第十二章 弯曲变形2-2

1、1BEIJING FORESTRY UNIVERSITY第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形 (2)2BEIJING FORESTRY UNIVERSITY主要内容主要内容 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 简单静不定梁简单静不定梁 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计3BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 叠加原理成立的前提叠加原理成立的前提:M(x)为载荷为载荷(P, q, Me)的线性齐次函数的线性齐次函数2、梁的变形很小；、梁的变形很小；(不影响其它载荷的作用效果不影响其它载荷的作用效果)1、应力不超过比例极限；、应力不超过比例极限；(线弹性线弹性)

2、梁的变形与载荷成线性关系梁的变形与载荷成线性关系 EIxMw 积分后，积分后，w和和w仍然是仍然是载荷载荷(P, q, Me)的线性齐次函数的线性齐次函数+ +4BEIJING FORESTRY UNIVERSITY两类情况：两类情况： 叠加法的应用叠加法的应用(1) 分解载荷，将各个载荷引起的位移叠加；分解载荷，将各个载荷引起的位移叠加；P350：附录附录D 梁的挠度与转角梁的挠度与转角ABFleMa=+236FFxwxlEI xABFlxABleMaxe2ee0222MM xxaEIwM aaxaxlEIeMFwww5BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 叠加法的应用叠加

3、法的应用(2) 分解变形，将各段变形叠加。分解变形，将各段变形叠加。 逐段刚化求和法逐段刚化求和法P350：附录附录D 梁的挠度与转角梁的挠度与转角ABqa212qaABqCla已知：已知：EI，q，l，a。求。求wC。 12Cwww1w2wqCB=+B 231236Bqalqa lwaaEIEI 428qawEI 6BEIJING FORESTRY UNIVERSITY试用叠加法计算横截面试用叠加法计算横截面C的挠度。设弯曲刚度的挠度。设弯曲刚度EI为常数为常数 。 ABqFl/2l/2C7BEIJING FORESTRY UNIVERSITYABqFl/2l/2C（1）均布载荷）均布载荷q

4、 单独作用时：单独作用时：查表：查表：P350：附录附录D 4,5384C qqlwEI ABql/2l/2CFABl/2l/2C（2）集中力）集中力F 单独作用时：单独作用时：查表：查表：P350：附录附录D 3,48C FFlwEI ,43538448CC qC FwwwqlFlEIEI 8BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 图示悬臂梁，同时承受集中力图示悬臂梁，同时承受集中力F1和和F2作用。作用。 试求横截面试求横截面C的挠度。设弯曲刚度的挠度。设弯曲刚度EI为常数为常数 。例例12-6AC2Fa1FaB9BEIJING FORESTRY UNIVERSITYAC2

5、Fa1FaB1FACaaBAC2FaaB（1）集中力）集中力F 1单独作用时：单独作用时：查表：查表：P350：附录附录D 131,56C FFawEI（2）集中力）集中力F 2单独作用时：单独作用时：查表：查表：P350：附录附录D 232,83C FF awEI 12,33125863CC FC FwwwFaF aEIEI10BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 图示悬臂梁，同时承受集中力图示悬臂梁，同时承受集中力F1和和F2作用。作用。 设弯曲刚度设弯曲刚度EI为常数为常数 。例例12-6AC2Fa1FaB请同学们思考：请同学们思考： (1) 如何用逐段刚化法求解如何用

6、逐段刚化法求解wC? (2) 如何求横截面如何求横截面B的转角？的转角？11BEIJING FORESTRY UNIVERSITY一、基本概念：一、基本概念：静定梁：静定梁：静力平衡方程数静力平衡方程数= =全部未知力全部未知力静不定梁静不定梁(超静定梁超静定梁)： 静力平衡方程数静力平衡方程数 全部未知力全部未知力多余约束：多余约束：多余维持平衡所必须的约束多余维持平衡所必须的约束ABCFqACFqACFq多余支反力多余支反力12BEIJING FORESTRY UNIVERSITY相当系统：相当系统：作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统。作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统

7、。 二、静不定问题的分析方法：二、静不定问题的分析方法：ABCFqFAFBFC 平面问题有三个平衡方程；平面问题有三个平衡方程； 水平方向不受力，则有水平方向不受力，则有 两个有效平衡方程；两个有效平衡方程； 有三个未知力。有三个未知力。多余约束的作用：多余约束的作用：提供支反力，提供支反力，限定位移。限定位移。在加入该支反力之后，该约束点在加入该支反力之后，该约束点的位移必须满足一定的条件。的位移必须满足一定的条件。wB = 0ABCFqFB基本系统基本系统(静定基静定基):一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统。一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统。 13BEIJING FORE

8、STRY UNIVERSITY总结：分析方法与分析步骤总结：分析方法与分析步骤步骤步骤： 1、 判断静不定度（确定多余约束数）；判断静不定度（确定多余约束数）； 2 、解除多余约束，建立相当系统；、解除多余约束，建立相当系统； 3 、列出多余约束处的变形协调条件、列出多余约束处的变形协调条件(位移边界条件位移边界条件)； 4、结合平衡方程，求多余支反力。、结合平衡方程，求多余支反力。 方法：方法：解除多余约束，代之以支反力；解除多余约束，代之以支反力； 分析相当系统，建立多余约束点处的位移边界条件。分析相当系统，建立多余约束点处的位移边界条件。 静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一

9、种静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种14BEIJING FORESTRY UNIVERSITYqABAB静定基静定基: :相当系统：相当系统：AB 静定基与相当系统的选取：静定基与相当系统的选取：qABBFABAMqwB = 0 A = 015BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 图示圆形截面梁，承受集中载荷图示圆形截面梁，承受集中载荷F作用。作用。 试求校核梁的强度。已知：试求校核梁的强度。已知：F=20kN，跨度，跨度a=500mm，截面直径截面直径d=60mm，许用应力，许用应力=100MPa。例例12-7FaABCa/2a/216BEIJING FOR

10、ESTRY UNIVERSITY（1）求解静不定梁的支反力。）求解静不定梁的支反力。解：解：AyFByFCyF 一度静不定梁一度静不定梁FaACa/2a/2B ,0*ByB FB Fww0Bw 变形协调条件：变形协调条件： 2322,11226 2296B FaFaaFawaaa EIEI 叠加法：叠加法：（查表：（查表：P350：附录附录D） 33,2486ByByByB FFaF awEIEI代入（代入（*）式解得：）式解得：4111.375 10 N16ByFF17BEIJING FORESTRY UNIVERSITY解：解：AyFByFCyFFaACa/2a/2B41.375 10 N

11、ByF由平衡方程解得：由平衡方程解得：310,3232AyCyFFFF ACBxM 0.94kN m2.03kN m（2）强度校核。）强度校核。maxmax395.7MPa/32Md 故梁的强度符合要求。故梁的强度符合要求。18BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 图示两端固定梁，承受集中载荷图示两端固定梁，承受集中载荷F 作用。作用。 试计算梁的支反力。设弯曲刚度试计算梁的支反力。设弯曲刚度EI为常数。为常数。例例12-8FaABbl19BEIJING FORESTRY UNIVERSITYFaABbl解：解：AyFAMAxFBxFByFBM三度静不定梁三度静不定梁二度静不

12、定梁二度静不定梁忽略横向变形忽略横向变形AyFByFFAMBM00AB变形协调条件：变形协调条件：叠加法：叠加法： 查表：查表：P350：附录附录D,366ABABAA MA FA MFab lbM lM lEIEIlEI,663ABABBB MB FB MFab laM lM lEIEIlEI 20BEIJING FORESTRY UNIVERSITYFaABbl解：解：AyFAMAxFBxFByFBMAyFByFFAMBM代入变形协调方程，代入变形协调方程，0366ABFab lbM lM lEIEIlEI0663ABFab laM lM lEIEIlEI列写平衡方程，列写平衡方程，0,0

13、yAyByFFFF0,0AAByBMMFaF lM解得：解得：2222223322,ABAyByFblaFalbFabFa bMMFFllll21BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 图示悬臂梁，承受集中载荷图示悬臂梁，承受集中载荷F 作作用，因其刚度不够，用杆用，因其刚度不够，用杆CB加固。加固。 试计算梁试计算梁AB的最大挠度减少量。的最大挠度减少量。设梁与杆的长度均为设梁与杆的长度均为l，梁的弯曲刚，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度均为常数，分别为度与杆的拉压刚度均为常数，分别为EI 与与EA，且，且A=3I/l 2 。例例12-9FABllC22BEIJING FOREST

14、RY UNIVERSITYFABllC解：解：一度静不定梁一度静不定梁FABllBCBCFBCF,B CBB ABww变形协调条件：变形协调条件：3,3BCBCB CBCBF lF lwlEAEI 3,3BCB ABFFlwEI 查表：查表：P350：附录附录D得补充方程：得补充方程：2BCFF（1）解未知力）解未知力23BEIJING FORESTRY UNIVERSITYFABl解：解：未加固时：未加固时：FABlBCF33FlwEI（2）刚度比较）刚度比较加固时：加固时：3336CBFFlFlwEIEI 2w可见加固后梁可见加固后梁AB的最大挠度显著减小。的最大挠度显著减小。24BEIJ

15、ING FORESTRY UNIVERSITY一、梁的刚度条件：一、梁的刚度条件： maxw max ,许用挠度；许用挠度； ,许用转角。许用转角。 750500ll桥式起重机梁：桥式起重机梁：一般用途的轴：一般用途的轴： 351000010000ll安装齿轮或滑动轴承的轴：安装齿轮或滑动轴承的轴： 0.001rad25BEIJING FORESTRY UNIVERSITY二、梁的合理刚度设计二、梁的合理刚度设计1、合理选择截面形状。、合理选择截面形状。2、合理选用材料。、合理选用材料。 弹性模量弹性模量E3、合理地对梁进行加强。、合理地对梁进行加强。4、适当的选取梁的跨度。、适当的选取梁的跨

16、度。5、合理安排梁的约束与加载方式。、合理安排梁的约束与加载方式。ABql(b)ABql/4l/2l/4(c)( )max( )max62.5%cbwwBAl/2(a)l/2Fql( )max( )max8.75%baww26BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 一简支梁，跨度中点承受集中载荷一简支梁，跨度中点承受集中载荷F 作用。已知：作用。已知：F=35kN，跨度，跨度l=4m，许用应力，许用应力=160MPa，许用挠度，许用挠度=l/500，弹性模量，弹性模量E=200GPa。 试选择工字钢型号。试选择工字钢型号。例例12-10FABCl/2ll/227BEIJING FORESTRY UNIVERSITY解：