大学物理第三章

1、1 1 质心质心 质心运动定理质心运动定理2 2 质点系的动量定理及动量守恒质点系的动量定理及动量守恒3 3 质点系的动能定理和机械能守恒质点系的动能定理和机械能守恒4 4 质点系的角动量定理和角动量守恒质点系的角动量定理和角动量守恒5 5* * 有心力作用下的运动有心力作用下的运动mrmmmmrmrmrmrin1iii21ii2111C n 个质点组成的质点系，其质心的位矢：个质点组成的质点系，其质心的位矢：质心的位置：以质量为质心的位置：以质量为权重的权重的加权平均加权平均。质质心可心可看作整个质点系的代表看作整个质点系的代表点，系统的全部质量点，系统的全部质量 m，动量动量P都集中在它上

2、面。都集中在它上面。1m2m3mcr1r2r3rCOxyzxCyCzC质心：质心：特殊的几何特殊的几何点点C C, ,运动与运动与质点间的相互作用力无关质点间的相互作用力无关，其其运动代表了质点系的整体运动运动代表了质点系的整体运动。一一. . 质心质心质点系：具有相互作用的质点系：具有相互作用的若干质点若干质点组成的系统。组成的系统。mxmxin1iiCmymyin1iiCmzm in1iiCzmxmd1Cxmymd1CymzmzCd1对质量连续分布的物体：对质量连续分布的物体：对质量离散分布的体系：对质量离散分布的体系：mrmrin1iiC(1)质心不是质点位矢的平均值，而是质心不是质点位

3、矢的平均值，而是加权平均加权平均值，与值，与m有关有关.说明：说明：推论：推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与体系各质质心与体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关点的相对位置与坐标原点的选取无关.质心质心是质点系全部质量和动量的集中点；是质点系全部质量和动量的集中点；重心重心是重力的合力的作用点是重力的合力的作用点. 质心的意义比重心的意义更广泛更基本质心的意义比重心的意义更广泛更基本.(3) 质心与重心的区别质心与重心的区别mrmrin1iiC水分子

4、水分子 H2O 的结构如图的结构如图. 每每个氢原子和氧原子之间距离均个氢原子和氧原子之间距离均为为 d = 1.010 -10 m, 氢原子氢原子 和氧原子和氧原子 两条连线间的夹角两条连线间的夹角为为= 104.6.求水分子质心求水分子质心OHHoxyCdd52.3o52.3o 解解: 由于氢原子对由于氢原子对 x 轴对称，故轴对称，故 yC = 0 .代入数据 xC = 6.810-12 mirCm108 . 612HOHHOHiiniiCmmm.dmm.dmmxmx737sin0737sin1均匀直杆的质心均匀直杆的质心 一根长为L的匀质直杆一端放在原点，另一端放在x=L处杆的质量线密

5、度为，求质心的位置dxOxxL解杆质点系中建立如图坐标系取任一质元（线元dx）ddmx线元dx坐标位置为x质点系质心的位置200dd/22ddLcLxxx mLLxLmx进一步思考杆的质量分布 = aaxx或 杆的质心位置？d求半径为求半径为 R ,质量面密度为质量面密度为的匀质半薄球壳的质心的匀质半薄球壳的质心.RdRsinRxyRcosO解解选如图所示的坐标系选如图所示的坐标系在半球壳上取一如图圆环在半球壳上取一如图圆环dRdRsinRxyRcosO 圆环的面积圆环的面积dsin2dRRs由于球壳关于由于球壳关于y 轴对称，故轴对称，故xc= 0dsin2d2Rm 圆环的质量圆环的质量my

6、md1CyRycosdRdRsinRxyRcosO2dsincos20RRCy所以所以jRrC2其质心位矢：其质心位矢：222dsin2RRy3.1.2 质心运动定理质心运动定理质心的速度dd1ddciciimtmtrr质心的加速度dd1ddciciimtmtaiiicmmiiicmmaa对质点系中各个质点运用牛顿第二定律对质点系中各个质点运用牛顿第二定律.表示系统内的质点表示系统内的质点j对对质点质点i的相互作用力的相互作用力intijF且且 iciiimmmFa iiiiiciiimmmFaaa质心运动定理质心运动定理 例题例题 三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样三名质量相等的运动员

7、手拉手脱离飞机作花样跳伞跳伞.由于作了某种动作，运动员由于作了某种动作，运动员D 质心加速度为质心加速度为 铅直向下；运动员铅直向下；运动员 A 质心加速度为质心加速度为 ，与铅直方向，与铅直方向成成 ，加速度均以地球为参考系，加速度均以地球为参考系.求运动员求运动员B 的的质心加速度质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为运动员所在高度的重力加速度为g. 不计空不计空气阻力气阻力.g54g5630 AAaDDaBBa解解 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表表示各运动员所受重力示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，建立直角坐标系，m表示各运动

8、表示各运动员质量，根据质心运动定理，员质量，根据质心运动定理，mrmrmrmtmtrmWDBAc3dd3dd332222 gaaaDBA3 表示各运动员质心的加速度表示各运动员质心的加速度.将上式投影将上式投影DBAaaa,gggayB330cos5654 030sin56 gaxBAAaDDaBBaxyOWWWgayB)3311(51 0227arctan ByBxaa 得得gaxB53 gaaayxBBB31. 122 AAaDDaBBaxyOWWW3.2.1 3.2.1 质点系的动量质点系的动量iicimmP零动量参照系零动量参照系（质心系）（质心系）质心作为参照系质心作为参照系 其中质

9、心的速度始终为零其中质心的速度始终为零质心系看来：质心系看来： 质点系的总动量始终为零质点系的总动量始终为零0c0ciiimmP质点系的动量质点系的动量dd1ddciciiiiicmtmtmmrr质心的速度质心的速度3.2.2 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒动量守恒质点系质点系质点系的动量定理质点系的动量定理1m2m12F21F1F2F)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFtt因为内力因为内力02112 FF0ppIniiiiniittmmtF101ex21dvv由质心

10、运动定理ddd()dciciciimmtmtFaFm 常数()dd()icitmF合外力的冲量合外力的冲量= =质点系动量变量质点系动量变量内力的作用对质点系动量无贡献内力的作用对质点系动量无贡献0()dtiiiiitiiimmtFi()dtdiPF0IPP0()dtiixiixixiiitmmFt0()dtiiyiiyiyiiitmmFt0()dtiiziiziziiitmmFt分量式质点系的动量定理质点系的动量定理注意注意内力不改变质点系的动量内力不改变质点系的动量gbm2m000bgvv初始速度初始速度则则00pbgvv20p推开后速度推开后速度 且方向相反且方向相反 则则推开前后系统动

11、量不变推开前后系统动量不变0pp几点说明几点说明 (1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体系内部的分配是有作用的系内部的分配是有作用的.是过程量是过程量,积分效果积分效果 tFId.动动量量改改变变(2)(3) 动量定理既适于质点又适于质点系动量定理既适于质点又适于质点系. (4)动量定理只适用于惯性系动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系，还应对非惯性系，还应计入惯性力的冲量计入惯性力的冲量.(5)动量定理是矢量式动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的应用时可用沿坐

12、标轴的分量分量式式求解求解, 如如 x 轴分量式轴分量式tpFixiixd)d( xxiixpptFtt00d)( 质点系动量守恒质点系动量守恒质点系受合外力为零时质点系受合外力为零时质点系动量守恒质点系动量守恒=iiimP恒矢量质点系某方向受外力为零时质点系某方向受外力为零时0 ixxiixiiFPmC 0 iyyiiyiiFPmC 0 izziiziiFPmC 在外力矢量在外力矢量和为零的方和为零的方向上向上, ,质点系质点系动量不变动量不变. .1）质点系总动量与内力无关，内力的作用仅改变总动量质点系总动量与内力无关，内力的作用仅改变总动量在各质点之间的分配，而不能改变系统的总动量在各质

13、点之间的分配，而不能改变系统的总动量.2）在所涉及的时间内，系统内力远大于外力，则外力的在所涉及的时间内，系统内力远大于外力，则外力的冲量可以忽略不计冲量可以忽略不计3）动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒定律都是都是相对于同一惯性系相对于同一惯性系而言的而言的注意注意 一质量为一质量为m1 1的平板车长为的平板车长为L，可自由地沿光滑水平直轨运动，可自由地沿光滑水平直轨运动，车的一端站有一质量为车的一端站有一质量为m2 2的小孩，如图所示起始时，车与小孩的小孩，如图所示起始时，车与小孩都静止不动，试求：都静止不动，试求：1 1）当小孩以相对于车的速度当小孩以相对于车的速度v 跑向车的另一

14、端时，车的速度？跑向车的另一端时，车的速度？2 2）当小孩跑到车的另一端时，车子移动了多少距离？）当小孩跑到车的另一端时，车子移动了多少距离？例例设车对地的速度为设车对地的速度为v，小孩对地的速度为，小孩对地的速度为v + v系统水平方向动量守恒系统水平方向动量守恒解解Lm2m1x12()0mmvvv212mmm vv车的速度为车的速度为20012ddttmttmm vv1）2）0dttLv小孩在车上移动距离小孩在车上移动距离2012dtmxtLmm v车移动距离为车移动距离为3.2.3 变质量问题举例变质量问题举例一、火箭速度和推进力一、火箭速度和推进力v+dv(对地面对地面)时刻时刻t+d

15、t主体质量主体质量u(对主体对主体)dm喷出燃料喷出燃料m-dm系统系统: :火箭主体火箭主体+ +喷出的燃料喷出的燃料系统在系统在t t时刻与时刻与t+dtt+dt时刻的动量守恒时刻的动量守恒(d )(d )d ()mvmm vvm vudd0mu mv略去二阶小量ddmvum过程过程tt+dt系统系统(主体主体+ +燃料燃料) m主体主体 m-d-dm喷出燃料喷出燃料dm速度（对地）速度（对地）vv+dvv-u动量动量mv(m-d-dm)(v+dv)dm(v-u)ddmm 火箭00dvmvmmdvum 火箭火箭质量火箭质量m0m火箭速度火箭速度 v0 v水平推进过程中火箭的速度为水平推进过

16、程中火箭的速度为00lnmumvvv: 提高火箭的质量比或增大喷气速度提高火箭的质量比或增大喷气速度u以喷出的燃料以喷出的燃料dm为研究对象为研究对象dt 时间内的动量变化率时间内的动量变化率为燃料受火箭力为燃料受火箭力d ()dddmumFutt dt 时间内的时间内的火箭受喷射燃料的火箭受喷射燃料的推进力推进力ddmFut推进力推进力ddmvum 火箭二、落链问题二、落链问题研究系统研究系统：t时刻已落地的时刻已落地的l-x长度部分链条长度部分链条 +将要落地的将要落地的-dx长度为部分链条长度为部分链条过程过程tt+dt系统系统(将要落地将要落地) -dx（已经落地）（已经落地）- -d

17、 dx速度（对地）速度（对地）0动量动量02 ()g lx dx() d(d )( )dFlx gtp ttp tx 系统受到桌面系统受到桌面向上的支持力向上的支持力 F和重力和重力 ( (l-x)g)g质点系动量定理质点系动量定理ddxt v2()2 ()Flx glx gv3 ()Flx g求链条对地面的压力随下落长度求链条对地面的压力随下落长度x的变化的变化例例 一长为一长为 l、密度均匀的柔软链条，其单位长度的质密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为量为 将其卷成一堆放在地面上将其卷成一堆放在地面上 若手提链条的一若手提链条的一端端 ， 以匀速以匀速 v 将其上提当一端被提离地面高度为

18、将其上提当一端被提离地面高度为 y 时，时，求求手的提力手的提力 解解 取地面参考系取地面参考系, 链条为系统链条为系统.在在 t 时刻链条动量时刻链条动量jytpv)(jjtytp2ddddvvygF2vyyoFyg动量定理动量定理问题举例问题举例例例 一柔软链条长为一柔软链条长为l，单位长度单位长度的质量为的质量为，链条放在有一小孔，链条放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围由于某其余部分堆在小孔周围由于某种扰动，链条因自身重量开始下种扰动，链条因自身重量开始下落。落。m1m2Oyy求链条下落速度求链条下落速度v与与y之间的关系设各处摩

19、擦均之间的关系设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开不计，且认为链条软得可以自由伸开 解解 以竖直悬挂的链条和以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立桌面上的链条为一系统，建立坐标系坐标系由质点系动量定理得由质点系动量定理得ddF tp1Fm gyg则则)d(d vytyg)d()d(dvvymptddvyyg m1m2Oyytddvyyg 两边同乘以两边同乘以 则则 yydvvvyyyyyygyddddd2tvvvyyyyyyg002dd21 32gyv232131vygy m1m2Oyy柯尼希定理：柯尼希定理：质点系相对质点系相对惯性系惯性系的动能的动能，等于等于质质点系的点系的

20、质心动能和质心动能和相对其质心运动的动能之和。相对其质心运动的动能之和。柯尼希定理柯尼希定理221122kCiiEmvmv质点系的总动能质点系的总动能212kiiiEm各个质点的动能之和各个质点的动能之和kCkEE,int212kEm质点的动能为质点的动能为一、一、质点系的动能质点系的动能vi是质点是质点i相对相对于质心的速度于质心的速度二、二、 质点系的动能定理质点系的动能定理BBint22BAAA11dd22iiijiiiiij immFrFrvv对第对第i个质点个质点Bext,extAdFriiiiiAA对于整个质点系对于整个质点系外力的总功外力的总功Bintint,intAdFriij

21、iiij iAA内力的总功内力的总功2kAA12iiiEmv2kBB12iiiEmvextintkBkAAAEE系统初动能系统初动能系统末动能系统末动能质点系：状态质点系：状态A A到到B B质点系的动能质点系的动能定理定理系统总动能的增量系统总动能的增量= =所有外力对质点系所做的功所有外力对质点系所做的功+ +内力对质点系所做的功之和内力对质点系所做的功之和内力作用：动量守恒，动能改变内力作用：动量守恒，动能改变每一个质点都可以写出这样一个方程，然后叠加。每一个质点都可以写出这样一个方程，然后叠加。质点系质点系1m2m12F21F1F2F一链条总长为一链条总长为L，质量为，质量为m放在桌面

22、上并使其下垂，下垂的长度放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为为a，设链条与桌面的滑动摩擦因数为，设链条与桌面的滑动摩擦因数为 ，令链条从静止开始运动，令链条从静止开始运动，求：（求：（1 1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2 2）链条离开桌面时的速率是多少？）链条离开桌面时的速率是多少？f()/Fmg lxl解解链条与桌面摩擦链条与桌面摩擦fd()dFrllFaamgAlxxl摩擦力做功摩擦力做功221()()22lamgmglxxlall 1 1）l - xxOx坐标选取如图坐标选取如图2 2）f2201122GFAAAmm

23、vv整个链条的动能定理整个链条的动能定理00v212GFAAmvdlGaAWr重力做功重力做功2222()()1222mg lamg lamllv代入功能原理代入功能原理12222()()glalalv212GFAAmvl - xxOx坐标选取如图坐标选取如图22()d2lamgmg lax xll3.3.2 一对内力的功一对内力的功一对内力的功一对内力的功zxyOdr11r1r22dr2int12Fint21Fintint212121ddFrFr一对内力一对内力int12Fint21F位移位移d dr1 1 、d dr2 2 系统内任意二质点系统内任意二质点1 1、2 2 intintint

24、2121212121dddFrFrFr2121rrr质点质点1 1、2 2相对位移相对位移 一对内力的功可写成一对内力的功可写成一对内力的功一对内力的功与与1、2质点质点相对位移有关相对位移有关，与参照系的选择，与参照系的选择无关无关。一对内力的功等于其中一个质点所受的力与该质点相对于一对内力的功等于其中一个质点所受的力与该质点相对于另一个质点的元位移的标积另一个质点的元位移的标积。结论：结论：内力的功之和：内力的功之和：int2121d()Frr滑块滑块A A置于光滑的水平面上置于光滑的水平面上, ,物体物体B B放在滑块放在滑块A A上，假设滑块上，假设滑块A A足够长现用外力足够长现用外

25、力F拉动拉动A A由静止开始运动由静止开始运动, ,则则B在在A上滑动，上滑动，A、B间的滑动摩擦因数为间的滑动摩擦因数为. .若若B在在A上向后相对滑动的距离上向后相对滑动的距离为为l设设A、B的质量分别为的质量分别为mma a、mmb b. .求在此过程中求在此过程中A、B间间的一对摩擦力所做的功之和为多少？的一对摩擦力所做的功之和为多少？AB以地面为参考系以地面为参考系 设设A A滑动的距离为滑动的距离为S解1cosAf SfSfS B滑块对地滑块对地 移动移动S-l 摩擦力摩擦力f做功做功 2()()cos0()AfSlf Slf Sl()ff 这对摩擦力做功这对摩擦力做功 12()A

26、AfSf Slfl 一对摩擦力所做的功之和等于其中一个物体所受的摩擦力乘一对摩擦力所做的功之和等于其中一个物体所受的摩擦力乘以两个物体之间的相对位移以两个物体之间的相对位移, ,且且始终为负值始终为负值一对摩擦力所做的功一对摩擦力所做的功如图如图，质量为质量为m0的卡车载一质量为的卡车载一质量为m的木箱，以速率的木箱，以速率v 沿水平路面行驶沿水平路面行驶. 因故突然刹车，车轮立即停止转动，因故突然刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离卡车滑行一定距离L后静止，木箱在卡车上相对于卡车后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了滑行了l 距离距离. 求求L和和l. 已知木箱与卡车间的摩擦系数为已知木箱

27、与卡车间的摩擦系数为 1 ,卡车与地面的动摩擦因数为卡车与地面的动摩擦因数为 2 .lLFNF1NFfFW2NFfF 1W解解 1.用质点动能定理求解用质点动能定理求解受力受力分析如图，只有力分析如图，只有力 , 和和 做功做功 fFfF F根据质点动能定理得根据质点动能定理得 210)(201211vmLWWW211210)(mvlLW卡车卡车木箱木箱lLgmmmvmL)( 2/10220 Lgvl 122/ 2.用质点系运动定理求解用质点系运动定理求解 视卡车与木箱为一质点系视卡车与木箱为一质点系 gLmmA)(02 外外)3( )(21)(20021vmmgLmmmgl mglA1 内内

28、按质点系运动定理，有按质点系运动定理，有 (2)(3)联立得与上法相同结果联立得与上法相同结果. )2( 210)(211mvlLW 3.3.3 保守力的功 势能rermmGF2( (1) ) 万有引力作功万有引力作功作功的特点作功的特点 对对 的万有引力为的万有引力为mmm移动移动 时，时， 作元功为作元功为 FrdddGAFrrermmGrd2rrrdrdmmABArBr2dBArGrmmAGrrrrererrdcosdd11()GBAAGm mrr2ddBGrAmmAFrGerrm从从A到到B的过程中的过程中作功：作功： FrrrdrdmmABArBr与路径无关与路径无关 j yi xr

29、ddd)(ABmgymgyjmgP2 ） 重力作功重力作功ABAyByPoxyrdDCymgrPWBAyyBAdd A与路径无关与路径无关 ikxF( (3) ) 弹性力作功弹性力作功2211ddxxkxxAF xkx x)2121(2122kxkx ddkAkx x 与路径无关与路径无关 AxBxFxoF保守力保守力: 力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的，仅决定于相互作用质点的始末始末相对相对位置位置 .ADBACBrFrFd d ABCD物体沿物体沿闭合闭合路径运动路径运动 一周时一周时, 保守力对它所作的功等于零保守力对它所作的功等于零 .非保守力非保守力:

30、 力所作的功与路径有关。（例如力所作的功与路径有关。（例如摩擦摩擦力）力）BDAACBlrFrFrFd d d0d lrF在任意点受保守力的作用，在任意点受保守力的作用，质点从质点从A-BA-B，所做的功所做的功与路与路径无关，而只与这两点的位径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个置有关。可引入一个只与位只与位置有关置有关的状态函数，的状态函数，A A点的函点的函数值减去数值减去B B点的函数值，定义点的函数值，定义为从为从A-BA-B保守力所做的功，保守力所做的功，该状态函数就是该状态函数就是势能势能。AB三势能三势能三势能三势能系统的状态系统的状态,与质点位置有关的能量与质点位置有关的

31、能量.)2121(22ABkxkxW弹力弹力功功)()(ABrmmGrmmGW引力引力功功)(ABmgymgyW重力重力功功弹性弹性势能势能2p21kxE引力引力势能势能rmmGEp重力重力势能势能mgzE pp2p1P()cAEEE 保守力的功保守力的功0),(pp0d),(EzyxrFzyxE00pE令令 势能计算势能计算pp0p()cAEEE 保守力作正功保守力作正功-势能减少势能减少 2.势能具有势能具有相对性相对性，势能势能大小大小与势能与势能零点零点的选的选取取有关在讲到势能时，必须指有关在讲到势能时，必须指 明零位置才明零位置才有意义。有意义。),(ppzyxEE 1.势能是势能

32、是状态的函数状态的函数4.势能是属于保守力相互作用着的整个势能是属于保守力相互作用着的整个系统的系统的，实质就是一种相互作用能。实质就是一种相互作用能。讨论讨论3.势能差与势能零点选取无关。势能差与势能零点选取无关。只与位置有关。只与位置有关。pEyOmgyEp弹性弹性势能曲线势能曲线0, 0pEx重力重力势能曲线势能曲线0, 0pEy引力引力势能曲线势能曲线0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp势能曲线势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线。由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线。 例例 物体物体A、B，质量分别为质量分别为 mA、mB，用弹簧相用弹簧相连，放在光滑水平面

33、上。弹簧原长为连，放在光滑水平面上。弹簧原长为 l0 ，弹性系数为，弹性系数为k。现将弹簧拉长到。现将弹簧拉长到 l 后无初速释放，求当弹簧恢复后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体原长时物体 A、B 的速度，弹簧质量不计。的速度，弹簧质量不计。BAAByxmAgFmBgvAvBFNAFNBF 作受力图。质点系包含两个质点A、B由于质点位移在水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，故内力F、F所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体A、B的速度分别为 vA、vB，方向如图示。由动能定理：解：解：2022)(llkvmvmBBAA即由质点系动量守恒得0BBAAvmvm2220110()()0

34、222AABBkllmm )()(0llmmmkmvBAABA)()(0llmmmkmvBABAB联立解之得平台的质量平台的质量 m = 30 kg，固连在刚度系数固连在刚度系数 k = 18 N/mm的弹性支承上。现在从平衡位置给平台以向下的初速的弹性支承上。现在从平衡位置给平台以向下的初速度度v0 = 5 m /s，求平台由这位置下沉的最大距离，求平台由这位置下沉的最大距离s ，以以及弹性支承中承受的最大力，假设平台作平动。及弹性支承中承受的最大力，假设平台作平动。例例1= ss2= s+sv0v2=0mgF解：解： 取平台为研究对象。从平衡位置取平台为研究对象。从平衡位置A1(图图a)运

35、动到最运动到最大下沉位置大下沉位置A2(图图b)，平台的初动能平台的初动能 Ek1=mv02/2 ，而末动能而末动能 Ek2=0 。弹簧的初变形弹簧的初变形 1= s=mg/k，末变末变形形 2= s+s ，作用在平台上的力有重力作用在平台上的力有重力mg 和弹性和弹性力力 F(图图c)。1= ss2= s+sv0v2=0mgF根据动能定理的积分形式由此求得平台的最大下沉距离弹性支承有最大压缩量2= s+s ,故承受的最大压力Fmax = k(s+s ) = mg + ks = 4 kN s = 204 mm它们的总功为1= ss2= s+sv0v2=0mgF22S2S2)(2skskmgsW

36、2202210skmv3.3.4 机械能守恒机械能守恒系统状态从系统状态从A A到到B BextA外力对系统做功外力对系统做功int,cA系统保守内力做功系统保守内力做功int,ncA系统系统非非保守内力做功保守内力做功质点系的动能定理质点系的动能定理int,int,kBkAextcncAAAEEint,pBpA()cAEE 质点系的保守内力做正功质点系的保守内力做正功 系统势能减少系统势能减少int,kBpBkApA()()extncAAEEEEint,AextncBAAEE系统的总动能和势能之系统的总动能和势能之和称为系统的机械能和称为系统的机械能E E系统所受的外力的功和非保守内力的功之

37、和等于系统机械能的增量系统所受的外力的功和非保守内力的功之和等于系统机械能的增量功能原理功能原理孤立系统孤立系统 int,0ncA0extApApBkBkAEEEE能量守恒定律：能量守恒定律：对一个与自然界对一个与自然界无无任何联系的系统任何联系的系统来说来说, , 系统内各种形式的能量系统内各种形式的能量可以可以相互转换，但是不相互转换，但是不论如何转换，能量既论如何转换，能量既不能产生不能产生，也不能消灭。，也不能消灭。机械能守恒机械能守恒若系统非保守内力做功为零若系统非保守内力做功为零int,AextncBAAEEABEE机械能守恒机械能守恒机械能守恒定律机械能守恒定律:只有保守内力作功

38、的情况下，质点系只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变的机械能保持不变 . 下列各物理量中，与参照系有关的物下列各物理量中，与参照系有关的物理量是哪些？理量是哪些？ （不考虑相对论效应）（不考虑相对论效应） 1）质量质量 2）动量动量 3）冲量冲量 4）动能动能 5）势能势能 6） 功功答：答：动量、动能、功动量、动能、功 。讨讨 论论 守恒定律的守恒定律的意义意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点个守恒定律的特点和优点 . 解解: 由牛顿第二定律和万有由牛顿第二定律和万有引力定律引力定律E22EE2)2(Rm

39、RmmGavavbvERER4abo 例例 已知地球的半径为已知地球的半径为 RE 6.4103 km, 今有质量为今有质量为 m = 3.0103 kg 的人造地球卫星从半径为的人造地球卫星从半径为 2 RE 的圆形轨的圆形轨道上道上 , 经如图所示的半椭圆形轨道上的点经如图所示的半椭圆形轨道上的点 a 变轨至半径变轨至半径为为 4RE 的另一个圆形轨道点的另一个圆形轨道点 b上上. 点点 a 和点和点 b 处的椭圆处的椭圆轨道与圆轨道的切线相切轨道与圆轨道的切线相切. 试问试问: 卫星完成了变轨过程后获卫星完成了变轨过程后获得了多少能量得了多少能量 ?avbvERER4aboEEE2412

40、21mgRRmmGmEaavgRmGE2E 2/1E)2/(gmav已知已知：RE 6.4103 km , m = 3.0103 kg E22EE2)2(RmRmmGavEEE281421mgRRmmGmEbbvE81mgRE J 1035. 210解：解：本题分为三个过程本题分为三个过程2 .泥球与盘碰撞（动量守恒）泥球与盘碰撞（动量守恒）Vmmm)(v2/2ghVvgh2v1 . 泥球下落（机械能守恒）泥球下落（机械能守恒）221vmmgh 例例 一轻弹簧悬挂一金属盘，弹簧伸一轻弹簧悬挂一金属盘，弹簧伸长长 ,一个质量和盘相同的泥球，从高于一个质量和盘相同的泥球，从高于盘盘 处静止下落盘上

41、，处静止下落盘上，求求盘向下运动的盘向下运动的最大距离最大距离 .cm101lcm30hL1lmmyhL21212)(2121)2()2(21lLkklgLmVm0300202LL1/lmgk 10,30Lcm30L3 . 泥球与盘一快下落泥球与盘一快下落（机械能守恒机械能守恒）ghV2122/2ghVv1lmmyhL0pE3.3.5 两体碰撞两体碰撞1 102201 122mmmmvvvv22221 1221 1022011112222kEmmmmvvvv动量守恒动量守恒机械能损失机械能损失一般碰撞一般碰撞CpFFiiinex 碰撞碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大两物体互相接触时间

42、极短而互作用力较大的相互作用的相互作用 .CEEE2k1kk 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 两物体碰撞之后，两物体碰撞之后， 它们的动能之它们的动能之和不变和不变 .211020evvvv牛顿碰撞定律牛顿碰撞定律01e一般非弹性碰撞0e 完全非弹性碰撞1e 完全弹性碰撞e：分离速度与接近速度比值碰撞碰撞恢复系数恢复系数例例 当小球从一定高度当小球从一定高度h自由下落自由下落，测得其反跳高度为测得其反跳高度为h ，如图如图（a）所示根据测量值计算小球与地面的恢复系数所示根据测量值计算小球与地面的恢复系数hhv10v1（a）（b）以向下为正以向下为正v10为小球落到地面的速度为小球落到地面的速度（碰撞

43、前与地面的接近速度）（碰撞前与地面的接近速度）v1为小球弹起的速度为小球弹起的速度（碰后与地面的分离速度）（碰后与地面的分离速度）11101000evvvv1012,2ghghvv110hehvv解解1m2m1m2m1020121 102201 122mmmm动量守恒动量守恒1 102201 122xxxxmmmm1 102201 122yyyymmmm完全弹性完全弹性碰撞碰撞22221 102201 12211112222mmmm一般的非弹性碰撞，只要给定碰后质点速度的方位，一般的非弹性碰撞，只要给定碰后质点速度的方位，问题也可以求解问题也可以求解二维碰撞二维碰撞分量形式分量形式解：设碰撞后

44、两球速度解：设碰撞后两球速度21vvv 由动量守恒由动量守恒21vv,两边平方两边平方22212122vvvvv由机械能守恒（势能无变化）由机械能守恒（势能无变化）22212vvv 021 vv两球速度总互相垂直两球速度总互相垂直 在平面两相同的球做二维完全弹性碰撞，其中一球开始时在平面两相同的球做二维完全弹性碰撞，其中一球开始时 处于静止状态，另一球速度处于静止状态，另一球速度 。 求证：碰撞后两球速度总互相垂直。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。vm11vm2h 例例1 冲击摆是一种测定子弹速率的装置冲击摆是一种测定子弹速率的装置. 木块的质木块的质量为量为 m2 , 被悬挂在细绳的下端被悬

45、挂在细绳的下端. 有一质量为有一质量为 m1 的子弹的子弹以速率以速率 v1 沿水平方向射入木块中后沿水平方向射入木块中后 , 子弹与木块将一子弹与木块将一起摆至高度为起摆至高度为 h 处处. 试求此子弹射入木块前的速率试求此子弹射入木块前的速率. 解解 第第一一过程子弹与木过程子弹与木快碰撞动量守恒快碰撞动量守恒22111)(vvmmmghmmmm)()(21212221v2/ 11211)2( ghmmm v 第第二二过程子弹、木块过程子弹、木块一块运动机械能守恒一块运动机械能守恒 例例 2 设有两个质量分别为设有两个质量分别为 和和 , 速度分别速度分别为为 和和 的弹性小球作对心碰撞的

46、弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方两球的速度方向相同向相同. 若碰撞是完全弹性的若碰撞是完全弹性的, 求碰撞后的速度求碰撞后的速度 和和 . 20v2m1m10v1v2v2211202101vvvvmmmm 解解 取速度方向为正向，由动取速度方向为正向，由动量守恒定律得量守恒定律得由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得2222112202210121212121vvvvmmmmA1m2m10v20vB1v2vAB碰前碰前碰后碰后)()(20221101vvvvmm（1）若）若21mm 则则102201 , vvvv（2）若）若且且0 20v12mm 则则0 , 2101vvv讨讨 论论2120

47、2102112)(mmmmmvvv21101201222)(mmmmmvvvA1m2m10v20vB1v2vAB碰前碰前碰后碰后3.4.1 质点系的角动量定理质点系对定点质点系对定点O的角动量的角动量L= =各质点对定点各质点对定点O的角动量之的角动量之矢量矢量和和dddiiLLL质点系角动量的变化质点系角动量的变化ddtiiLMd(d )()diiiittLMMiiMM质点系所受的对质点系所受的对O O点的总力矩点的总力矩ddtLM质点系的角动量定理质点系的角动量定理iiiiiiiiivmrprLL 质点质点i对定点对定点O的角动量的角动量iimiripiriLvzxyO1r1r22dr12

48、int21Fint12Fintintintint11222112121212()0rFrFrrFrF任一对内力对定点任一对内力对定点OO的力矩为零的力矩为零intint1221 FF质点系中质点系中，一对内力矩之和总是为零一对内力矩之和总是为零总力矩就只是总力矩就只是外力矩的矢量和外力矩的矢量和-合外力矩合外力矩iiMrF2121dtttLLM一段有限过程一段有限过程对同一个固定点对同一个固定点O O，质点系的角动量的增量，质点系的角动量的增量= =合外力矩的冲量合外力矩的冲量ddtLM即质点系对给定点即质点系对给定点(参考点参考点)的角动量的时间变化率的角动量的时间变化率等于作用在体等于作用

49、在体系上系上所有外力所有外力对该点对该点力矩矢量和力矩矢量和.tLMdd内力对定点内力对定点O的力矩的力矩质点系的角动量定理质点系的角动量定理3.4.2 质点系的角动量守恒对定点对定点OO：作用于质点系的合外力矩为零作用于质点系的合外力矩为零 质点系对质点系对OO点的角动量守恒点的角动量守恒0MiiLL恒矢量角动量矢量的方向角动量矢量的方向固定和数值不变固定和数值不变对对z轴轴：作用于质点系：作用于质点系对对z z轴的外力矩代数和为零轴的外力矩代数和为零 质点系对质点系对z轴轴的角动量守恒的角动量守恒0zM zziiLL常量角动量角动量沿沿z z轴的轴的值值不变不变ddtLM角动量守恒是自然界

50、的普遍规律角动量守恒是自然界的普遍规律从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发现反例。从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发现反例。角动量守恒角动量守恒与与动量守恒动量守恒及及机械能转换与守恒定律机械能转换与守恒定律并并称为称为三大守恒定律三大守恒定律，这三大守恒定律的成立有着深，这三大守恒定律的成立有着深刻的内在原因：由运动的时空属性决定的。刻的内在原因：由运动的时空属性决定的。 如图所示，两个质量均为m的质点，用一根长为2a的质量可忽略不计的轻杆相连，构成一个简单的质点系两质点绕固定轴 Oz 以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O并与杆的夹角为，求质点系对O点的角动量例例1 1OOzaamABL两质

51、点两质点A A、B B对对OO点的角动量点的角动量方向相同，大小相等方向相同，大小相等解122LLma22sinma2( sin )am a 例例2 2如图所示，在光滑水平面上，一劲度系数为如图所示，在光滑水平面上，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，的轻质弹簧一端固定，另一端连接一质量为另一端连接一质量为m1的小球的小球1 1，最初小球，最初小球1 1静止，弹簧为自然长度静止，弹簧为自然长度l0另一质量为另一质量为m2的小球的小球2 2沿垂直于静止弹簧轴线的方向与小球沿垂直于静止弹簧轴线的方向与小球1 1发生发生碰撞，碰后二小球粘在一起运动求当弹簧长度为碰撞，碰后二小球粘在一起运动求当弹簧长度

52、为l时，二小球一起时，二小球一起运动的速度大小以及运动方向与弹簧轴线方向的夹角运动的速度大小以及运动方向与弹簧轴线方向的夹角 O 021解解1 1、2 2两小球和弹簧组成系统两小球和弹簧组成系统a a）碰撞过程中，系统的角动量守恒碰撞过程中，系统的角动量守恒碰撞前后小球的速度均垂直于弹簧的轴线方向碰撞前后小球的速度均垂直于弹簧的轴线方向20 0120sin90()sin90mlmml设设碰撞后碰撞后两两小球的速度小球的速度为为v b)b)碰后二小球共同运动，始终受到弹力总是指向碰后二小球共同运动，始终受到弹力总是指向O，二小球对，二小球对O的角动量守恒的角动量守恒(1)12012()sin90()sinmmlmml(2)c)c)弹簧力为保守内力弹簧力为保守内力 过程中系统的机械能守恒过程中系统的机械能守恒2