《高等数学教学》2011 第五、六节二型曲面积分、高斯公式ppt课件

1、第第二二类类曲曲面面积积分分的的性性质质.)()()(222111212121dxdyRdzdxQdydzPdxdyRdzdxQdydzPdxdyRRdzdxQQdydzPP 线性性质线性性质).1(RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz 2121)(有限可加性有限可加性).2(., RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz则则的相反侧曲面的相反侧曲面为为设设反向变号性反向变号性).3(.),(),(),(:),(),(),(dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPzyxRzyxQzyxPv 的的流流量量为为则则通通过过有有向向曲曲面面设设稳稳

2、定定流流的的流流速速场场为为：计算法计算法二、第二类曲面积分的二、第二类曲面积分的.cos,cos,cos: 的的方方向向余余弦弦分分别别为为的的法法向向量量n).()0(cos0cos下下侧侧为为上上侧侧那那么么称称如如果果 ).()0(cos0cos后后侧侧为为前前侧侧那那么么称称如如果果 ).()0(cos0cos左左侧侧为为右右侧侧那那么么称称如如果果 处处在在点点任任取取点点设设定定向向曲曲面面为为PzyxP,),(, 上侧上侧下侧下侧前侧前侧后侧后侧右侧右侧左侧左侧面面投投影影区区域域在在设设定定向向曲曲面面为为xoyDyxyxzzxy ),(),(:,那那么么是是上上侧侧如如果果

3、 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(:,那那么么是是下下侧侧如如果果 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(面面投投影影区区域域在在设设定定向向曲曲面面为为yozDzyzyxxyz ,),(),(: yzyzDDdxdyzyzyxPdydzzyxPdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(:,),(),(:,那那么么是是后后侧侧如如果果那那么么是是前前侧侧如如果果 xzxzDDdzdxzzxyxQdzdxzyxQdzdxzzxyxQdzdxzyxQ),(,),(:,),(,),(:,那那么么是是左左侧侧如如果果那那么么是是右右侧侧如如果果面面投投

4、影影区区域域在在设设定定向向曲曲面面为为xozDzxzxyyxz ,),(),(:)(法法第第二二型型曲曲面面积积分分计计算算方方定定理理:,那那么么是是上上侧侧如如果果 DdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(:,那那么么是是下下侧侧如如果果 ),(,),( DdxdyyxzyxRdxdyzyxR证明：证明：,).1(是上侧时是上侧时当当 ,11cos),1 ,(22yxyxzzzzn dSzyxRdxdyzyxR cos),(),(由由定定义义dSzzzyxRyx2211),( dxdyzzzzyxzyxRyxDyx2222111),(,( DdxdyyxzyxR.),(,(,

5、).2(是下侧时是下侧时当当 ,11cos),1,(22yxyxzzzzn dSzyxRdxdyzyxR cos),(),(由由定定义义 dSzyxRdxdyzyxR cos),(),(由由定定义义 dSzzzyxRyx2211),( dxdyzzzzyxzyxRyxDyx2222111),(,( DdxdyyxzyxR.),(,(.理理可可证证前前侧侧、后后侧侧的的结结论论，同同定定理理中中，右右侧侧、左左侧侧；.,222222的外侧下半部分的外侧下半部分为球面为球面其中其中计算计算Rzyxzdxdyyx 、例例1解解 dxdyyxRyxzdxdyyxD)(2222222 dxdyyxRyx

6、D22222 rdrrrRrrdR22220220)sin()cos()sin()cos( rdrrRrdR22220420sincos drrrRdR50222022sincos drrrRdR502220241)2(sin drrrRdR50222024cos141 drrrRR50224 tdtRtRtRtRrcos)sin(cos504sin2 tdttR50274sincos2 tdttR50274sin)sin1(2 )sinsin(22070574 tdttdtR.)(71052325476325474RR rdrrRrdR22220420sincos .1,),(),(),(2

7、),(在在第第四四卦卦限限部部分分上上侧侧为为平平面面上上连连续续在在其其中中求求 zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf、例例2解解).1 , 1, 1(:),( 量量为为处处的的法法向向上上的的任任意意点点zyxM.cos,cos,cos:313131 法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf),(),(2),( dSzzyxfyzyxfxzyxfcos),(cos),(2cos),( dSzzyxfyzyxfxzyxf),()(),(2),(313131 dSzyx)(31 DddS cos3131.213

8、131 DDdd .142:,)0),sin(,(41642222所所截截下下部部分分的的上上侧侧被被柱柱面面其其中中的的流流量量定定侧侧曲曲面面的的流流体体通通过过计计算算速速度度为为 yxyxzxyxev解解段段平面上的投影为一直线平面上的投影为一直线在在zox 0)sin(dzdxyx4)2(:;24:22 zyDyozzxyz的的投投影影为为平平面面上上在在前前侧侧;)sin(222244dydzedzdxyxdydzeyxyx dydzeyx 224dydzeyzDzy 22)2(44).1(416204202 erdredr 、例例3dzdxyxdydzeyx)sin(224 流流

9、量量)(Gauss第第六六节节、高高斯斯公公式式一一、高高斯斯公公式式dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzzyxRzyxQzyxP )(,),(),(),().2(,).1(则则并并且且有有连连续续的的偏偏导导数数上上有有定定义义在在取取外外侧侧；所所围围成成的的有有界界闭闭区区域域是是由由分分片片光光滑滑曲曲面面设设、高高斯斯公公式式定定理理)(),(RQPA 设设向向量量场场的的为向量场为向量场称称),(RQPARdxdyQdzdxPdydz .通通量量zRyQxPAdivRQPAzRyQxP :.),(记记为为为为向向量量场场称称的散度的散度:.),()cos,cos,

10、(cos0高高斯斯公公式式也也可可表表示示为为的的单单位位法法向向量量处处是是在在点点设设 zyxn .)()coscoscos().2(;).1(0 dxdydzzRyQxPdSRQPdvAdivdSnA .,2222222333的的外外侧侧为为球球面面其其中中计计算算RzyxRzyxdxdyzdzdxydydzx 、例例1 dxdyzdzdxydydzxRRzyxdxdyzdzdxydydzxI33322233321解解 dvzyxR)(23222 dddRR042020sin23456R Gauss.),(cos,cos,cos,)0(0)coscoscos(222222的的方方向向余余

11、弦弦处处的的法法向向量量在在点点是是的的部部分分的的下下侧侧之之间间及及介介于于平平面面为为锥锥面面其其中中计计算算曲曲面面积积分分zyxhhzzzyxdSzyx 、例例2解解.:),( ,:222上上侧侧补补充充定定向向曲曲面面 hyxDDyxhz.: 所围成的区域为所围成的区域为及及由由dSzyx )coscoscos(222 dvzyx)222(Gauss zdvydvxdv222;222)coscoscos(222 zdvydvxdvdSyyx 0, xdvxyoz是是奇奇函函数数面面对对称称关关于于0, ydvyxoz是是奇奇函函数数面面对对称称关关于于 zdvdxdyzdzdxydydzx2222 22202zyxhzdxdydz hdzzz022 .22403hdzzh dxdyzdzdxydydzxhdxdyzdzdxydydzx22242222 dxdyz