北师大七年级上-第14讲-一元一次方程的应用水箱变高了

1、一元一次方程的应用(水箱变高了)知识点一：等体积变形问题1 .等体积变形，即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变，一利用体积不变这一等量关系，可列方程解决等积变形问题.2 .常见几何体的体积公式：(1)圆柱体体积V=nr2h;(2)长方体体积V=abc;3(3)正万体体积V=a；1 2(4)圆锥体的体积V=nrh.3例1如图所示，将一个底面直径为10cm,高为36cm的瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm的矮胖”形圆柱.假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？分析：在锻压过程中，圆柱由瘦”变胖”，形状发生了变化，但它的体积始终保持不变，所以在这个问题中有如下等量关系：锻

2、压前的体积=锻压后的体积.解：设锻压后圆柱的高为xcm,填写下表：锻压前锻压后底面半径5cm10cm高36cmxcm体积n父52M36,-2nM10Mx根据相等关系，列出方程：n乂52父36=冗M102x：x,解得x=9.答：高变成了9cm.例2有一个长、宽、高分别是20cm、15cm、40cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形且正方形边长为20cm的长方体钢锭，高变成了多少？(忽略锻压过程中的损耗)分析：此题的相等关系：锻压前的体积=锻压后的体积.解：设高变成了xcm,依题意得2020次=2015X40.解方程，得x=30.答：高变成了30cm.变式训练1 .将一个底面积为36cm2

3、,高为30cm的金属圆柱熔铸成一个底面长8cm,宽5cm的长方体，求该长方体的高.这个问题的等量关系是，如果设长方体的高是xcm则可列方程解.圆柱体的体积=长方体的体积，8M5Mx=36父30.2.用一个长、宽、高分别是16cm、10cm、5cm的小长方体容器向一个底面为20cmX20cm的大长方体容器注水，当小长方体容器的水全部注入大长方体容器中时，大长方体中的水面高度是多少？解：设大长方体中的水面高度为xcm.依题意，得16父10父5=20父10Mx.解之得x=2.答：大长方体中水面的高度为2cm.知识点二：等长变形问题1 .等长变形，即用物体(通常是铁丝等)围成不同的图形，图形的形状、面

4、积发生了变化，但周长不变.利用周长不变列出方程.2 .常用平面图形的周长、面积公式：(1)长方形周长C=2(a+6),面积S=ab,2(2)正方形的周长C=4a,面积S=a;一一i1.(3)三角形的面积S=ah;2(4)平行四边形的面积S=ah;,一c1，、，(5)梯形的面积S=(a+b)h;22(6)圆的周长C=2n面积S=nr(r表不圆的半径).例3用一根铁丝可围成边长为9cm的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2cm的长方形，则长方形的面积是多少？分析：图形的形状改变了，但是周长不变，始终等于铁丝的长度，故此题的相等关系是：正方形的周长=长方形的周长.解：设长方形的长为xcm,则宽为(x-

5、2)cm.依题意得2x+2(x-2)=9X4.2解得x=10.x-2=8.故x(x-2)=80.答：长方形的面积为80cm.例4墙上钉着一个由一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示(单位：cm),小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示.求小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？分析：从梯形变成长方形，形状变了，但周长不变，可根据这一等量关系建立方程，长方形的宽为8cm.解：设长方形白长为xcm.由题意，得2(8+x)=8+15+10+8+5+13,.x=21.5.答：长方形的长为21.5cm,宽为8cm.变式训练1.一根绳子刚好可以围成一个边长为6cm的正方形.

6、如果用这根绳子围成一个长8cm的长方形，这个长方形2的范为cm,面积是cm.解.432提示：设长方形的宽为xcm,则有6父4=2(8+x).解得x=4.则长方形的面积为8父4=32/一2、(cm).一、专题精讲题型一：形积变化一一体积不变例1在一个内部长、宽、高分别为3m、3m、80cm的长方体水箱内装满水，然后倒入一个底面直径是2m,高是12m的圆柱形容器中，问水是否会溢出？若不溢出，请求出水面离容器口的距离.(支取3.14,结果精确到0.01m)分析：先分别求出两容器的体积，然后通过比较大小，确定水是否会溢出，解：长方体的体积Vi=330.8=7.2(m3).2223、圆柱形容器的体积V2

7、fW2h=爪0)212=12二(m).因为7.2s2C.=S2D.无法确定分析：通过移动阴影部分，将所有阴影部分合在一起后，利用阴影部分面积知面积相等，解：C变式训练=长方形面积一空白部分面积，可1.一个长方形如图所示，恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1cm2,求这个长方形的面积.解：设最大正方形B的边长为xcm,则C的边长为（x-1）cm,D的边长为（x-2）cm,E的边长为（x-3）cm,F的边长也是（x-3）cm.根据长方形对边相等得2（x-3）+（x-2）=x+（x-1）.解得x=7.则C的边长为6cm,2、D的边长为5cm,E和F的边长都为4cm.长方形面积为（7+6）区（7

8、+4）=143（cm）.题型三：形积变化一一周长不变例3小刚家打算靠墙（墙长14m）修建一个长方形的养鸡场（靠墙的一边作为长），另三边用35m长的篱笆围成.小刚的爸爸打算让鸡场的长比宽多2m,小刚的妈妈打算让鸡场的长比宽多5m.你认为他们谁的设计合理？按照这种设计，鸡场的面积是多少？分析：此题中的墙长14m”是一个限制条件，故所建的鸡场的长不能大于14m.解：设鸡场的宽为xm.按小刚爸爸的设计，其长应为（x+2）m.根据题意，得x+2+2x=35.解得x=11.因为11+2=13m墙长14m,所以小刚爸爸的设计合理，这时鸡场的面积为13M11=143（m2）.按小刚妈妈的设计，其长应为（x+5

9、）m.依题意，得x+5+2x=35.解得x=10.因为10+5=15m墙长14m,所以小刚妈妈的设计不符合实际.故小刚爸爸的设计合理，此时鸡场的面积为143m2.点拨：运用一元一次方程解决实际问题时，要注意解的合理性，即所得结果必须符合实际情况，变式训练1 .已知两个长方形的长和宽的比都是2:1,大长方形的宽比小长方形的宽多3cm,大长方形的周长是小长方形周长的2倍，求这两个长方形的面积.解：设小长方形的宽为xcm,则大长方形的宽为(x+3)cm,依题意，得2(x+2x)=x+3+2(x+3).2、 2解之得x=3.则小长万形的面积为3M(3M2)=18(cm),大长方形的面积为6M(6黑2)

10、=72(cm).能力培养1 .一根内径为3cm的圆柱形长试管中装满了水.现把试管中的水逐渐滴人一个内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃器皿中.当玻璃器皿装满水时，试管中水的高度下降了多少厘米？3282一.一解：设试官中水的图度下降了xcm.依题息有n.()x=nM()m1.8.解得x=12.8.22答：试管中水的高度下降了12.8cm.2.如果用16m长的篱笆围成一个长方形养鸡场，长、宽各是多少米时，其面积最大？22解：只有当长、宽均为4m,即围成一个正方形时，养鸡场面积最大，S最大=42=16(m2).达标测试：21.长万形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m而长减少了5m,那么面积增加15

11、m.长万形原来的宽为xm,所列方程是().2_2A.(x4)(3x5)15=3x2B.(x4)(3x-5)-15=3x2C.(x-4)(3x5)-15-3x2D.(x-4)(3x5)15-3x22 .已知内径为120mm的圆柱形玻璃杯和内径为300mm、内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为().A.150mmB.200mmC.250mmD.300mm3 .三角形的周长是84cm,三边长的比为17:13:12,则这个三角形最短的一边长为一4 .要锻造一个直径20cm,高16cm的圆柱形毛坯，应截取直径16cm的圆钢cm.5.一张覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸，展开是一个周

12、长为88cm的正方形(不计接口部分)，这个罐头的容积是(精确到1cm3,支取3.14)436 .把一个半径为3cm的铁球熔化后，能铸造个半径为1cm的小铁球上.(球的体积为nR)7 .在一个内径为20cm,高为110cm的圆柱形铁桶中装有30cm深的水，现把棱长为8cm的正方体铁块慢慢放到桶中，铁桶中的水位大约上升了()cm.(支取3.14,精确到0.1)A.1.6B,1.7C.3.2D.3.38 .长方体甲的长、宽、高分别为260mm、150mm、325mm,长方体乙的底面积为130M130mm2.已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高.参考答案1.B2.B3.24cm4.253115.

13、848cm提木：圆枉图为22cm,底面半径为一cm.TL43436. 27提不：一冗父3=一n父1n,解得n=27.33一20237. A提不：冗父(一)2，h=83,解得h-1.6.28. 解：设乙的高为xmm,依题意得260M150M325=130父130MxM2.5.解之得x=300.答：乙的高为300mm.课后作业：一.选择题1.已知半径为5厘米，高为7厘米的圆柱体的体积是直径为4厘米，高为x厘米的圆柱体的体积的5倍，则下列方程正确的是（）A.5兀&2?x=兀102?7B.412?x=5兀102?7C.5兀？（一）2?x=%?（-）2?7D.5兀？（一）2?x=Tt方2?7解答：解：由

14、题意可得：5兀？（_）2?x=ti?（_）2?7.故选：C.二.填空题2 .一个长方形的周长是42,宽比长少3,如果设长为x,那么根据题意列方程为2（x+x-3）=42.,求每块地砖的长和宽，设每块131M31平方毫米、高为81毫x毫米，则可列方程3 .如图，8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计）4x=604 .一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面性为米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了2x=131281.5 .水池有一进水管，5时可注满空池；池底有一出水管，8时可放完满池水.如果同时打开进水管和出水管，1时后，水池的水是满池的,若同时打开进水管和出水管刚好x时注满空池，可列方程是一一.6.三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单