第五讲球面三角形全等

1、 类似于平面上研究全等的思路，首类似于平面上研究全等的思路，首先给出球面上全等的定义先给出球面上全等的定义 两个球面三角形全等两个球面三角形全等：两个图形完全两个图形完全相等，即球面三角形的六个要素相等，即球面三角形的六个要素三三条边、三个角分别相等条边、三个角分别相等 由于球面的半径不同，球面的大小也由于球面的半径不同，球面的大小也不一样，所以研究球面三角形的全等问题不一样，所以研究球面三角形的全等问题只能在只能在同一球面上同一球面上或者是或者是半径相等半径相等的球面的球面上上注意注意下面讨论两个球面三角形全等的判定下面讨论两个球面三角形全等的判定1 1、“边边边边边边”（s.s.s）判定定

2、理）判定定理 我们知道，如果平面三角形的三我们知道，如果平面三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全条边对应相等，那么这两个三角形全等等 如果两个球面三角形的如果两个球面三角形的三对边对应相等，则两个球三对边对应相等，则两个球面三角形全等面三角形全等类似地，我们可以得到：类似地，我们可以得到： 分析：分析： 由球面由球面ABC与三面角与三面角O-ABC的对应关系可知，由于球面三的对应关系可知，由于球面三角形的三条边对应相等，所以与球面角形的三条边对应相等，所以与球面三角形对应的两个三面角相等这时，三角形对应的两个三面角相等这时，如果能够证明这两个三面角中每两个如果能够证明这两个三面角中每两个

3、面所成的二面角也相等，那么就证明面所成的二面角也相等，那么就证明了球面三角形中的角对应相等，也即了球面三角形中的角对应相等，也即两个球面三角形全等两个球面三角形全等证明：证明：图图 5-15-1AOODEFBCA D E F B C 如图如图5-15-1，在两个三面，在两个三面角角O-ABC和和O-A B C 中，中，连结连结AB，BC，CA，A B ，B C ，C A ， 因为球面因为球面ABC与球与球面面A B C 的三条边对应的三条边对应相等相等又因等弧上的弦相等，又因等弧上的弦相等，所以所以AB=A B ,BC=B C , ,CA=C A 因为三对面角因为三对面角AOB=A O B ,

4、 ,BOC=B O C , ,COA=C O A 又因为又因为OA=OB=OC=OA =OB =OC , , 所以所以AOB A OB , ,BOCB OC , ,COAC OA 所以所以OAB=OA B ,OBC=OB C , ,OCA=OC A 又因为又因为AOBA OB ，所以所以BAC=B A C . . 在在OA和和OA 上分别取点上分别取点D和和D ，使，使AD=A D ，再过，再过点点D在平面在平面OAB和和OAC上作上作OA的垂线，分别交的垂线，分别交AB和和AC于点于点E和和F；同样地，过点；同样地，过点D 在平在平面面OA B 和和OA C 上作上作OA 的垂线，分别交的垂

5、线，分别交A B 和和A C 于于点点E 和和F ，容易证明：，容易证明： EDF=E D F . 又因为又因为EDF和和E D F 分别是二分别是二面角面角B-OA-C和和B -OA -C 的平面角，的平面角，所以这两个二面角所以这两个二面角相等相等 同理可证，另外两对二面角也同理可证，另外两对二面角也相等相等 由球面三角形的内角与三面由球面三角形的内角与三面角中二面角的对应关系，可得：角中二面角的对应关系，可得： 球面球面ABC的和球面的和球面A B C 的三对内角对应相的三对内角对应相等所以，等所以，球面球面ABC球面球面A B C 2 2、“边角边边角边”（s.a.s）判定定理）判定定

6、理 如果两个球面三角形的两对边对如果两个球面三角形的两对边对应相等，且它们的夹角也相等，那么应相等，且它们的夹角也相等，那么这两个球面三角形全等这两个球面三角形全等 借助三面角这个借助三面角这个“脚手架脚手架”，我们，我们还可以证明下面一些球面三角形全等的还可以证明下面一些球面三角形全等的判定定理判定定理3 3、“角边角角边角”（a.s.a）判定定理）判定定理 如果两个球面三角形的两对角对如果两个球面三角形的两对角对应相等，且夹边相等，则两个球面三应相等，且夹边相等，则两个球面三角形全等角形全等4 4、“角角角角角角”（a.a.a）判定定理）判定定理 在平面上，我们知道，三对角对应在平面上，我

7、们知道，三对角对应相等的两个三角形不一定全等也就是相等的两个三角形不一定全等也就是说，平面三角形全等的一个必要条件是说，平面三角形全等的一个必要条件是至少有一对边对应相等在球面上，三至少有一对边对应相等在球面上，三对角对应相等的两个球面三角形是否也对角对应相等的两个球面三角形是否也有类似的结论呢？有类似的结论呢？ 答案是否定的。我们知道，半径为答案是否定的。我们知道，半径为r的的球面上，球面上， 球面球面ABC的面积的面积=（A+B+C-）r2 因此，若两个球面三角形的三对内角因此，若两个球面三角形的三对内角相等，那么它们的面积一定相等所以，相等，那么它们的面积一定相等所以，若两个球面三角形的

8、三对内角相等（可以若两个球面三角形的三对内角相等（可以理解为一样），则它们的面积必相等，形理解为一样），则它们的面积必相等，形状和大小一样的两个三角形当然全等状和大小一样的两个三角形当然全等 如果两个球面三角形的三对角对应如果两个球面三角形的三对角对应相等，则两个球面三角形全等相等，则两个球面三角形全等 所以，在球面上有两个球面三角形所以，在球面上有两个球面三角形全等的全等的“角角角（角角角（a.a.a）”判定定理判定定理下面我们给出它的证明下面我们给出它的证明 分析：分析：由于已经学过三个判定球面三角由于已经学过三个判定球面三角形全等的判定定理，我们尝试把球面三角形形全等的判定定理，我们尝试

9、把球面三角形中角的关系转化为边的关系，由边的关系判中角的关系转化为边的关系，由边的关系判定球面三角形全等由于球面三角形与它的定球面三角形全等由于球面三角形与它的球极三角形之间存在定量的边角关系，因此球极三角形之间存在定量的边角关系，因此我们设法通过构造球面三角形的球极三角形，我们设法通过构造球面三角形的球极三角形，实现球面三角形和球极三角形之间边角的转实现球面三角形和球极三角形之间边角的转换，进而证明结论换，进而证明结论 证明：证明：设球面设球面ABC和和DEF的极的极对称三角形分别为球面对称三角形分别为球面A B C 和和D E F ，且这四个球面三角形的边，且这四个球面三角形的边长分别为长

10、分别为a，b，c；d，e，f；a ，b ，c ；d ，e ，f 根据球面三角形和球根据球面三角形和球极三角形之间的边角关系，有：极三角形之间的边角关系，有： a =-A，d =-D， b =-B，e =-E， c =-C，f =-F.又因为又因为A=D，B=E， C=F，所以所以a =d , ,b =e , ,c =f 因此，球面因此，球面A B C 球面球面D E F .所以所以A =D , ,B =E , ,C =F . . 又根据球面三角形和球极三角形之间又根据球面三角形和球极三角形之间的边角关系，有：的边角关系，有： a=-A ，d=-D ， b=-B ，e=-E ， c=-C ，f=

11、-F .所以所以a=d, ,b=e, ,c=f因此，球面因此，球面ABC球面球面DEF 从第四个判定定理可以看出，平面几从第四个判定定理可以看出，平面几何与球面几何有显著不同之处：何与球面几何有显著不同之处： 1. 平面几何中，如果两个三角形的三平面几何中，如果两个三角形的三个角对应相等，那么两个三角形相似，不个角对应相等，那么两个三角形相似，不一定全等一定全等 2. 2.球面几何中，在同一球面上，如果两球面几何中，在同一球面上，如果两个球面三角形的三对角对应相等，那么它们个球面三角形的三对角对应相等，那么它们全等全等 由由1 1、2 2知道，在同一个球面上不存在相知道，在同一个球面上不存在相似三角形似三角形 1. 1. 求证求证: :球面三角形与它的对顶三球面三角形与它的对顶三角形全等角形全等 2. 2.利用球面三角形全等