D12_8一般周期函数的傅立叶级数

1、第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的的周期函数的傅里叶级数傅里叶级数二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式 第十二章 一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数周期为 2l 的函数 f (x)周期为 2 的函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2) 在一个周期内只有有限个极值点naxlxnxflbllndsin)(1l1xlxnxflldcos)(),

2、2, 1,0(n),2, 1(n设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶级数展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的连续点处)其中定理定理.说明说明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的连续点处)lxnsinl20l如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 无论哪种情况 ,).()(21xfxf在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数都收敛于l20l如果 f

3、(x) 为奇函数, 则有 )(tftO0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里里叶级数.,上的表达式为0t0 t2E的周期是22000d2sintt21Ea tE2cos212时1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2t

4、ttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在)(EtftEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f (x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. )(tftO22Oyx2例例2. 把展开成)20()(xxx

5、f(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?O 2yx(2) 将 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xancosd2n xx22022sincos22nxnxxnn224( 1)1nn xxf)(200d22xxa2kn2,0228,(21) k),2, 1(k则有22181(21)1cos(21)2kkxk )20( x12 knO 2yx说明说明: 此式对0 x也成立,2211(21)8kk由此还可导出121nn2812141nn22116nn12)2(1kk22181(21)( )1cos(21)2kkxf xxk )20( x12) 12(1kk据此有当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里叶级数 其展开方法为:xab2ba方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()