北京市西城区九年级上册《二次函数》教材分析

1、.第二十二章 二次函数北京一六一中 一、本章的地位和作用1.二次函数是描绘现实世界变量之间关系的重要的数学模型，二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题. 二次函数曲线抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线途径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本章的内容在日常生活和消费实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和函数思想的重要素材.2.学生在学习了一次函数和反比例函数之后学习二次函数，对学生进一步理解函数的概念，掌握研究函数的一般方法，体会函数思想非常重要，是对函数及其应用的

2、学习的深化和进步，为学生进入高中后的函数学习奠定根底和积累经历.二、本章的重点和难点本章的主要内容包括：二次函数的概念、图象和性质，二次函数与一元二次方程的联络，用二次函数的图象和性质解决实际问题. 教学重点：二次函数的图象和性质及其应用. 教学难点：二次函数与一元二次方程的联络； 运用数形结合的数学思想解决二次函数问题.三、本章的学习目的1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象理解二次函数的性质.3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=ax-h2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能

3、解决简单实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.四、考试说明要求A层次B层次C层次理解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象；通过图象理解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式转化为y=ax-h2+k的形式；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.能根据条件确定二次函数的表达式；能确定二次函数图象的开口方向；能用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴. 运用二次函数的有关内容解决有关问题.五、本章的知识构造实际问题二次函数利用二次函数的图象和性质求解实际问题的答案目标二次函数的解析式二次函数的图象

4、二次函数的性质描点画图图象特征几何变换函数最值函数增减性函数对称性性六、课时安排： 本章教参安排为12课时，实际教学约需15课时，可分配如下仅供参考：22.1二次函数的图象和性质共8课时 二次函数的概念 1课时 二次函数y=ax2的图象和性质 1课时 二次函数y=ax2c的图象和性质1课时二次函数y=axh2的图象和性质 1课时 二次函数y= axh2k的图象和性质1课时二次函数y=ax2bxc的图象和性质 1课时二次函数解析式确实定 2课时22.2二次函数与一元二次方程共1课时 22.3实际问题与二次函数 共4课时 实际问题与二次函数2课时 二次函数综合问题2课时数学活动与小结 共2课时七、

5、教学建议1. 注重研究函数的方法教学，为学生探究详细新函数积累数学活动经历学生已经学习了函数的有关概念，及详细的初等函数-一次函数和反比例函数，本章是学生第三次研究详细函数的过程，应该让学生建立在已有研究经历的根底上，体会函数思想，掌握研究函数的一般方法.教材安排学习函数过程大致包括以下内容：1通过详细实例认识这种函数；2研究这种函数的图象和性质；3探究这种函数与相应方程不等式的关系；4利用这种函数解决实际问题.2. 注意由浅入深、循序渐进地理解二次函数的概念对二次函数的概念有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原那么，分三步来展开这部分的内容.第一步，从学生熟悉问题背景引入相应

6、的二次函数入手，由详细到一般，建立二次函数的概念.第二步，利用变换的观点研究二次函数的图象，通过函数图象研究二次函数的性质，表达函数解析式与图象的关系.第三步，在二次函数模型的应用过程中，通过建立二次函数模型以及模型的求解，更全面地体会二次函数的本质.教学中，要让学生经历知识发生开展的全过程，引导学生用好节前问题、探究、考虑、归纳等教材设计的环节，给学生充分的自主探究时间，让学生真正理解函数概念，提升学习才能.3. 注重数学思想方法的教学本章教学始终沿着由特殊到一般的研究思路，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数y=x2出发逐步深化讨论的.类比思想在研究的过程中屡次表达，对于y=ax2

7、的研究分a>0和a<0，研究完a>0的情况，a<0的情况就可以类比a>0的情况进展讨论.数形结合的思想贯穿二次函数讨论的始终，每一个二次函数的研究都展现了从解析式到图象，再从图象到性质的过程.另外，利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面，利用好本章的实际问题背景，培养学生的数学建模的思想.八、详细内容建议一 二次函数的概念概念的引入要突出过程，引导学生从丰富的实例中列出函数关系式，观察共性，归纳概念的本质特征，在整个过程中，要给学生充分的观察、比较、分析、概括的时间，要让学生体验到二次函数与生活的严密联络.另外，通过本节课的教学，可以再次熟悉列函数关系式

8、的方法，突出方程思想，为实际问题与二次函数的学习奠定根底.二 二次函数的图象和性质y=x2y=ax2(a0)y=ax2+k (a0)y=a(xh)2(a0)y=a(xh)2+k (a0)y=ax2+bx+c (a0)目标几何变换几何变换y=ax2的图象和性质的教学是二次函数教学的根底，要把这节课作为一节新函数的探究过程，如何画图，如何看图，如何归纳性质，都是本节课要重点关注的，学生理清了这节课的思路，其它函数就可以类比研究了.作图方法：五点法图象特征：图象形状、开口方向、开口大小、对称轴、顶点最高点、最低点 函数性质：对称性、增减性和最值y=ax2的图象和性质a>0a<0示意图图象

9、形状抛物线开口开口向上开口向下越大，开口越小；越小， 开口越大.对称轴y轴直线x=0顶点坐标最低点0,0最高点0,0最值当x=0时，y有最小值是0.当x=0时，y有最大值是0.增减性当x0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.当x0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小.例题与练习：1确定以下二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；2.写出以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3. 二次函数1把它变为的形式:_2它的图象是抛物线向_平移_个单位长度，又向_平移_个单位长度后得到的.3它的图象与x轴的交点坐标为_，与y轴的交点坐标为_4它的图象

10、开口方向为_5对称轴方程为_，顶点坐标为_6x的取值范围为_时，y随x的增大而增大；x的取值范围为_时，y随x的增大而减小7当x_时，y>0 ; x_时，y=0 ; x_时，y<0 8当x=_时，y有最_值，这个最_值是_9当-3<x<3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围_三二次函数y=ax2+bx+c a¹0图象的变换平移、对称、旋转平移：函数y=ax2+bx+c a¹0图象的平移要抓住顶点的平移也可以是其它关键点的平移， a不变翻折：要抓住顶点的变化及其它关键点的变化.*结论：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y= -a

11、x2-bx-c 抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是y= ax2-bx+c旋转：绕某一定点旋转180°：要抓住顶点的变化，a取相反数. 结论：抛物线y=ax-h2+k绕顶点旋转180°后的解析式为y= -ax-h2+k例题与练习：1.将抛物线y=2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 A. y=2x+12 B. y=2x12 C. y=2x2+1 D. y=2x212.将抛物线向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为 A.B. C. D.3. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为AB CD4.将二次函数y=x2+2x1的

12、图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是Ay=x+322By=x+32+2 Cy=x12+2Dy=x1225.抛物线经过平移得到，平移方法是 A向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B向左平移1个单位，再向上平移3个单位C向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D向右平移1个单位，再向上平移3个单位6.将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 A B C D7.将抛物线绕原点O旋转180°，那么旋转后抛物线的解析式为 A. B. C. D. 8.设二次函数的图象为C1二次函数的图象与C1关于y轴对称1求二次函数的解析式；2当0时，直接写出的取值范围； 3

13、设二次函数图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数 k，m为常数，k0的图象经过A，B两点，当时，直接写出x的取值范围 四 确定二次函数解析式一般式：y=ax2+bx+c a¹0 顶点式：y=ax-h2+k a¹0交点式双根式：y=ax-x1 x-x2 a¹0 ， 其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标 用待定系数法确定抛物线的解析式一般需要两个或三个独立条件，灵敏的选用不同方法设并求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.例题与练习：1二次函数的图象过1，0，1，4和0，3三点，求这个二次函数解析式.2. 抛物线的顶点坐标是1，-4，且与x轴的交点坐

14、标是1，0. 求这个二次函数解析式.3. 二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=3，x2=1，且与y轴交点为0，3，求这个二次函数解析式. 4. 抛物线与x轴的交点坐标是1，0，3，0且函数有最小值5. 求这个二次函数解析式. 5. 抛物线过-1，-1点，它的对称轴是直线x+2=0，且在x轴上截得线段的长度为4，求此抛物线的解析式 6. 抛物线平移后经过点，求平移后的抛物线的表达式 五a，b，c的符号对抛物线形状位置的影响a的符号开口方向b的符号对称轴的位置：对称轴在y轴左侧a，b同号；对称轴在y轴右侧a，b异号；b=0对称轴是y轴.c 的符号与y轴交点位置：c>0抛物线与y轴交点

15、在y轴正半轴；c<0抛物线与y轴交点在y轴负半轴；c=0抛物线抛物线过原点.的符号与x轴交点个数：>0抛物线与x轴有两个交点x1, 0, x2, 0；=0抛物线与x轴有一个交点, 0；<0抛物线与x轴没有交点.例题与练习：1. 对于抛物线1假设顶点是原点，那么 ；2假设经过原点，那么 ；3假设顶点在轴上，那么 ；4假设顶点在轴上，那么 ；5假设抛物线与x轴有两个交点, 那么 ；6假设抛物线与x轴有一个交点, 那么 ；7假设抛物线与x轴没有交点, 那么 ；8假设经过1，0点，那么 ； 假设经过1，0点，那么 ；9假设函数值恒为正，那么_；假设函数值恒为负，那么_.2. 如图，二

16、次函数的图象的对称轴是直线x1，那么以下结论，b24ac2ab=0；a+b+c>0，a-b+c<0，当x >1时，y随x的增大而减小,；其中正确的有 .3.二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x1 0 1 3 y3 1 3 1以下结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为x=1；当x1时，函数值y随x的增大而增大；方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个4.如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有以下结论：；抛物线经过点与点，那么；无论取何值，抛物线都经过同一个点；，其中所有正确的结论是 5.如图，抛物线的对称轴为直线，

17、与轴的一个交点在和之间，其部分图象如下图，那么以下结论：；为实数；点，是该抛物线上的点，那么，正确的个数有 A4个 B3个C2个 D1个 6.如图是抛物线y1=ax2+bx+ca0图象的一部分，抛物线的顶点坐标A1，3，与x轴的一个交点B4，0，直线y2=mx+nm0与抛物线交于A，B两点，以下结论：2a+b=0；abc0；方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点是1，0；当1x4时，有y2y1，其中正确的选项是A B C D六二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系1假如抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x= x0时，函数的

18、值是0，因此x= x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.二次函数y=ax2+bx+ca0一元二次方程ax2+bx+c=0a0从形的角度从数的角度抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0当x= x0时，函数的值是0x= x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根2二次函数y=ax2+bx+ca0的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根的三种情况没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根及一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的三种情况.二次函数y=ax2+bx+ca0的图象与

19、x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0a0根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0a0根的判别式没有公共点没有实数根<0有一个公共点有两个相等的实数根=0有两个公共点有两个不相等的实数根>03二次函数与一元二次方程、二次不等式的关系二次函数y=ax2+bx+cOxyOxya>0的图象示意图一元二次方程ax2+bx+c=0a>0的根的情况*不等式ax2+bx+c>0a>0的解集*不等式ax2+bx+c<0a>0的解集>0xOy有两个不相等的实数根x1，x2x<x1或x>x2 x1<x2x1<x<x2 x1

20、<x2=0有两个相等的实数根x1，x2xx1 x1=x2无解<0无实数根x取任意实数无解4利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例题与练习：1. 下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：1那么方程的一个近似解是 A. 1B. C. D. 2. 二次函数的图象如下图，根据图象解答以下问题：1写出方程的两个根；2写出不等式的解集； 3写出随的增大而减小的自变量的取值范围； 4假设方程有两个不相等的实数根，求的取值范围3.如图，抛物线与直线ybxc的两个交点坐标分别为，那么关于x的方程的解为_.4.假设、是方程的两个根，那么实数、的大小关系是 5.关于x的方程的解是，m，b均为常数

21、，0.那么方程的解是 .6. 假如关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点，务实数a的值 7. 二次函数1当c3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；2假设2x1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围七实际问题与二次函数1、最值问题根据实际问题的题意所求的函数关系式是二次函数，再解决最值问题：步骤：列出函数解析式；求自变量x的取值范围；求的值；判断的值是否在x的取值范围中：假设在，；假设不在，利用图象在端点处找最值或利用增减性找最值.2、抛物线形问题 建立适当的平面直角坐标系；根据题意将条件翻译成点的坐标；注意点在各象限中的符号求出抛物线的解析式；利用解析式解决实际问题.

22、例题与练习：1如图，有长为30m的铁丝网，一面利用墙墙的最大可用长度为10m，围成中间隔有一道铁丝网平行于AB的矩形花圃，设花圃一边AB的长为x m，花圃的面积为y m².1求y与x的函数关系式2AB为多长时，花圃的面积为63cm22.某商店经销一种学生用双肩包，这种双肩包的本钱价为每个30元市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y个与销售单价x元有如下关系：y=x+6030x60设这种双肩包每天的销售利润为w元1求w与x之间的函数关系式；2这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？3假如物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天

23、要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？3. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，假如水位上升3米，那么水面CD的宽是10米1建立如下图的直角坐标系，求此抛物线的解析式；2当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物货物与货船同宽问：此船能否顺利通过这座拱桥？八与二次函数有关的代数综合题1.15年27. 在平面直角坐标系中，过点且平行于x轴的直线，与直线交于点A，点A关于直线的对称点为B，抛物线经过点A，B。1求点A，B的坐标；2求抛物线的表达式及顶点坐标；3假设抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围。2.13年23在平面直角坐标系O中，抛物线与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B。1求点A，B的坐标；2设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；3假设该抛物线在这一段位于直线l的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。3.17年27.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点点在点的左侧，与轴交于点.1求直线的表达式；2垂直于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，假设，结合函数的图象，求的取值范围.4.14年23在平面直角坐标系中，抛物线经过点0，3，41求抛物线的表达式及对称轴；2设点关于原点的对称点为，点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线