用初等变换求逆矩阵优秀课件

1、返回 上页 下页 结束 12.6 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程返回 上页 下页 结束 2一、等价定理一、等价定理定理定理1：设设A是是n阶方阵，则如下的命题等价：阶方阵，则如下的命题等价：（1）A是可逆的是可逆的 ；（2）AE，E是是n阶单位矩阵；阶单位矩阵；（3）存在）存在n阶初等矩阵阶初等矩阵12,lP PP12.lAPPP使（4）A可经过有限次初等变换化为可经过有限次初等变换化为E.证明证明1 （1）（2）易证明）易证明(见书上证明见书上证明)（2）（3） 因为A E，APPEPPPlrr 121再由矩阵那么，把E变为A的初等变换lPPP2

2、1,即有：lPPPA21 等价的对称性，有有 E A 。所对应的初等矩阵为，所以，所以 返回 上页 下页 结束 3（3）（4）lPPPA21 ，由，由 有有 11121lPPP AE由于由于 11121,lPPP仍是初等矩阵，上式说明对A 实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。（4）（1） 设A可经有限次初等行变换可化为E，则存在初等矩阵12,lQ QQ，使12lQQQ AE由于初等矩阵12,lQ QQ可逆， 所以A可逆。证毕。证毕。返回 上页 下页 结束 4分析: A 可逆 )(21为初等矩阵ilPPPPA1111PPAl)(1为初等矩阵ilQQQ AQQl1EBQQl1BA1)

3、()(11BAEBAQQl上式表明: 若 )()(XEBAr, 则 A 可逆, 且 X 即为AX = B 的解 X = A1B. 特别, 若 )()(1 AEEAr即如何求 X = A1B ? 给定n 阶可逆方阵 A 及 ns 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ? 左侧的意义： 对A、B 作相 同的行变换 11lQQA即有 返回 上页 下页 结束 5例1：设 2152327300210011A，试用初等变换法求.1 A解： 2152327300210011 1000010000100001 13123,rrrr142rr 2130324000100011 1002010300110001 2

4、3214,rrrr243rr 2100320000100001 1031014100110012 43rr 3200210000100001 0141103100110012 342rr 1000210000100001 2121103100110012返回 上页 下页 结束 6 342rr 1000210000100001 2121103100110012 4) 1(r 1000210000100001 2121103100110012 432rr 1000010000100001 2121321100110012所以 1A 2121321100110012返回 上页 下页 结束 7例例2.

5、 设 1111145212142121B问B是否可逆？解法解法1. 1111145212142121 1000010000100001 3230369096902121 10010102001400012314rr 0000369096902121100102001400013131若可逆，求其逆阵 B 1。13122,4rrrr14rr 可见B不可逆不可能化为 单位阵返回 上页 下页 结束 81111145212142121B1111145212142121B000132323234323132332332301312,rccc14cc B不可逆一、二两行相同一、二两行相同 ！解法解法2.

6、利用 “A可逆 A ”返回 上页 下页 结束 9332340022021332340010110例例3. 求解.010312022,AXAAX其中解解: 原方程变形为 AXEA)(110110312302022021)(AEA32rr 122rr 234rr 312100010110022021312100 ) 1(3r返回 上页 下页 结束 10312100010110022021212rr 31210062200130201032rr 可见 A E 可逆, 且AEAX1)(312302622注注: 若要求若要求 CAY 解解思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵方程 AXB=C ?方法一：r)(CA)(1CAEY注意：注意：这个 r2 是新的结果1, CAY有有CAY 由由方法二：CAY 由由CAY ）有有（,CYA 即即有有,返回 上页 下页 结束 11内容小结内容小结1. 矩阵的初等变换与初等矩阵 2. 用初等变换法求矩阵的逆 : 作业 P64. 25(1), （2）注意注意: 初等矩阵可逆, 其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵右右乘 A 对A 作列列变换 )(