八开打印2基础知识与基本方法复习doc

1、数学基础知识与典型例题复习第二章函数由 广东省阳江市第一中学 周如钢 编写映映射：设非空数集 A ，B，若例1.若A1,2,3,4 ，B a, b, c ,则 A 到 B 的映射对集合 A 中任一元素 a，在集射有个， B到 A的映射有个；若合 B 中有唯一元素 b 与之对A 1,2,3 ， B a,b,c , 则 A 到 B 的一一映射应，则称从 A 到 B 的对应为有个。映射，记为 f：A B，f 表示例 2.设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N，对应法则， b=f(a)。若 A 中不映射 f : AB 把集合 A 中的元素 n 映射到集同元素的象也不同，且 B 中每合 B 中的元素

2、 2nn ，则在映射 f 下，象 20 的一个元素都有原象与之对应 ,原象是 ()则称从 A 到 B 的映射为一一（A）2（B）3（C）4（D）5映射。函1.函数定义：函数就是定义在例 3.已知扇形的周长为20，半径为 r，扇形面数非空数集 A ，B 上的映射，此积为S，则Sf (r )；定义域时称数集 A 为定义域，象集为。C= f(x)|x A 为值域。x23x4 的定义域 .2.函数的三要素：定义域，值例 4.求函数 f ( x)x12域，对应法则 . 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3. 函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函

3、数的函 4.函数值域的求法：配方法数 ( 二次或四次 )；判别式法；反函数法（反解法） ；换元法（代数换元法） ；不等式法；单调函数法 .注 :求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性， 基本不等式及几何意义， 间接法的途径为函数与方程的思想， 表现为法，反函数法等，在高等数学范围内， 用导数法求某些函数最值（极值）更加方便 . 常用函数的值域， 这是求其他复杂函数值域的基础。函数 ykxb(k 0, x R) 的值域为R;二次 函 数2bx c(a 0, xR) 当 a0 时值y ax域是 4acb2,) ,当 a0 时值4a域是 (, 4 acb 2 ；反比k4

4、a例函数 y( k0 , x0) 的值域x例1x2(x 0),6. 已知 g( x) 1 2 x, f g( x)x2求 f ( 1 ) . 2例 7. 求函数 y2x4 1x 的值域 .定义域 .常涉及到的依据为： 分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真例 5.若函数 yf (x) 的定义域为 1,1 ，求函数大于 ，底数大于零且不等0于 1；零指数幂的底数不等数 yf (x1 )f ( x1) 的定义域。于零；实际问题要考虑实际44意义等 .注 : 求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。 函数对应法则通常表现为表格， 解析

5、式和图象。为 y | y0 ； 指数函数y ax(a 0, 且a 1, x R) 的 值域 为R；对数函数 ylog a x(a0, 且a1, x0) 的值域为 R； 例 8.下列函数中值域为0 ，的是( ) 函数 ysin x, ycos x( xR )11 x的值域为-1，1；函数 (A)y 5 2 x(B)y1,3ytanx,x ky cot x1x2(C) y1(D)y1 2 x(xk , kZ) 的值域为 R；2单函数的单调区间可以是整个例 9. 讨论函数 f ( x)1x 2的单调性。调定义域，也可以是定义域的一性部分 . 对于具体的函数来说可能有单调区间， 也可能没有单调区间，如

6、果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在（01，）（1，2）上为减函数 .单 单调性：研究函数的单调性应1例 10. 函数 y 2 x 1 在定义域上的单调性为调结合函数单调区间， 单调区间性应是定义域的子集。( ),1 上是增函数，在 1,判断函数单调性的方法： 定（A）在上是增函义法（作差比较和作商比较） ； 数 ;（ B）减函数 ; （C）在,1 上是减函数，图象法； 单调性的运算性在 1,上是减函数 ;（D）增函数质（实质上是不等式性质） ；例 11.已知函数 f (x), g (x)在 R 上是增函数，求复合函数单调性判断法则 ;证： f g (x

7、) 在 R 上也是增函数。导数法（适用于多项式函数）反 1.反函数定义：只有满足例 13.求函数y 11 x2（x 0）的函1x 唯一 y ，函数 yf (x) 才有反函数数反函数 . 例如： yx2 无反函数 .函数 yf (x) 的反函数记为xf1 ( y) ， 习 惯 上 记 为yf1 ( x) .函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。奇 1. 偶函数： f ( x) f ( x) .设偶 （ a, b ）为偶函数上一点，则性 （ a, b ）也是图象上一点 .偶函数的判定： 两个条件同时满足定义域一定要关于y 轴对称，例如：

8、y x 2 1 在 1, 1) 上不是偶函数.满足f ( x)f (x) ，或 f ( x)f(x) 0 ，若 f ( x)0时， f (x)1.f ( x)2. 奇函数： f ( x)f (x) .设例 12.判断下列函数的奇偶性： f ( x) ( x 1) 1x ,1x f ( x)x21 1x 2 ,2.求反函数的步骤 :将 yf (x)看成关于x的方程 ,解出 xfy ，1( )若有两解，要注意解的选择；将 x, y 互换，得 y f 1 ( x) ；例 14.已知 f (x)2x3 ，函数 y=g(x) 图象与写出反函数的定义域（即x1y f 1 ( x 1) 的图象关于直线y=

9、x 对称，求y f ( x) 的值域）。g(11)的值。3.在同一坐标系，函数 yf ( x)（ a, b ）为奇函数上一点，则（ a, b ）也是图象上一点 .奇函数的判定： 两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： yx3 在 1,1)x2x (x 0)上不是奇函数.满足 f ( x)x x2 (x 0)f ( x)f (x) ，或 f ( x)f (x)0 ，若 f ( x)0时， f (x)1 .f ( x)注 : 函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件， 在利用定义判断时， 应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如 f( x)f(x) 0， f ( x)（

10、 f(x)f (x)1与它的反函数yf1 (x) 的图象关于 yx 对称 . 注 ：一般地， f 1(x 3) f (x 3)的反函数 .f 1 ( x3) 是先 f ( x) 的反函数，在左移三个单位.f ( x3) 是先左移三个单位，在f (x) 的反函数 . 0）反 4.单调函数必有反函数， 但并非函 反函数存在时一定是单调的 . 因数 此，所有偶函数不存在反函数 .如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数 .设函数y = f （ x）定义域，值域分别为 X 、Y. 如果 y = f（x）在 X上是增（减）函数，那么反函数yf 1( x) 在 Y 上一定是增（减）例 15

11、. 若函数 y f ( x) 的图象经过 (0, 1) ，那么 y f ( x 4) 的反函数图象经过点 ( )(A) (4, 1)(B) ( 1, 4)(C) ( 4, 1)(D) (1, 4)例 16. 设 f x4 x2x 1 ，则 f 1 0_.指 2. 对 数 函 数 ： 如 果 a数（ a0, a1 ）的 b 次幂等于函数N ，就是 abN ，数 b 就叫做以与 a 为底 的 N 的 对 数 ， 记 作对logaN（ a0, a 1 ，负数和数b函零没有对数）；其中 a 叫底数，数 N叫真数. 对数运算：例 21.设 x, y, z(0,) 且 3x4 y6z , 求证:111;比

12、较 3x,4 y,6z 的大小 .x2 yz函数，即互为反函数的两个函数增减性相同 .一般地，如果函数y f (x) 有反函数，且 f (a) b ，那么 f1 (b) a .这就是说点（ a, b ）在函数 yf ( x)图象上，那么点（b, a ）在函数yf1 (x) 的图象上 .例 17. 函数 y mx1( x R), 与 yxn(n R)_.2互为反函数的充要条件是loga (M N)loga M loga NlogaMloga M loga NNloga Mnn loga Mloga n M1loga Maloga NnN例 22.已知 f ( x) 1 log x 3， g( x

13、) 2 log x 2 ,试比较 f ( x)和g( x) 的大小。注 :1.函数 f(x)的反函数 f-1(x)的性质与 f(x)性质紧密相连， 如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数 f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。2.设函数f(x)定义域为A ，值域为-1C ， 则 f f(x)= x,(xA) 例 18. 若点 (2, 1 ) 既在函数 y2ax b 的图象上，4a =_， b =_又在它的反函数的图象上，则换底公式：logb Nloga Nlogb a推论：1loga b logb c logc aloga a2 logaa3 . lo

14、gaanlogaan12n 11以上0,a0,a1,b0,b1,(M0,Nc 0,c 1,a1,a2,.,an 0且 1)例如： log ax 22log a x(2loga x例 23. 求函数 ylog 1 ( x23x18) 的单调减区2间，并用单调定义给予证明。ff-1 (x)= x,(xC)指1.指数函 数 ： y a x例 19.函数 ya x 21( a 0 ，且 a1)的图象数（ a 0, a1），定义域 R，值必经过点 ()函域为（ 0, ）.当 a 1，指(A)(0 ，1)(B)(1 ，1)数数函数： ya x 在定义域上为(C) (2， 0)(D) (2， 2)与增函数；

15、当 0 a 1，指数例 20. 3log 72 log 7 9 2log 7 (3)对函数： y a x 在定义域上为减22数 函数 .当 a1 时， y a x 的 a函值 越大 ， 越 靠近 y 轴 ；当数0a1 时，则相反 .中 x0 而 log a x2 中 xR）. y a x （ a0, a 1 ） 与y log a x 互为反函数 .当 a 1 时， y log a x 的 a 值越大，越靠近 x 轴；当 0 a 1 时，则相反 .例 24. 求下列函数的定义域、值域： y2 x2 11; ylog 1 ( x 24x 5)43图y = （f x）y轴对称yf （x）例 25.讨

16、论函数 y3x7的图象与象y =f（ x）x轴对称yf（ ）x2xy 1 的图x一二次方程实数根的分布问题：次的两根为 x1 , x2 ；则：设实系数一元二次方程f ( x)ax 2bxc0变 y=f（x ）象的关系。换原点对称f（x）y y=f( x) y=f(| x|),把轴上方的图象保留， 轴下方的图象关于轴对称 y=f( x) y=| f( x)| 把轴右边的图象保留， 然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f( x) y=f( 函根的情数况与等价命二题次函数充要条件x1 x2k在区间 (k, ) 上有两根 0bk2aaf ( k )0。x1 x2k在区间

17、(,k ) 上有两根 0bk2 aaf ( k )0。x1k x2在区间 ( k,) 或(, k) 上有一根a f( k)0x),y=f( x) y=Af( x+ ) 具体参照三角函数的图象变换。注: 一个重要结论： 若 f( a x)f( a+x) ，则函数 y=f( x) 的图像关于直线 x=a 对称；一1.一元一次函数：yaxb(a0) ，当 a0 时，是增函数；当a次函数；函0 时，是减af ( p)0另外 :二次方程 f(x)=0 的一根小于 p，另一根大于 q(pq)。af ( q)0二次方程 f(x)=0 在区间 (p,q)内只有一根f(p)f(q)0，或 f ( p)0 （检a

18、f (q)0f ( q) 0（检验）。验）或a f ( p)0若在闭区间 m,n 讨论方程 f ( x) 0 有实数解的情况，可先利用在开区间(m, n) 上实根分布的情况，得出结果，在令x n 和 x m 检查端点的情况。数2b与2.一元二次函数：一般式 : y axbx c(a 0) ；对称轴方程是 x2a ；顶点为二(b, 4ac b2) ；两点式： y a( xx1 )( x x2 ) ；对称轴方程是；与 x 轴的次2a4a；顶点式： ya( x k) 2h ；对称轴方程是函交点为；顶数点为；一元二次函数的单调性： 当 a0 时：为增函数；为减函数；当 a0时：为增函数；为减函数；注

19、:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。特别指出 ,分段函数也是重要的函数模型。一 例 26. 当 0x1 时，函数 y=ax+a 1 的值有正值也有负值， 则实数 a 的取值次 范围是（）函(A) a1(C)a1(D) 1a1数222与例 27.已知函数 f ( x) ax 2(a 3a) x1在( ,1 上递增，则 a 的取值范围是二( )二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为ya(xk) 2h 的形式，次（ A ） a 3（B）函 （ C） 0 a 3（ D）数例 28.已知二次函数 f (x) ax 2(a 2f (1)0 ，则实数 b 取值范围是 ()

20、3 a 33 a0b)x c的图像开口向上，且f (0) 1 ，( )、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当 a 0 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 当 a 0时：在顶点处取得最大值， 最小值在距离对称轴较远的端点处取得；( )若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当 a 0 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得， 最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 当 a 0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；(A)( ,3(B) 3 ,0)(C)0, )(D) (, 1)441,x0例 29.设函数 f (x)0,x0， 则方程 x 1(

21、2x1) f ( x) 的解为.1,x0数学基础知识与典型例题(第二章函数 )答案例 1. 34, 43,6;例2.C例 3. (10 r )r , (0,10) 对于实际问题，在求出函数解析式后，此时的定义域要根据实际意义来确定。例 4.解：解析式有意义的充要条件是：x23x 4 0x 4或 x 1x3或 3x 1或 x 4x120x3且 x 1函数 f ( x)x23x4 的定义域为 x| x3或3x 1或 x 4 x121 x1 15 x 333例 5.解：要使函数有意义 ,必须 :444 x 1 13 x 5441 x444 yf ( x1)f (x1) 的定义域是3,3 .44441

22、 (1t)21 1例 6.解一 : 令 t1 2x, 则x1 t , 213f (t)43 2t tf ()4152(1t )21 2tt 2214114解二：令 11则 x111(1)22 x41524 f ( )212( )4例 7.解：设 t1x 则 t0x=1 t2 代入得 y=f (t )=2(1 t2)+4t=2t2+4t+2=2(t1)2+4t 0 y4所求值域为,4例8. B1x1, 在1,1上任取 x12 且 x1例 9.解：定义域 x|x2,x则 f ( x1 )1 x12 , f (x2 )1 x2 2f ( x1 )f (x2 )1 x121 x22 = (1 x12

23、) (1 x22 )1x121 x22=x22x12( x2 x1)( x2x1 )1 x221 x121 x221 x12 x1 x2 x2x10 ,另外，恒有 1 x121 x220若 1x1x20 则 x1+x20则 f ( x1 )f ( x2 ) 0 , f (x1) f (x2 )若 x1 f ( x2 )+x 0 在 1，0 上 f ( x) 为增函数，在 0 ，1 上为减函数。例10.C例 11.证：任取x1, x212g (x)在R上是增函数12R 且 x x,g (x ) g (x ),又 f (x) 在 R 上是增函数 ,f g (x12)而且1 x2 ,) 0 时, x

24、02(x2有 f ( x) = xx =x );(x 2当 x0有 f ( x) = x22x)x)( x0)x =(x +x) f (xx 2 )( xf ( x)0)此函数为奇函数 .例 13.解： 1x 0,0 x2 22 1 ,1 , 0 1 x 1, 0 1 x0 y 1 由： y1 1 x2解得： x2yy 2( 1x 0 ) y 1 1 x 2(1 x 0)的反函数是： y2xx 2 ( 0 x 1 )例 14.解 :利用数形对应的关系，可知y=g(x)是 y=f-1(x+1)的反函数，从而化 g(x)问题为已知 f(x)。 yf 1 (x1) x 1f ( y) xf ( y)

25、1 y f 1 ( x 1) 的反函数为 yf (x)1即 g ( x)f ( x)1 g(11)=f(11)-1= 32评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，-1例15.B例16.1例 17. m=2,n= 1 2例 18. a = 12， b = 1077解：由已知 (2,1 ) 在反函数的图象上，则 (1 ,2) 必在原函数的图象上44122 a b2ab21211a) 和 (则4，所以 1，解得7所以原函数经过点 (2,2)1b110442a ba2 44b7例 19.D23(3)2例 20.解：原式log 722log 7 109例 21.证明：设 3x4 y6zk , x, y, z(0,) , k1 取对数得 : xlg k , ylg k , zlg k ,lg 3lg 4lg 6 11lg 3lg 42lg 3lg 42lg 32lg 2 lg 61x2 ylg k2lg k2lg k2lg klg kz34lg 64lg81lg k lg 64 3x 4 y lg k() lg k810 , 3x 4 y ,lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 446lg36 lg 64lg k l