(完整word版)概率论与数理统计复习资料要点总结

1、概率论与数理统计复习提要 第一章随机事件与概率1.事件的关系AuB AuB AB A B A。* AB=*2 .运算规则(1)AB = B A AB = BAz B2C = A.(BuC)(AB)C = A(BC)(Al> B)C =(AC2(BC)(AB)" =(Al>C)(B.C)23(4)=AB3. 概率P(A)满足的三条公理及性质:(1)0<P(A)<1(2) pg)=1对互不相容的事件Al, A2 ,，An ,有 P(U Ak) =£ P(Ak) ( n可以取 K ) k 二kAP伸)=0(5) P(A)=1 - P(A)P(A-B) =

2、P(A) -P(AB)，若 Au B，贝U P(B - A) = P(B) - P(A)，P(A) < P(B)P(A B) = P(A) + P(B) -P(AB)(8)P(A. BuC) =P(A) +P(B) + P(C) -P(AB) -P(AC) -P(BC)+ P(ABC)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率)定义：若 P(B)>0,则P(A|B)=鵲(2) 乘法公式：P (AB) = P(B) P(A|B)若Bi,B2,Bn为完备事件组，P (Bi) aO，则有(3) 全概率公式:nP(A) =2 P(Bi)P(A|Bi)i 二1(4) B

3、ayes 公式:P(Bk) P(A|Bk)P(Bk |A)= n送 P(Bi )P (A|Bi)7.事件的独立性：A,B独立二P(AB) = P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(X =Xi)= Pi满足(1)Pi>0 ,(2)送Pi=1i(3)对任意D匚R, P(X壬D) = S Pji：XiB-be2.连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足(1) f(x)>0, J f(x)dx = 1 ；b(6)对连续随机变量,5.正态分布的概率计算(2) P(a <X <b) = a f(x)dx ； (3)对

4、任意 a壬 R, P(X=a)=03.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B(1, P)P(x =1) = P , P(X =0) = q =1 - PPpq二项式分布B(n, P)P(X =k)=C：pkqn±,k=0,12n ,npnpqPoisson分布P仏)P(X =k) =ef,k =0,1,2, k!AA几何分布G(p)P(X =k) =qk°p, k =1,2，1Pq2P均匀分布U (a,b)1f(X)=, a < X < b ,b aa + b2(b-a) F(亠)=0, F(畑)=1;(2)单调非降；(3)右连续;(4)

5、P(a CX <b) = F(b)-F(a)，特别 P(X >a) =1-F(a);(5)对离散随机变量,F(x) = Lf(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F (x)= f (X)tr以(X)记标准正态分布 N(0,1)的分布函数，则有2 x-P (1 )0 (0) =0.5； (2)(X)=1 (X)； (3)若 X -)，则 F(x) =e()；12指数分布E(Qf (X)= Ze -勺 X 3 0丄丄正态分布N(巴CT2)1f(x)L e 2&kc 24.分布函数F(x) =P(X <x)，具有以下性质(4)以Ua记标准正态分布 N(0,1)的上侧a

6、分位数，则P(X=a =1 -(uj6.随机变量的函数Y= g(X)(1)离散时，求丫的值，将相同的概率相加;(2 ) X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则fY(y) = fx(g(y)l(g(y)' 1，若不单调，先求分布函数，再求导。第四章 随机变量的数字特征1.期望(1)离散时E(X) =2 Xi Pi , E(g(X) =2ig (Xi)Pi ；连续时E(X)=J xf(x)dx, E(g(X)J g(x)f (x)dx ；二维时E(g(X,Y) =5： g(Xi,yj)Pj ,i ,jE(g(X, YXtXgZmxydxdy(4)E(C) =C ；(

7、5)E(CX) =CE(X)；(6)E(X + Y) =E(X) +E(Y)；(7)X,Y 独立时，E(XY) =E(X)E(Y)2.方差(1) 方差 D(X) =E(X -E(X)2 =E(X2) -(EX)2，标准差 cr (X) = JD(X)；(2) D(C) =0, D(X +C) =D(X)；(3) D(CX) =C2D(X)；(4) X,Y 独立时，D(X + Y)=D(X) + D(Y)3.协方差(1)Cov(X,Y) =E(X -E(X)( Y- E( Y) =E(X Y)-E(X)E(Y)；Cov(X,Y) =Cov(Y,X), Cov(aX,bY) =abCov(X,Y)

8、；Cov(X1 +X2,Y) =Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y);Cov(X,Y) =0时，称X,Y不相关，独立=不相关，反之不成立，但正态时等价;D(X +Y) = D(X) +D( Y) +2Cov(X, Y)4.相关系数P xy =C°V(X,Y);有 I Pxy 1 , I Pxy 1=1=至,b, P(Y =aX +b) =1cr(X)cr( Y)kk5. k阶原点矩Vk=E(X ) , k阶中心矩4k=E(X-E(X)D(X)或 P| X -E(X) |<£ >1- D(X)第五章 大数定律与中心极限定理Chebyshev不等式P| X -

9、E(X)|Kg <2z2.3.大数定律中心极限定理设随机变量Xi,X2，Xn独立同布 E(Xi)十 D(Xi)"Xi近以N(n巴nb2),或Iz Xi近以NW,.) 近似n i斗近似nnZ Xi -nA近似 N(0,1)，设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P(A) = P ,则对任意lim Pm nP-兰 x =e(x)或理解为若 X B(n, p)，则ynpqX 近似 N(np，npq)第六章样本及抽样分布1 .总体、样本(1) 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法)(2) 样本数字特征：1 n样本均值X =-£ Xin y(E(Xi，D(

10、X)样本方差 s2 =nZ (Xi -X)2(n 1 i 壬) 样本标!1 n ST2(Xi-X)2-X)k样本k阶原点矩Vk =丄5： Xik，样本k阶中心矩n y2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(12分布Z2 =X12 +X； +x2 /2(n),其中X1 ,X2 " ,Xn独立同分布于标准正态分布 N(0,1)，若 X X2(n 1), YX2(n2)且独立，则 X +Y "(m +门2)；X2t分布 t=t(n)，其中 X N(0,1), Y-Z (n)且独立; 寸Y/nF分布F =乞土Y/n2性质1F F(

11、n2,nJ5("2)飞(n2,n1)-F（ni,n2），其中X /2（nJ,Y ，（啓）且独立，有下面的4. 正态总体的抽样分布X N (比 b2 / n)；(2)丄Z (Xi 4)2 72(n);(n -1)S22Q- Z2(n-1)且与X独立;(4) t=(n-1)；s/jn(n 1-1)S2 +(n 2-1)&ni + n2 -2t=（X Y）（已士）匹 5+门2-2）, S；2第七章参数估计1 .矩估计：（3）解方程求出矩估计（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；2.极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导

12、数；（4）令导数或偏导数为0,解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为minxj或maxxi）3.估计量的评选原则（1）无偏性：若E（=0，则为无偏；（2）有效性：两个无偏估计中方差小的有效;4.参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间a2b已知X-4 仁/需-crx Uq 厂"2 V nb2未知t - X- s/ vn-Xsx ta(n - D L -/nb2卩未知/2 (n -1)s2CT2(nT)s2 (n-1)s2 力日匕心)2 2复习资料一、填空题（15分） 题型一：概率分布的考察【相关公式】（P379）分布参数分布律或概率密度数学期望（E）方差（D）（

13、0 1 ）分 布0 C P c1P X =k= pk(1 -p y上，k=0,1PP(1-P)二项分布n >10 c p c1P X = k=k =0,1,fn',npk(1- p严，npnp(1- P)负二项分布r >10 c p c1PX =k= k =r, r +1,IJp r(1-P)Jr"pr(1 P)2 p几何分布0 c p c1P =x =k=(1-p)kpk =1,2,1P1-pp2超几何分布N,M ,a (M <N) (n <N)<M讨Px=k = lkk为整数，max =(飞-M j-k丿 叫<k丿),n-N + M&l

14、t;knMN<mi nn ,MnM 匚 M Yn - n ) nJ n人n -1丿泊松分布Z >0k 人eP X =k=k!k =0,1,2,Zz均匀分布a <b1r, a c X c bb-a* f(x) =10,其他a +b2(b-a)212【相关例题】11、设 xLlu（a,b），E（X）=2，D（Z）=，则求 a，b 的值。31解：X L U(a,b),E(X) =2,D(X),根据性质:3a+b(b-a)2 1.仝上=2,w e =-,a<b2123解得：a=1,b=3.2、已知 X|Jb(n,p), E(X) =0.5,D(X) =0.45,则求 n, p

15、的值。解：由题意得：np = 0.5,np(1- P)= 0.45 解得：P = 0.1.题型二：正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】(P163)CT2为已知，由枢轴量“二，得到卩的一个置信水平为1或的置信区间:0 M/n【相关例题】1、(样本容量已知)已知总体X N(巴0.81),Xi,X2,X25为样本,且X =5,则卩的置信度0.99的置信区间为：解：代入公式得：(-CT y (0.9)!X+-Z 婕2= 5±一Z0.025I 麻八 5 丿=(5 ± 0.181.96) = (4.6472,5.3528)2、(样本容量未知)已知XQ N(巴1),X1,X2,X3,

16、Xn为样本容量，若关于卩的置信度0.95的置信区间(10.88,18.92)， 求样本容量.解：由题意知：样本长度为 7.84，则有:f、 Q-X + 了 ZqV 血2丿bZg =7.84= 7Zg=3.922 丿V n 2代入数据，得：麻=2二n =4.题型三：方差的性质【相关公式】(P103)(1 )D(C) =0,C 为常数。(2) D(CX) =C D(X),D(X+C) = D(X), c为常数。(3) X,Y相互独立，D(X +Y) =D(X)+D(Y)【相关例题】1、已知 X1, X2两变量，且 X1 Lu(2,4), X2N(0,9),相互独立，求D(X2X2).解：7XiU(

17、2,4),X (0,9)二 D(X1 -2X2)=D(X1) +4D(X2)="(+4x9 = 361123题型四：t分布、工2分布的定义【相关公式】(P140、P138)(1设X (0,1),Y /2(n),且X, Y相互独立，则称随机变量t恰 M n服从自由度为n的t分布，记为tLt(n).曰.2+ +Xnn的Z2分布,记为/ 2L X2( n)(2设X1,X2, X3,，Xn是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量 /X12 +x|服从自由度为【相关例题】X1、若X lgoyMs)，且乂丫相互独立，而n?302、若变量X1,X2,X3,X30服从N(0,1)，则送XL?30答：

18、X2L /2(30).i 1题型五：互不相容问题 【相关公式】(P4)若ACB =0,则称事件A与事件B是互不相容的。【相关例题】 1、若P(A)=0.6,A,B互不相容,求P(AB).解：7 A B互不相容二 ACB =0二 P(AB) =P(A(S-B) = P(A-AB) =P(A) =0.6二、选择题(15分)题型一：方差的性质【相关公式】（见上，略）【相关例题】（见上，略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量） 题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略） 题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略） 题型五：对区间估计的理解（P161） 题型六：正态分布和的分布【相关公式】（P1

19、05）【相关例题】若X N(0,2),Y N(3,9),贝9(X +Y ) ?答：N(0+3,2+9) =N(3,11).题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2x,0 <x c10,其他已知 PX >a = PX ca,则求a。解：由题意，得：1-PX <a =PX ca /. PX ca弓即有：a2xdx = x2 |：=丄P2又；a0/. a = 一2三、解答题（70分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】全概率公式：设实验E的样本空间为S, A为E的事件，B, B2,Bn为S的划分，且P(Bi)>0,则有：P(A尸P(A|Bi )P(B

20、i) + P(A|B2 尸(B2 )+?+ P(A|Bn )P(BJ 其中有：P(B|。P(A)特别地：当n=2时，有：P(A) = P(A|B)P(B) +P(A| B)P(B).贝叶斯公式：设实验E的样本空间为So A为E的事件,Bi，B2，Bn为S的一个划分，且P(A):>0,P(Bi)0(i =1,2,n),则有：P(Bi|A)=PP(A)P( A|Bi) P(Bi) SnjP (A|B) P(Bi)特别地：当n=2时，有：P(B|A)= P(AB)P(A|B) P(B)P(A)P(A|B )P (B) + P(A|B) P(B)元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.152

21、0.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。问：(1) 在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；(2) 在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。(见下)【相关例题】 1、P19 例 5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据:解：设A= 取到一只次品, B= 在 i厂取到产品（i =1,2,3）.且B1、B2、B3是S的一个划分。则由全概率公式有：P(A) = P(A|B1 )P (B1) +P( A|B2)P(B2)+ P( A|B3)P(B3)=

22、 0.02 xO.15 +0.01 xO.80 +0.03x0.05= 0.0125(2)由贝叶斯公式有：P(B3|A) =P(A)"0.0125P(A|B2)P(B2)0.01x0.80P(A)0.0125P(A|B3)P(B3)0.03x0.05P(B2|A) = 0.64P(B1|AH P(A|B1)P(B1)o.02".15=0.12 P（A）0.0125答：综上可得，次品出自二厂的可能性较大。= 0.24，在袋中任意取一枚,，本题即求P（ A| B），得:2、袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽） 将他掷r次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正

23、品的概率是多少？解：设A=所抛掷的硬币是正品，B=抛掷r次都得到国徽“ L m n1P(A)=, P(A) =, P(B|A)=, P(B|A)=1.P(B|A) P(A)1 m2r £ + n1 m n十2r m + n m + nm +nm + n2即有：P (A|B )= P (AB)=-P(B) P(B| A) P(A) + P(B|A) P(A)3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2% （这一事件记为 A1），损坏10% （这一事件记为 A2），损坏90% （这一事件记为 A3），且知P（A1） =0.8，P（ A2） =0.15，P

24、（A3） =0.05.现在从已经运输的物品中随机取3件，发现这三件都是好的（这一事件记为 B ），试求P（A | B）, P（A | B）, P（A | B）（这里物品件数很多，取出一件后不影响 取后一件是否为好品的概率）。（见下）解：由题意可知：P(B| A) =0.983,卩9|人)=0.93, P(B|A3) =0.13P(A) =0.8 ,P (A2) =0.15 ,P (A3) =0.05P(B)= P(B|A) P(A) + P(B|A2)P(A2)+ P(B|A3)P(A3) = 0.983 x0.8+0.93x 0.15+ 0.13x 0.05= 0.8624P(A1|B2 P

25、A)P(A<0.983".8 =0.87310.8624P (B)P(A2|B) =0.1268P(A3| B 0.00014、将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a,而输出其他字母的概率都是(1-a)/2.今将字母串 AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道，输入AAAA、BBBB、CCCC 的概率分别为 p1、p2、p3 ( p1+ p2+p3=1 / ,已知输出为 ABCA。问输入 AAAA的概率是多 少？(设信道传输各字母的工作是相互独立的。/解：设A=输入为AAAA , B=输入为BBBB, C=输入为CCCC , D=输出为ABCA, 依题意求P(

26、A| D >P(D) = P(D | A)P(A) +P(D | B)P(B) +P(D |C)P(C)2/1-a 23/1 -a 33/1-口3=0 ()y E ()-p2+a ()p2 (1 a )2P(A|D) =P(AD) P(D|A)P(A) JPP(D)颐P(D)：2号)2 P -号)3 p2 5号)3 P3di+(1-Pi)dm+i题型二：1求概率密度、分布函数；1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度式：f(x)dx=1，且对于任意实数,，oC【相关例题】(1)设随机变量X的分布函数为:0, X <1Fx (X) = < In

27、 x,1 <x ce1,x沢正态分布f(x)求分布函数抓住公x2有：PX1 cX CX2 = F(X2)-F(X1)= f 2f(x)dx。 X1a P1a P15求P(X2)、P(OX<3)、P(2cXc-)求概率密度fx(x).(见下)解：<2) =P(X <2)=1 n2(1) P(XP(0 <X <3) = Fx (3)-Fx(0) =1-0 =1555P(2 vX r)=Fxt)Fx (2) =1 n-224d1Fx(X)=dxx/. fx(x)=<I 0,其他A(2) f(x) =(Y<XV邑)，是确定常数 A。1 +x+处 A解：由

28、相关性质得：f 一 dx=1'-处 1+x解得：A(arctan x二+arctan x严=11A = -兀设随机变量X具有概率密度f(x)=xf ,0 <x v36x1 2-,3<xv4，求X的分布函数。2、0,其他解: XX "0 6x xx2F(xH【相关公式】 （1）公式讣丄罟SX十）其中:巴CT为常数，则称XK从参数为 巴CT的正态分布。(2)若 XN(巴 b2，则Z = N(0,1).（3 ）相关概率运算公式:X-卩 x-4x-4PX <x =P < 一 =0( );X -4<c<C为一卩PN <X CX2 =P c（X）

29、=1-（-X）.【相关例题】1、（ P58 27）某地区18岁女青年的血压该地任选一名18岁女青年，测量她的血压（收缩压：以X，求：mmHg 计）服从 N （110,12），在(1) PX <105, P100 cX <120;(2) 确定最小的X,使PX >x <0.05 解：(1)；X N(110,122)X _110 1051105/. PX v105=P-<-=6(-)L 1-6(0.42)=1-0.6628=0.3372;12 12122"=(10)-(-10) = 2(10) -1 = 0.5934沖=1-计T-0512X 110 PXx =

30、1-PX <x =1-P2P1OO<X2O = PO<3.即有：(X；10) >O.95L (1.65)X -110=二 1.65= xk129.812二 xmin =129.82、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数卩=10.05® =0.06的正态分布，规定长度在范围10.05 ±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。 （见下）解：设A= 螺栓合格，本题求P(A)l9.93-10.05 X-10.05 10.17 10.05c X-10.05 补.cccP(A) = P<< = P(2 << 2)=益(2) -1

31、 = 0.95440.06 0.06 0.06 0.06/. P(A) =1 -P(A) =1-0.9544=0.0456题型三：二维随机变量的题型【相关公式】1、2、3、C+oQ I oQ二维随机变量的求法：J J f(x, y)dxdy二 Ji ； f (x,y)dx dy = 1.一远 '绘.aC 广oCJ联合概率密度求法：f(X, y) = fx (x) fY(y)随机变量的函数分布：(1)Z =X +Y: fxM fy = f亘fx(z y) fY(y)dy= fEfx(x)fY(z-x)dx_oCoC处 1z(2)Z =XY: fxY(z)= f fx(x)fY()dxxY

32、(3)Z pfY (z) = JXoCx fX (x) fY (xz)dx"X【注意点】讨论x,y取值范围。【相关例题】1、（ P843）设随机变量（X,Y ）的概率密度为:f k(6 X y),0 c X c 2,2 c y c 4f (x,y)=<I 0,其他(1)确定常数k. 求P X<1,Y<3.求 PX<1.5. 求PX +Y <4.(见下)3、( P8725）设随机变量X , Y相互独立，且具有相同的分布，它们的概率密度均为解：4242 pOk(6 x- y)dxdy = k J?严- 解得:k= 18： 今-xy|2 dy = k J：(1

33、02y)dy =11 313(2 由题意即求：8 J2p0(6 X-yx dy =8 (3)由题意即求：1 J：”；.5®-x -y)dxdy =17 由题意即求(如图)：J：* y(6 X y2、( P86 18)设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在区间(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为：fY(y)=彳0,其他23(1求X和Y的联合概率密度.(2 求 PX <Y.解：由题意的：X的概率密度如下:1,0<x<1lo,其他1 -2二 f(x,y) = e 2,0 ex <1,y a02f(x, y) =0,其他(2)由题意,即求：1处1 丄1处1 (J

34、IJ 丄e2dvidx=J IJ (2)亠2打idx = J le2 0 X 2 yX *2 I 2 丿 01 丿1=2/ 1_yfdx27f(x) =求 Z=X+Y解：的概率密度。cfx*(x, y) = J0 fx(x) fY(z x)dx =z1edx =e2d(z -2).(x >2)4、(P8726）设随机变量 X,Y相互独立，它们的概率密度为f(x) =Z=Y/X的概率密度。l0，其他解：由题意知当X :>0时，:X >0,Z0.f（z）= f（Y）Xc=f xfX(x)fY(zx)dx0=Jo |x|fX(x)fY(zx)dx【0 xe4讪xdx=y.(z+1)

35、2(z+1),za0oC-x -ZX If-x _ZX ie dx = 0 xe e dx =当 X <0时，f （Z） =0.综上所述，Z的概率密度为:fz(z) =5I心0题型四：最大似然估计的求解【相关公式】(1)当只有一个变量0的时候，有： 幺1(£) =0或2|n L® =0;d日de(2当未知变量有 的时候(i >2)，有：rrL =0或In L =0(i =1,2,3,k) 胡i閃【相关例题】1、设概率密度为：f(X)lO,其他求汕勺最大似然估计解:/-aS xi V y 丿nnL(k) =n、小=扎 expi壬l(A) = l nL(日)=nln

36、'汎 x2l(Q =-5： x-人 i 二icU令2|(几)=0,即有:：二丄. C人xn2、( P1748)设Xi,X2,X3,?,Xn是来自概率密度为:ex 日二0 <x <1f(x；日戶lO,其他的总体的样本，0未知，求0的最大似然估计。解:nf n fL(日)=n日X日亠y门Xii 1li 2 丿1(0) =ln !_(&)= nine +(& -1 )ln n X Ily丿d小、n |n|(日r-t1 n|n Xi令訓佝=°'得:0=-,P ) 叫门XiV二丿题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】1、正

37、态总体均值的假设检验(1标准差CT已知(Z检验法)：Z _X 卩0 c hjn(2)标准差CT未知(t检验法):X -卩。It = Lt(n-1)s/ VnX _ U拒绝域为：|t|= 匕2(n-1) shj n2、正态总体方差的假设检验当Ho为真时，有：(n -1 )S2L /2(n-1)拒绝域为【相关例题1、( P2183.253.27(n -1 jS?2-"Q n-1)0】3)某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定(%)3.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在 含量的均值为3.25.a =0.01下能否接受假设，这批矿砂的镍33解：在显著性水平a =0

38、.01下检验问题:H0：x =3.25Hi: X H3.25 检验统计量 X =3.252, S=0.013,-0=3.25,n=5 。丿252 一 3.气 0.3442代入数据，得观察值：t= X-貲SI 麻0.013/75拒绝域为 期"口（n- 1）=t0.005=4.6061 即：t 壬（M,-4.6061 P（4.6061，母） 70.3442 <4.6061 /.接受H 0”.在a =0.01的情况下可以接受假设，这批矿砂的镍含量均值为3.25.2、（ P220 12）某种导线，要求电阻的标准差不得超过0.005Q,尽在一批导线中取样品9根，测得s=0.007Q，设总

39、体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平a =0.05下能否认为这批导线的标准差显著偏大？解：在显著水平Ct =0.05下检验问题:H。： b <0.005Hi： b >0.005 检验统计量：s= 0.007, n = 9,b2代入数据，得观察值-（n j）S= 0.0058X0.0072c=2 =15.680.0052(8) =15.507拒绝域为：t>/21/n-1）=厂0.05715.68 >15.507/.拒绝H 0二在显著性水平a =0.05下能认为这批导线的标准差显著性偏大。模拟试题一一、填空题（每空 3分，共45分）1、已知 P(A) = 0.92, P

40、(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85,则 P(A| B )=P( A U B)=2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为-，A发生且B不发生的概率与 B9发生且A不发生的概率相等，则 A发生的概率为:3、一间宿舍内住有 6个同学，求他们之中恰好有 4个人的生日在同一个月份的概率:；没有任何人的生日在同一个月份的概率Aex,4、已知随机变量 X的密度函数为：W(x) = 1/ 4,X C 00 < X c 2 ,则常数A=X >2分布函数F(x)=,概率 P0.5 cX <1=o,5、设随机变量 X B(2 , p)、Y B(1 , p)，若 PX >1

41、 =5/9，则 p =若X与丫独立，则Z=max(X,Y)的分布律:6、设 X B(200,0.01), 丫 - P(4),且 X 与 丫 相互独立，则 D(2X-3Y)=COV(2X-3Y, X)=时,7、设X1,X2|(,X5是总体X - N(0,1)的简单随机样本，则当 k =k(X<HX2)丫JX；+x2+x；g；- 1 n&设总体Xu(oe)日0为未知参数，X1,X2|,Xn为其样本，X =丄£ Xi为 n y样本均值，则 日的矩估计量为:9、设样本X1,X2，川，X9来自正态总体 N(a,1.44)，计算得样本观察值 x = 10，求参数a的置信度为95%的

42、置信区间:二、计算题(35分)1、(12分)设连续型随机变量 X的密度函数为:丨1其它®(x)丿厂0* 210,求：1)P| 2X -12 ； 2)丫 = X2 的密度函数 ®Y(y) ； 3)E(2X 1)；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为|y|<x,0 cx<2,其他1)求边缘密度函数®x(x),®Y(y)2）问X与丫是否独立？是否相关?3）计算Z = X + Y 的密度函数 码（Z）;3、（11分）设总体X的概率密度函数为:1 45/、!-, X30X cO玖X)十1°Xl,X2,Xn是取自总体X的简单随机样本。

43、1 ） 求参数日的极大似然估计量 於;2 ）验证估计量M是否是参数9的无偏估计量。三、应用题（20分） 1、（ 10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别 是3/10 ,1/5 , 1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟 到的概率分别是1/4 , 1/3 , 1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?0.5 %。，假定有害2 . （10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过物质含量X服从正态分布。现在取 5份水样,测定该有害物质含量，得如下数据:0.530 %,0.542 %,0.510 %,0

44、.495 %,0.515 %能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定=0.05)?#附表:模拟试题二p（aB）=、填空题（45分，每空3分）1.设 P(A) =0.5, P(B|A)=0.6, P(AB) =0.1,则 P(B)=2 .设 A,B,C 三事件相互独立，且P(A)= P(B)= P(C),若 P(Au BuC) = ，则64P(A)=3 设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X表示取出的3件产品中的次品件数，则X的分布律为394 .设连续型随机变量 X的分布函数为F(x) =A+Barctan(x),x亡 R则(A, B)=,X的密度函数&#

45、174;(x) =5 .设随机变量X U2,2，则随机变量1Y=X +1的密度函数9丫(丫)=26设X,丫的分布律分别为X -1P 1/41/21/4P 1/21/2且 PX + 丫 =0 =0 ,则(X,Y)的联合分布律为。和 PX + 丫 = 1=7 .设(X ,丫)N ( 0 , 2 5 ; 0 ,则 co VK(Y =)时，统8 设(Xi,X2,X3, XJ是总体N(0,4)的样本，则当a =计量X =a(Xi -2X2)2+b(3X3-4X4)2服从自由度为2的工2分布。9 .设(X1,X2i,Xn)是总体N(a,b2)的样本，则当常数k =n_2 =血(Xj -X)2是参数b2的无

46、偏估计量。i =110 设由来自总体 X N(a,0.92)容量为9的样本，得样本均值 x=5，则参数a的置信度为0.95的置信区间为 二、计算题(27分)1 . (15分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为1叫 y3(x+y)，2，2其它求X与Y的边缘密度函数 Wx(x),®Y(y)；判断X与Y是否独立？为什么?求Z =X + Y的密度函数Wz(z)。分)设总体X的密度函数为其中0 >0是未知参数,(1 )参数日的矩估计量半(x)"I0,x <0(Xi,X2，川，Xn)为总体X的样本，求(2)£的极大似然估计量 &2。三、应用题与证明题

47、(28分)1 . (12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有 3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后,(1) 求从乙箱中任取一件产品为次品的概率;3件产品中(2) 已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的恰有2件次品的概率。36位考生的成绩，算2 . (8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了 得平均成绩x=66.5分，标准差$=15分，问在显著性水平 a =0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。3 . (8 分)设 0VP(A)V1，证明： A与 B 相互独立二 P(B|A)=

48、P(B|A)。附表：U0.95 二1*65, u0.97 1.96, t0.95(35 1.6896, t0.95 (36) =1.6883,to.975(35) =2.0301, to.975(36) =2.0281,模拟试题三一、填空题（每题 3分，共42 分）1 .设 P(A) =0.3, PZ B) =0.8,若 A与B 互斥，则 P(B)=A与 B 独立，则 P（B）=；若 AU B，则 P（Ab）=2 .在电路中电压超过额定值的概率为P1 ,在电压超过额定值的情况下，为P2，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为；申（X）-f4x3,0 < X <13.设随机变量X的密

49、度为彳卄宀，则使PX：a10,其它常数a =; P0.5 VX<1.5 一 >4.如果（X, Y）的联合分布律f为123X11/61/91/1821/3aP则a,3应满足的条件是0<01勻,< 1,邛=1,a =,P =,E(X +3Y1)=O仪器烧坏的概率=P X C a成立的若X与Y独立,5 .设 X B(n,p),26 .设 X N(a,b )，则Y =服从的分布为2且 EX =2.4, DX =1.44,则 n =7 .测量铝的比重16次，得X =2.705, S =0.029 ,设测量结果服从正态分布N（a,b2）,参数a, b2未知，则铝的比重 a的置信度为

50、95%的置信区间为二、（12分）设连续型随机变量 X的密度为:（1 ）求常数c ；（2）求分布函数F（x）;（3）求丫 =2X +1的密度申Y（y）三、（15分）设二维连续型随机变量（X, Y）的联合密度为tc, 0cx<1, 0cycx 呱yf,其它(1)求常数c ；（2）求X与Y的边缘密度申x（x）, ®Y（y）；(4)问X与Y是否独立？为什么?求 Z =X +Y 的密度 Wz(z) ；(5)求 D(2X -3Y)。四、（11分）设总体X的密度为讣忙1朋1°,Ocx<1其它其中0： -1是未知参数，（X1,川，Xn）是来自总体X的一个样本，求参数日的矩估计量闵；(2)参数£的极大似然估计量每；五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:321，它们在一定时间内41N（a,cr2），得到的2b =0.04 ？需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一