩尔应力圆表示土中一点的应力状态： 规定：法向应力以压为正，规定：法向应力以压为正， 剪应力以逆时针方向旋转为正剪应力以逆时针方向旋转为正013 0 130 (z ,zx)(x ,xz)0 zx0 xzxzzx 00 13 圆上任一点圆上任一点P坐标值表示土中坐标值表示土中一点某一方向切面上的法一点某一方向切面上的法 向应向应力和剪应力（该切面与大主应力和剪应力（该切面与大主应力作用面夹角为力作用面夹角为 ）P(,)2 13 zx0 1300 (z ,z

9、x)(x ,xz)2大主应力作用面饱和土的有效压力和孔隙水压力饱和土的有效压力和孔隙水压力土体在外力作用下，土中应力由各相介质土体在外力作用下，土中应力由各相介质（土粒、水、气）分别承担，由于各介质（土粒、水、气）分别承担，由于各介质的力学性能不同，从而影响到整个土体的的力学性能不同，从而影响到整个土体的变形和强度。变形和强度。饱和土体饱和土体在外力作用下，土颗粒骨架和孔在外力作用下，土颗粒骨架和孔隙水分别承担了部分外力。隙水分别承担了部分外力。 有效压力有效压力：通过土颗粒传递的应力，即：通过土颗粒传递的应力，即:使土骨架使土骨架产生变形的压力（颗粒之间产生错动和压缩，造产生变形的压力（颗粒

10、之间产生错动和压缩，造成土中孔隙的减小，导致土骨架收缩。假定固体成土中孔隙的减小，导致土骨架收缩。假定固体颗粒本身的体积不变）颗粒本身的体积不变）孔隙水压力（孔隙压力）孔隙水压力（孔隙压力）u：由孔隙水承担的压力：由孔隙水承担的压力(因为土颗粒四周受到同等水压因为土颗粒四周受到同等水压,土骨架不会发生变土骨架不会发生变形形) 。 由外力引起的附加孔隙水压力，称为由外力引起的附加孔隙水压力，称为超静超静水压力水压力 （区别静水压力）（区别静水压力） 饱和土体上的总压力饱和土体上的总压力 = + u能使土骨架产生变形的能使土骨架产生变形的有效压力有效压力除了除了外力外力引引起的，还有土的起的，还有

11、土的自重自重，土在自重作用下也能，土在自重作用下也能逐渐压密（在水面以上土的容重或在水面以逐渐压密（在水面以上土的容重或在水面以下土的浮容重，为有效力），另外，水在土下土的浮容重，为有效力），另外，水在土中的中的渗流渗流也会产生有效力，对土骨架变形产也会产生有效力，对土骨架变形产生影响。生影响。h1h2土ab无渗流无渗流2h土的土的自重自重浮重度浮重度= ？ u = ？21hhsat)(21hh 土abh1h2hwih2土的土的自重、水的渗流自重、水的渗流浮重度浮重度+渗透力渗透力= ？ u = ？孔隙水向下渗流孔隙水向下渗流21hhsat)(21hhh2hhLhi水力坡度水力坡度 i= ？a

12、土土abh1h2hwih2土的土的自重、水的渗流自重、水的渗流浮重度浮重度-渗透力渗透力= ？ u = ？孔隙水向上渗流孔隙水向上渗流21hhsat)(21hhh2hhLhi水力坡度水力坡度 i= ？ 部分饱和土的孔隙压力和有效压力部分饱和土的孔隙压力和有效压力习题习题3-3auu)1 (外力外力引起的引起的基基础础饱和土体：饱和土体： = + u部分饱和土：部分饱和土：孔隙压力系数孔隙压力系数在不同应力条件作用下，在在不同应力条件作用下，在不排水土体中不排水土体中引起引起多大的孔隙压力和有效压力，多大的孔隙压力和有效压力，Skempton提出提出孔隙压力系数方法。孔隙压力系数方法。= + u

13、影响土骨架变形，影响土骨架变形，不易直接确定不易直接确定易确定易确定= - u孔隙压力系数孔隙压力系数 u孔隙压力系数孔隙压力系数B123u02 +3 3 +3 1+3 u0+u3 0 1.01.0 BSru3 =B 3 = ( 公式推导略）公式推导略） CgCnn113Sr=1时，时，B=1试验方法测试验方法测 B123u02 +3 3 +3 1+3 =u0+u3 = u0+ B 3 u=？ 将公式改写成：将公式改写成：u1=A B 1 孔隙压力系数孔隙压力系数A2 3 1+1u0+u1 推导出理论公式：推导出理论公式： (公式推导略）公式推导略）1131Bu23u01试验方法测试验方法测

14、B、A 2 3 1+1u=？23u01=u0+u1 = u0+ AB 1 2 +3 3 +3 1+1u0+u 23u0u= B 3+ A B （1 - 3） 12 +3 3 +3 1+3 2 31+（1 -3） 习题习题3-2地基中应力大小，主要决定于上覆土层的自地基中应力大小，主要决定于上覆土层的自重压力和作用于地面上的外加荷载。重压力和作用于地面上的外加荷载。分析地基中的应力，假定地基土为弹性半无分析地基中的应力，假定地基土为弹性半无限体。限体。（渗透力） =总压力总压力-孔隙压力孔隙压力=z ：为有效容重：为有效容重zc有效容重的确定：有效容重的确定：1）水面以上的土取天然容重）水面以上

15、的土取天然容重 2）水面以下的）水面以下的 粗粒土和透水粘性土，受浮力作用，用浮容重；粗粒土和透水粘性土，受浮力作用，用浮容重； 不透水的饱和粘土，不受浮力作用，用饱和容重不透水的饱和粘土，不受浮力作用，用饱和容重Z土中垂直自重有效应力土中垂直自重有效应力zczq粘性土粘性土液性指数 22hniiih1对于成层土：对于成层土：Z自重应力分布曲线自重应力分布曲线11hzczcx=y=0 0cxcyczK1例题例题3一一1 ：第一层土为粉砂，厚度：第一层土为粉砂，厚度6m， 1=18.5kN/m3， 1sat=21.4kN/m3；第二层土为粘土，厚度；第二层土为粘土，厚度4m， 2=16.8kN/

16、m3, 2sat=19.7kN/m3，w=50%，wL=48%，wP=25%，地下水位距地表，地下水位距地表3m，求：，求： (1) 土中自重应力；土中自重应力；(2) 如果地下水位下降如果地下水位下降1.0m，不考虑毛细现象不考虑毛细现象，土自重应力出，土自重应力出现怎样变化？现怎样变化？ (a)地下水位下降 (b)地下水位上升 (c)填土图3-6 由于填土或地下水位升降引起自重应力的变化（实线：变化前自重应力；虚线：变化后自重应力） 当地下水位下降时或土层为新近沉积或地面有大面积的人工填土时，土中的自重应力会增大 新增加的自重应力会引起土体本身产生压缩变形，进而引起地面沉降。新增加的自重应

17、力会引起土体本身产生压缩变形，进而引起地面沉降。 若考虑毛细作用，土层中由于毛细水位的上升（高度为若考虑毛细作用，土层中由于毛细水位的上升（高度为hc )，上升的水柱重量通过水膜张力传递到土骨架上，上升的水柱重量通过水膜张力传递到土骨架上，形成有效力，因此毛细作用将会提高土层的有效自重应形成有效力，因此毛细作用将会提高土层的有效自重应力。力。 由于水膜的提升作用，使孔隙水中产生一负孔隙水压力由于水膜的提升作用，使孔隙水中产生一负孔隙水压力 u毛毛= w hc，它相当于把高出地下水面，它相当于把高出地下水面hc的水柱悬挂的水柱悬挂起来的拉力。起来的拉力。 考虑毛细作用的垂直自重有效应力考虑毛细作

18、用的垂直自重有效应力 例题：例题： 现有一由两层土组成之地现有一由两层土组成之地基，上层为粉砂，厚基，上层为粉砂，厚6米，米，下层为软塑粉质粘土，地下层为软塑粉质粘土，地下水面深下水面深3米，水面以上米，水面以上土的天然容重为土的天然容重为17 kN/m3，而饱和容重为，而饱和容重为19 kN/m3 ，粉质粘土的，粉质粘土的饱和容重为饱和容重为20 kN/m3 ，试计算试计算10米深范围内的米深范围内的自重压力的分布。自重压力的分布。粉粉砂砂软软塑塑粉粉质质粘粘土土6米3米4米z5178.6119.4 hhc = u= = u = -0- u毛毛= + w hc = u =- u静水压力静水压

19、力- u毛毛 = - wh1+ w hch1 = u =- u静水压力静水压力- u毛毛 = - wh2+ w hc = = u = - wh3+ w hch2h3 例题：例题： 现有一由两层土组成之地现有一由两层土组成之地基，上层为粉砂，厚基，上层为粉砂，厚6米，米，下层为软塑粉质粘土，地下层为软塑粉质粘土，地下水面深下水面深3米，水面以上米，水面以上土的天然容重为土的天然容重为17 kN/m3，而饱和容重为，而饱和容重为19 kN/m3 ，粉质粘土的，粉质粘土的饱和容重为饱和容重为20 kN/m3 ，试计算试计算10米深范围内的自米深范围内的自重压力的分布。（砂土中重压力的分布。（砂土中出

20、现毛细水，毛细水面上出现毛细水，毛细水面上升升1.0m。）。）6米3米4米qzz3480.6121.4粉粉砂砂软软塑塑粉粉质质粘粘土土43.853粉砂软塑粉质粘土6米3米4米qzz5178.6119.4qzz3480.6121.443.853粉砂软塑粉质粘土不考虑毛细水作用不考虑毛细水作用考虑毛细水作用考虑毛细水作用习题习题3-4 基底的接触应力基底的接触应力在计算地基应力之前，首先要知道在计算地基应力之前，首先要知道地表荷载地表荷载的分布和规律的分布和规律。实际地表荷载多为局部不规。实际地表荷载多为局部不规则荷载，比较复杂。且建筑物荷载是通过基则荷载，比较复杂。且建筑物荷载是通过基础传递给地

21、基的。因此要知道础传递给地基的。因此要知道基础底部与地基础底部与地基之间的接触应力（基底压力）基之间的接触应力（基底压力）。 影响基底压力的因素很多，实际基底的接触应力分影响基底压力的因素很多，实际基底的接触应力分布复杂。布复杂。 1.影响因素：影响因素： 基础基础的刚柔度（刚性基础、柔性基础）、基础埋的刚柔度（刚性基础、柔性基础）、基础埋深、基础面积；深、基础面积； 荷载荷载大小、分布；大小、分布； 地基土地基土种类等种类等 刚性基础基底压力简化算法刚性基础基底压力简化算法计算基底压力若考虑所有影响因素，那太复计算基底压力若考虑所有影响因素，那太复杂，实际也不可能办到。目前在进行地基基杂，实

22、际也不可能办到。目前在进行地基基础设计中，常采用简化计算法。础设计中，常采用简化计算法。 假定刚性基础基底压力总是成直线分布假定刚性基础基底压力总是成直线分布 1中心荷载（基底上荷载合力通过基底形心）中心荷载（基底上荷载合力通过基底形心） P中心荷载下基底压力均匀分布：中心荷载下基底压力均匀分布：形心位置形心位置-FGpAAPp G p76(a)中心荷载 (b)双向偏心荷载 (c)单向偏心荷载 二二. 偏心荷载偏心荷载1.单轴偏心单轴偏心: 基底压力为不均匀直线分布基底压力为不均匀直线分布(讨论矩形基础讨论矩形基础)PPM=P*ep1p2y eXAWAWcIWcIWeAPWMAPpeAPWMA

23、Pp22112211222111)1 ()1 ( W为截面模量为截面模量 I为基础底面对为基础底面对y轴的惯性矩轴的惯性矩为核心半径为核心半径p1p2 eac1c2b)61 (beAP)61 (beAP261ab6b261ab6b矩形基础F GpAAPpmaxmin61FGMFGepAWAbmaxmin61FGMFGepAWAbb力矩M作用方向的基础边长 max2()3(2)FGpbe lm ax2()3(2)FGpbe lm a x2 ()3 (2)FGpbel eb/6P2 =0p1eb/6P2 p1eb/6p1P2 P2 =0p1e=b/60)2( 32121paebPp？L=?P1=?

24、 p1eeb2L=3(b/2-e)矩形基础矩形基础F GpAmax2()3(2)FGpbe l(3-9)(其他形状基础其他形状基础)PM=P ep1p2 o eyc1c2xFWFWcIWcIWeFVWMFVpeFVWMFVp22112211222111)1()1(PAPAPAPAAAF GpAAPp2.双轴向偏心双轴向偏心: 基底压力为基底压力为 不均匀直线分布不均匀直线分布)1()1()1()1(4321xxyyyyxxxxyyyyxxxxyyyyxxxxyyyyxxeeFVWMWMFVpeeFVWMWMFVpeeFVWMWMFVpeeFVWMWMFVp1234p1p4p3p21234yxe

25、xeyF GpAA基底附加压力基底附加压力基底附加压力基底附加压力: 作用于基底上的平均压力减去基作用于基底上的平均压力减去基 （基底净压力）（基底净压力） 底处原先存在于土中的自重应力。底处原先存在于土中的自重应力。 地基土在自重应力的长地基土在自重应力的长期作用下变形已完成期作用下变形已完成挖去土重挖去土重 d d d 基底压力为基底压力为p，但能引起地基土产生，但能引起地基土产生压缩变形的为新增加的压力压缩变形的为新增加的压力p - d ，即基底附加压力即基底附加压力00czpppd000例题例题3一一2某外墙柱下独立基础底面尺寸为3m2.4m，柱传给基础顶部的竖向荷载标准值F=900k

26、N，弯矩M=150kNm，求基础底部的压力p、pmax、pmin和基底附加压力p0。例题：例题：有一有一条形条形刚性基础，宽刚性基础，宽b=4.0m，作用着均布线状中，作用着均布线状中心荷载心荷载P=1000kN/m（包括基础自重），（包括基础自重），(基础埋深d =1.5m，地基土容重 =17.4kN/m3 ，) 试求基础试求基础中点下中点下6m处及基础边沿下处及基础边沿下6m处的竖向荷载应力。处的竖向荷载应力。习题：习题：有一矩形刚性基础，长有一矩形刚性基础，长a=6.0m, 宽宽b=4.0m，作用着中心荷载，作用着中心荷载P=1000kN（不包括基础自重），（不包括基础自重），(基础埋深

27、d =1.5m，地基土容重 =17.4kN/m3 ，) 试求基础中点下试求基础中点下6m处的竖向荷载应处的竖向荷载应力。力。F GpA例题例题 有一圆环形基础，圆环外径为有一圆环形基础，圆环外径为12m，内径为，内径为8m，离，离基础中心点基础中心点2m处作用有合力为处作用有合力为9000kN的垂直荷载，的垂直荷载，试求基底最大和最小压应力？试求基底最大和最小压应力？9000kN附加应力附加应力(荷载应力）：由外加荷载引起的应力。区荷载应力）：由外加荷载引起的应力。区 别于土的自重应力。垂直方向附加应力别于土的自重应力。垂直方向附加应力 表示为表示为地面上作用有地面上作用有垂直均匀满布荷载垂直

28、均匀满布荷载qqzzzqz总qz垂直附加应力：垂直附加应力：z0 xyzyzx、为主应力面垂直截面、水平截面均zyx1其它方向附加应力：其它方向附加应力：自重应力ZP=111/21/21/41/83/81/43/81/82/41/165/321/321/161/325/326/1610/3210/324/164/16ZP=111/21/21/41/83/81/43/81/82/41/165/321/321/161/325/326/1610/3210/324/164/16地基中附加应力扩散示意图 新增加的荷载产生应力扩散，附加应力随深度的增加平面分布范围增大，但数值减小。同一深度表现为中部应力大

29、，向两侧渐小。地面上作用有地面上作用有垂直集中荷载垂直集中荷载P,计算土中的附加应力计算土中的附加应力 zPrRzrK查表查表3-122/5225332)/(12323cos23zPzrzPRzPRPzBoussinesq解出：解出：采用弹性理论解答 三维问题：三维问题： 其余应力分量同样解出其余应力分量同样解出 （采用直角坐标）（采用直角坐标） xxyxzyzzPrzrrzr（采用圆柱坐标）（采用圆柱坐标）yX、Y、Z轴方向的位移 垂直线状荷载下，土中的附加应力垂直线状荷载下，土中的附加应力32cos23Rdypdz积分：积分：222343)(2cos2cos2zxzpzprpdzzrxzx

30、yzp0R dyP0dypp二维平面问题：其余应力分量同样解出二维平面问题：其余应力分量同样解出 xxzrxzxyzp0R dyP0dypp条形荷载下，土中的附加应力条形荷载下，土中的附加应力3cos)(2rdxxpdz积分：积分：213cos)(2xxzrdxxpN12rdxP(x)xx1x2条形均布荷载条形均布荷载p0zx0bNxz0s2222220)(16 1)(4)(4 1)(4)(44/2/21arctan/2/21arctanpbzbzbxbzbxbzbzbxbzbxpz积分结果：积分结果：（应力系数，与（应力系数，与x, z, b有关有关, 可查表可查表 注意：坐标原点在荷载的中

31、点注意：坐标原点在荷载的中点二维平面问题：二维平面问题：其余应力分量同样解出：其余应力分量同样解出： xxzN12P x13sin)sin()(1212pp大小主应力大小主应力 ： 12P166 (6-1)条形三角形分布荷载条形三角形分布荷载p0 xzN0bxz积分结果：积分结果：0st220)/() 1/(1/)/1/arctan/(arctanpbzbxbxbzbzbxbzbxbxpz（应力系数，与（应力系数，与x, z, b有关有关, 可查表）可查表） 注意：坐标原点在三角形顶点上，注意：坐标原点在三角形顶点上，x 轴的方向轴的方向 以荷载增长的方向为正以荷载增长的方向为正二维平面问题：

32、二维平面问题：其余应力分量同样解出其余应力分量同样解出 xxzpxzN0bxz例题例题3-5 局部面积荷载下，土中的附加应力局部面积荷载下，土中的附加应力 取一微分面积取一微分面积dxdy，将作用在这一微分面积，将作用在这一微分面积上的荷载上的荷载p(x，y) dxdy 作为一集中荷载，利用集作为一集中荷载，利用集中荷载下的公式求附加压力：中荷载下的公式求附加压力：然后对此附加压力进行面积积分：然后对此附加压力进行面积积分：2dxdy y)(xzpzdFzdFpz21坐标原点设在荷载圆心，求坐标原点设在荷载圆心，求z轴上一点轴上一点N的垂直应力的垂直应力 zNz Rz积分结果：积分结果：0r3

33、20)/(1/1pRzRzpz对任一点的垂直应力也可推出解析解，其结果不能用对任一点的垂直应力也可推出解析解，其结果不能用初等函数表示，不再介绍。初等函数表示，不再介绍。圆形均布荷载圆形均布荷载 p00r查表查表矩形均布荷载角点下矩形均布荷载角点下的应力系数查表的应力系数查表矩形均布荷载矩形均布荷载推导出计算公式比较复杂，可用下式查表计算：推导出计算公式比较复杂，可用下式查表计算：2222222221(21)arctan2()(1)11cmn mnmmnnmnn mnm=l/b，n=z/b 0zcpzyxzM(0,0,z)xdxbydylop0dxdyp0zyxzM(0,0,z)xdxbydy

34、lop0dxdyp0b为荷载面的短边宽度 (3-14)角点下角点下矩形均布荷载下任一点处的垂直附加应力计算矩形均布荷载下任一点处的垂直附加应力计算：用叠加原理，转为角点下，查表计算用叠加原理，转为角点下，查表计算矩形内一点下矩形内一点下矩形边点下矩形边点下矩形外一点下矩形外一点下 矩形线性分布荷载在荷载为零的角点下矩形线性分布荷载在荷载为零的角点下的应力系数查表的应力系数查表矩形三角形分布荷载矩形三角形分布荷载推导出计算公式比较复杂，推导出计算公式比较复杂，可用下式查表计算：可用下式查表计算：M (0, 0, z)XZYp0bl0 xp dxdybOM (0, 0, z)XZYp0bl0 xp

35、 dxdybO0zctp22222212(1)1ctmnnmnnmnm=l/b和n=z/b b是沿三角形分布荷载方向的边长。角点下角点下矩形线性分布荷载下任一点处的垂直附加应力计算矩形线性分布荷载下任一点处的垂直附加应力计算：用叠加原理，查表计算用叠加原理，查表计算 矩形角点下矩形角点下矩形边点下矩形边点下矩形内一点下矩形内一点下矩形外一点下矩形外一点下例题例题3一一 3pmin=200kPa4.0m2.0mCBApmax=600kPaadbcfepmin=200kPa4.0m2.0mCBApmax=600kPaadbcfe例题例题3一一4例题：例题： 有一矩形均布面积荷载，有一矩形均布面积荷

36、载， 平面尺寸为平面尺寸为3 4 ，单，单位面上压力位面上压力p=300kPa，如图所示。试计算在矩形如图所示。试计算在矩形短边延长线上，离角点外短边延长线上，离角点外侧侧1m，地面下，地面下4m处处A点点之之 （采用角点法之应力系数表）（采用角点法之应力系数表）2mz4m3mA1m4mA不规则面积任意分布的荷载不规则面积任意分布的荷载 采用近似方法求解：把荷载面积分成许多小块，求采用近似方法求解：把荷载面积分成许多小块，求每一小块面积上的合力每一小块面积上的合力pi，作为集中荷载，计算地，作为集中荷载，计算地面下一点由此集中荷载产生的附加应力面下一点由此集中荷载产生的附加应力 ，然后，然后通

37、过叠加，求总的附加应力通过叠加，求总的附加应力zizizNewmark感应图感应图 通过感应图求通过感应图求均布面积荷载作用下均布面积荷载作用下，弹性，弹性地基中任一点上的附加应力。地基中任一点上的附加应力。 A BNN比例尺比例尺AB长度长度等于等于N点的深度点的深度感应图中每个小感应面在感应图中每个小感应面在N点点引起垂直应力为引起垂直应力为0.005p地基中附加应力地基中附加应力 分布曲线及分布规律分布曲线及分布规律 z 附加应力附加应力 分布规律：分布规律：（1）在荷载面以下同一深度的水平面上，沿荷载轴线）在荷载面以下同一深度的水平面上，沿荷载轴线上的附加应力最大，向两边逐渐减小上的附加应力最大，向两边逐渐减小（2）在荷载轴线上（荷载作用面以内的竖直剖面上），）在荷载轴线上（荷载作用面以内的竖直剖面