第二讲 矩阵的数值运算

1、 matlab 具有出色的数值计具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位件的主导地位 a=3.3； b= 4.4； c=1，a，3；4，5，6；b，7， 8c = 1.0000 3.3000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 4.4000 7.0000 8.0000例例1： m=1 2 3;4 5 6, n=11 12 13;14 15 16m = 1 2 3 4 5 6n= 11 12 13 14 15 16 c=m+ i*nc = 1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.00

2、00i 4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i例例2：q 逗号和分号逗号和分号的作用的作用q 冒号的作用冒号的作用Note：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽变量名尽可能不要重复，否则会覆盖可能不要重复，否则会覆盖 。 当一个指令或矩阵太长时，可用当一个指令或矩阵太长时，可用续行续行例：例：(1,1)a(2:3,1:2)a369814527a(123,3)(1:3,3)(:,3)aaa还可

3、以用还可以用subs函数修改，函数修改，matlab6.0还可用还可用find函数修改。函数修改。矩阵运算包括：矩阵的四则运算、特征根、奇异矩阵运算包括：矩阵的四则运算、特征根、奇异解的求解等。解的求解等。例：利用例：利用矩阵除法求解线性方程矩阵除法求解线性方程：321550.7227437xyz A= 3 2 1;5 0.7 2;7 4 3;b=5;2;7;X=AbX = 2.2609 1.7391 -5.2609方阵方阵1的整数的整数P P0 0，结果为与，结果为与a a相同的矩阵，当相同的矩阵，当p0p eig(a) %求矩阵求矩阵a的的特征值特征值ans = 16.1168 -1.11

4、68 -0.0000例：例： a=1 4 7 10;2 5 8 11;3 6 9 12a = 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12 k=size(a)k = 3 4 A=1 2 3 4 8 6;n=length(A)n = 6运算符运算符 可进行矩阵的可进行矩阵的共轭转置共轭转置运算，运算符运算，运算符.可进行矩阵的可进行矩阵的转置转置运算，当矩阵元素为实数时，运算，当矩阵元素为实数时，两者结果相同。两者结果相同。例、例、 A=1 2 3;4 5 6A = 1 2 3 4 5 6 B=AB = 1 4 2 5 3 6 7. 矩阵的关系运算矩阵的关系运算MATLAB提供了提供了6

5、种关系运算符：种关系运算符：它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。学中的不等式符号不尽相同。一个维数与原矩阵一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由相同的矩阵，它的元素由0或或1组成组成 c=(a abans = 0 0 0 0 0 1 1 1 1 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b=10-ab = 9 8 7 6 5 4 3 2 1例：例： 8. 矩阵的矩阵的逻辑运算逻辑运算v 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元表示，零元素为假

6、，用素为假，用0表示。表示。v 设参与逻辑运算的是两个标量设参与逻辑运算的是两个标量a和和b，那么，那么， a&b(与与) a,b全为非零时，运算结果为全为非零时，运算结果为1，否则为，否则为0。 a|b（或）（或） a,b中只要有一个非零，运算结果为中只要有一个非零，运算结果为1。 a（非）（非） 当当a是零时，运算结果为是零时，运算结果为1；当；当a非零时，非零时，运算结果为运算结果为0。MATLAB提供了提供了3种逻辑运算符：种逻辑运算符：&(与与)、|(或或)和和(非非)。逻辑运算的运算法则为：逻辑运算的运算法则为：v 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最在算术、

7、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。高，逻辑运算优先级最低。 a=-3 0 1;2 4 -5; -7 -8 9a = -3 0 1 2 4 -5 -7 -8 9 x=a 等价于等价于not(a),元素元素为为0时，结果为时，结果为1，否则为，否则为0 x = 0 1 0 0 0 0 0 0 0例：例： x1=(a0)x1 = 1 1 0 0 0 1 1 1 0 x2=a-2&a a=1 2 3,b=4 5 6,a = 1 2 3b = 4 5 6 a.2ans = 1 4 9 a.bans = 1 32 7291、求向量的最大值和最小值求向量的最大值和最小值格式：

8、格式：p y=max(X)：返回向量返回向量X X的最大值存入的最大值存入y，如果，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。中包含复数元素，则按模取最大值。p y,I =max(X)：返回向量返回向量X的最大值存入的最大值存入y，最，最大值的序号存入大值的序号存入I，如果，如果X中包含复数元素，则按中包含复数元素，则按模取最大值。模取最大值。求向量求向量X的最小值的函数是的最小值的函数是min(X)，用法和，用法和max(X)完全相同。完全相同。例例1、 求向量求向量x的最大值。的最大值。 x=-43,72,9,16,23,47; y=max(x) %求向量求向量x中的最大值中的最大值 y,l=

9、max(x) %求向量求向量x中的最大值及其该元素的位置中的最大值及其该元素的位置2、求矩阵的最大值和最小值求矩阵的最大值和最小值求矩阵求矩阵A的最小值的函数是的最小值的函数是min(X)，用法和，用法和max(X)完完全相同。全相同。例：例： A=2 8 16; 0 -2 30;3 61 4A = 2 8 16 0 -2 30 3 61 4 max(A)ans = 3 61 30y,u=max(A)y = 3 61 30u = 3 3 2sum(A,dim)：当当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于sum(A)；当；当 dim为为2时，返回一个时，返回一个列向量列向量，其第，其第i个

10、元个元 素是素是A的第的第i行的各元素之和。行的各元素之和。prod(A,dim)：当当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于prod(A)；当；当 dim为为2时，返回一个时，返回一个列向量列向量，其第，其第i个元个元 素是素是A的第的第i行的各元素乘积。行的各元素乘积。例：例： A=2 8 16; 0 -2 30;3 61 4A = 2 8 16 0 -2 30 3 61 4 sum(A)ans = 5 67 50 prod(A)ans = 0 -976 1920M = 0.0011 0.0066 0.0009 0.0264 0.0101D = 1.0011 1.0036 1.004

11、9 1.0058 1.0061R = 1.0000 0.0119 0.0051 -0.0114 -0.0011 0.0119 1.0000 0.0093 -0.0012 0.0071 0.0051 0.0093 1.0000 0.0048 0.0095 -0.0114 -0.0012 0.0048 1.0000 -0.0017 -0.0011 0.0071 0.0095 -0.0017 1.0000运行结果：运行结果：格式：格式：sort(X)函数返回一个对函数返回一个对X中的元素中的元素按升序排列按升序排列的新向量。的新向量。sort函数也可以对矩阵函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其

12、的各列或各行重新排序，其调用格式为：调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中其中dim指明对指明对A的列还是行进行排序。的列还是行进行排序。若若dim=1，则，则按列排；若按列排；若dim=2，则按行排。，则按行排。Y是排序后的矩阵，是排序后的矩阵，而而I记录记录Y中的元素在中的元素在A中位置。中位置。1. 多项式的多项式的表达方式表达方式Note：多项式中系数为多项式中系数为0的项不能忽略，的项不能忽略，p中相应元素中相应元素应置为应置为0。 p=3,5,1,7 或或 p=3 5 1 7 p1=3,0,2,4 或或 p1=3 0 2 42. 多项式多项式因式分解因式分解多项式方程求根多

13、项式方程求根利用利用函数函数roots（）（）求多项式方程的根，从而求多项式方程的根，从而因式分解。因式分解。例：例： 求多项式求多项式 的根。的根。32( )20.5137297.5P xxxx在在MATLAB中表示为：中表示为：例：例： 多项式多项式 ，32( )357P xxxx31( )324P xxx用用MATLAB语言：语言： p=1,-20.5,137,-297.5; r=roots(p)r = 8.5000 7.0000 5.0000多项式因式分解：多项式因式分解：( )(8.5)(7)(5)P xxxx例：例： 展开多项式展开多项式 。( )(20)(7)(5)P xxxx

14、ar=20 7 -5; p=poly(ar)p = 1 -22 5 700多项式展开：多项式展开：32( )225700P xxxx A=11 12 13;14 15 16;17 18 19; PA=poly(A) A的特征多项式的特征多项式PA = 1.0000 -45.0000 -18.0000 0.0000 PB=poly2str(PA,x) 以以x作为自变量，返回三次多项式作为自变量，返回三次多项式 PB = x3 - 45 x2 - 18 x + 1.8303e-014Note： poly2str是一个是一个函数文件函数文件。 n阶方阵的特征多项式系数存放为阶方阵的特征多项式系数存放

15、为1(n1)的一维数的一维数组。组。 特征多项式系数向量的特征多项式系数向量的第一个元素必是第一个元素必是1。 a=1 2 3;b=4 5 6; c=conv(a,b) %计算两多项式相乘后系数计算两多项式相乘后系数c = 4 13 28 27 18 p=poly2str(c,x)p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 1823(2)(4)(1)1sssss 求的商及余式。例：例：利用利用fminbnd函数函数求求fun：单变量函数的函数名，：单变量函数的函数名，x1 x2为给定的计算区为给定的计算区间，间，x,fval为最小值点的位置和最小值。为最小值点的位置和最

16、小值。 ,min(, 1, 2)x fvalfbnd fun x x例：求例：求 在区间在区间0，2的最小值的最小值32( )25f xxx f=inline(x.3-2*x.2-5,x);采用采用内联函数内联函数表示测试函数表示测试函数 x=0:0.1:2;plot(x,f(x) x,y=fminbnd(f,0,2)x = 1.3333y = -6.1852或：或：f=x.3-2*x.2-5 利用利用fminsearch函数求函数求从函数从函数fun的给定点开始搜索附近的最小值点的给定点开始搜索附近的最小值点x，fval为最小值点对应的最小值。为最小值点对应的最小值。 ,min(, 0)x

17、fvalfsearch fun x例：求例：求 在区间在区间x=0.3,y=0.7附近附近的最小值点。的最小值点。22( , )7f x yxy f=inline(p(1).2+p(2).2+7,p); 采用内联函数表示测采用内联函数表示测试函数试函数 minpoint,minval=fminsearch(f,0.3,0.7)minpoint = 1.0e-004 * -0.1766 -0.1636minval = 7.0000求非线性方程式的根的求非线性方程式的根的步骤步骤： 定义方程式（定义方程式（ 形式），可用形式），可用inline函数定义；函数定义； 代入适当范围的代入适当范围的x及

18、其对应及其对应f(x)值，画出方程函数曲线，值，画出方程函数曲线，了解该方程式根的大致位置；了解该方程式根的大致位置； 由图中决定由图中决定f(x)与与x轴相交的大致位置轴相交的大致位置x0，通过，通过fzero函函数求出在数求出在 x0附近的根。附近的根。( )0f x 2sin(2)0.50 xex f=inline(2*exp(x).*sin(2*pi*x)-0.5,x)； x=0:0.1:2;y=f(x);plot(x,y) r=fzero(f,0.5)r = 0.4752 r=fzero(f,1)r = 1.0144 r=fzero(f,1.5)r = 1.4910v 数值积分基本原

19、理数值积分基本原理 求解定积分的求解定积分的数值方法数值方法多种多样，如简单的梯多种多样，如简单的梯形法、辛普生形法、辛普生(Simpson) 法、牛顿柯特斯法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。法等都是经常采用的方法。 它们的基本思想都是将整个积分区间它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成分成n个子区间个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。这样求定积分问题就分解为求和问题。v 数值积分的实现方法数值积分的实现方法 变步长辛普生法变步长辛普生法基于变步长辛普生法，基于变步长辛普生法，MATLAB给出了给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：函数来求定积分。该函数的调用格式为： I n=quad(fname,a,b)其中其中fname是被积函数名。是被积函数名。a和和b分别是定积分分别是定积分的下限和上限。返回参数的下限和上限。返回参数I即定积分值。即定积分值。n为为被积函数的调用次数。被积函数的调用次数。 牛顿柯特斯法牛顿柯特斯法 基于牛顿柯特斯法