哈工大理论力学课件第三章空间力系

1、第三章第三章 空间力系空间力系Theoretical Mechanics 空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系空间任意力系空间任意力系重心重心Theoretical Mechanics cos FFx直接投影法直接投影法 cos FFy cos FFzTheoretical Mechanics 间接投影法间接投影法cossincosFFFxyxsinsinsinFFFxyycos FFz空间力在轴上的投影是代数量，空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是矢量而在平面上的投影则是矢量。Theoretical Mechanics kjiFzyxFFFFFFFFFzyx),cos(

2、,),cos( , ),cos(kFjFiF222zyxFFFF空间力的表示空间力的表示Theoretical Mechanics 解：力解：力F的大小的大小kN 6 .19222zyxFFFF力力F 的方向余弦及与坐标轴的夹角为的方向余弦及与坐标轴的夹角为,322. 0 cosFFy7 .76，220. 0 cosFFx1 .71,919. 0 cosFFz 23xy zFFxFyFzA 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具受的力已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具受的力F 的三个正交分量的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求

3、力，试求力F 的大小和方向。的大小和方向。Theoretical Mechanics 力力F的方向以及与坐标轴的夹角的方向以及与坐标轴的夹角已知力沿直角坐标轴的解析式为已知力沿直角坐标轴的解析式为kN ) 543(kjiF试求这个力的大小和方向，并作图表示。试求这个力的大小和方向，并作图表示。kN 5,kN 4,kN 3zyxFFFkN 25222zyxFFFF 707. 0255cos566. 0254cos424. 0253coskF,jF,iF,1354518055.559 .64kF,jF,iF,解：解：Theoretical Mechanics 三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面

4、三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作上作用有一力用有一力F，力，力F与与OAB平面夹角为平面夹角为30，求力，求力F在三个坐标在三个坐标轴上的投影。轴上的投影。 Theoretical Mechanics 圆柱斜齿轮上受啮合力圆柱斜齿轮上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合的作用。已知斜齿轮的啮合角角(螺旋角螺旋角) 和压力角和压力角，试求力试求力Fn沿沿x，y和和z轴的分力。轴的分力。Theoretical Mechanics 解：将力解：将力Fn向向 z 轴和轴和Oxy 平面投影平面投影cos , sinnnFFFFxyz将力将力Fxy向向x，y 轴投影轴投影 coscos

5、cos sincos sinnnFFFFFFxyyxyxTheoretical Mechanics 沿各轴的分力为沿各轴的分力为kFjFiF )sin() coscos( )sincos(nnnFFFzyxTheoretical Mechanics 合力在合力在x、y、z轴的投影为轴的投影为niziznzzzniyiynyyynixixnxxxFFFFFFFFFFFFFFF121121121niin121RFFFFF)(11RkjiFFziniyixiniiFFF空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力Theoretical Mechanics RziRzRyiRyRxiRxFFFFFFFFFFF

6、F),cos(),cos()cos(RRkFjFi ,FR方向余弦方向余弦合力矢合力矢FR的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为 222222R)()()( ziyixizyxFFFFFFF大小大小Theoretical Mechanics 在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFF 解：解：F1F2F3F4单位单位Fx1

7、202kNFy1015-510kNFz341-2kNTheoretical Mechanics kN 31kN 6305222RF合力的大小合力的大小316,cos 3130,cos 315,cosRRRkFjFiF()()()8 .78 6 .14 7 .83=,kF,jF,iFRRR合力的方向余弦合力的方向余弦合力合力FR 与与x，y，z 轴间夹角轴间夹角kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFFTheoretical Mechanics 0121RniinFFFFF222222R)()()(

8、 ziyixizyxFFFFFFF平衡方程平衡方程0 0 0ziyixiFFF空间汇交力系的平衡条件和平衡方程空间汇交力系的平衡条件和平衡方程Theoretical Mechanics 空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角倾角。B，C，D处是固定球铰链支座，处是固定球铰链支座，A处是活动处是活动球铰链支座。顶点球铰链支座。顶点D的球铰链承受载荷的球铰链承受载荷F，不计各杆，不计各杆自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。DABCTheoretical Mechanics 1 取球铰链取球铰链A为研究对象。为研究

9、对象。 cosABABFF cosACACFF cosADADFF解：建立如图坐标系解：建立如图坐标系Bxyz，其中，其中y轴平分轴平分CBD。由于。由于ABCD是正交锥，所以是正交锥，所以AB与与y轴的夹角为轴的夹角为。Theoretical Mechanics 30 cos cosACACxFF30 sin cosACACyFF30 cos cosFFADADx30 sin cosADADyFF力力FAC 和和 FAD 在轴在轴 x，y上的投影上的投影Theoretical Mechanics 030 cos cos30 cos cosADACFF2.列平衡方程列平衡方程0 cos30 s

10、in cos30 sin cosABADACFFF0 sinFFFFABADAC3.联立求解联立求解 sin3FFFFADACAB负号表示三杆都受压力。负号表示三杆都受压力。0=xF0=yF= 0zFTheoretical Mechanics 4.取球铰链取球铰链B为研究对象。为研究对象。联立求解得联立求解得 sin3FFFABBA030 sin30 sinBDBCFF0=xF0sinBBAFF0 cos30 cos30 cosBABDBCFFF, 0yF, 0zF3FFBcot 93FFFBDBC因因由结构和荷载的对称性可得由结构和荷载的对称性可得3FFFDCcot 93FFCD例例已知：物

11、重已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；030求：杆的内力及绳拉力求：杆的内力及绳拉力解：研究解：研究ABAB杆，画受力图，列平衡方杆，画受力图，列平衡方程程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA123.54kNFF8.66kNAF Theoretical Mechanics 桅杆式起重机如图。桅杆式起重机如图。AC为立柱，为立柱，BC，CD和和CE均为钢索，均为钢索，AB为起重杆。为起重杆。A端为球铰链约束。设端为球铰链约束。设B点点滑 轮 上 起

12、 吊 重 物 的 重 量滑 轮 上 起 吊 重 物 的 重 量P=20kN，AD=AE=6 m，其，其余尺寸如图。起重杆所在平余尺寸如图。起重杆所在平面面ABC与对称面与对称面ACG重合。重合。不计立柱和起重杆的自重，不计立柱和起重杆的自重，求起重杆求起重杆AB、立柱、立柱AC和钢和钢索索CD，CE所受的力。所受的力。 CA4545605 m30BDEGTheoretical Mechanics 解：解： 1. 取滑轮取滑轮B研究。研究。xyB6030PFABFBC0=xF030 cos60 cosBCABFF0=yFkN 20 PFBCkN 6 .343PFAB030 sin60 sinPF

13、FBCABCA4545605 m30BDEGTheoretical Mechanics 2. 再选取再选取C点为研究对象。点为研究对象。0=zF0coscos60cosCECDACBCFFFF60 sinBCBCFF 2 .50 sinCDCDFF2 .50 sinCECEFF2 .5056arctan arctan ACADzCFACFCEFCD60CA4545605 m30BDEGxAy4545Theoretical Mechanics 0 xF045 sin45 sinCDCEFF0yF045 cos45 cosCECDBCFFFkN 9 .1545 cos2 .50 sin260 si

14、nBCCECDFFFkN 4 .1060cos2 .50 cos2 BCCDACFFFxAy4545Theoretical Mechanics 空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点O，其上作用有铅直载荷，其上作用有铅直载荷 F。钢丝。钢丝 OA和和 OB 所构成的平面所构成的平面垂直于铅直平面垂直于铅直平面 Oyz，并与该平面相交于并与该平面相交于OD，而钢丝，而钢丝OC则沿水平轴则沿水平轴y。已知。已知OD与轴与轴z间的夹角为间的夹角为，又，又AOD = BOD =，试求各钢丝中的拉力。，试求各钢丝中的拉力。Theoretical Me

15、chanics 解：取解：取O点为研究对象。点为研究对象。sin22FFxcos2FFyzsincos22FFycoscos22FFzTheoretical Mechanics 0 xF0yF0zF0sinsin32FF0sincossincos321FFF0coscoscoscos32FFFtan1FF coscos232FFFTheoretical Mechanics 力矩矢力矩矢MO(F)力对点的矩力对点的矩FrFM)(OTheoretical Mechanics xOikhjMO(F)zA(x,y,z)yBFr力矩矢力矩矢MO(F)是定位矢，不可随意挪动。是定位矢，不可随意挪动。OAB

16、OAhF2)(FrFMTheoretical Mechanics kjiFkjirzyxFFFzyxkjikjiFrFM)()()( )(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyxxyzOzxyOyzxOyFxFxFzFzFyF)()()(FMFMFMxOikhjMO(F)zA(x,y,z)yBFrTheoretical Mechanics 力对轴的矩力对轴的矩hFFMFMxyxyOZ)()(Theoretical Mechanics OFAxyzFzFxyhBAOxyxyOzAhFMM2)()(FFTheoretical Mechanics 正负号可按右手螺旋法则确定。正负号可

17、按右手螺旋法则确定。xyyOxOxyOzyFxFMMMM)()()()(FFFFzxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFOFAxyzFxyhABBTheoretical Mechanics FzFxFyTheoretical Mechanics 力与轴相交或与轴平行，力对该轴的矩为零。力与轴相交或与轴平行，力对该轴的矩为零。Theoretical Mechanics )()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMMxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFkjiFM)()()()(xyzxyzOyFxFxFzFzFyF力对点

18、的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系Theoretical Mechanics 手柄手柄ABCE在平面在平面Axy内内,在在D处作用一个力处作用一个力F，它在垂，它在垂直于直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为轴的平面内，偏离铅直线的角度为。CD=b，杆，杆BC平行于平行于x轴，杆轴，杆CE平行于平行于y轴，轴，AB和和BC的长度都等于的长度都等于l。试求力试求力F 对对x，y和和z三轴的矩。三轴的矩。Theoretical Mechanics 解：解：sinFFx0yFcosFFzcos)()()()(blFCDABFFMFMzzxxcos)()(FlBCFFMF

19、Mzzyysin)()()()(blFCDABFFMFMxxzzTheoretical Mechanics 在直角弯杆的在直角弯杆的C端作端作用着力用着力F，试求这力对坐，试求这力对坐标轴以及坐标原点标轴以及坐标原点O的矩。的矩。已知已知 OA=a=6m， AB=b=4m，BC=c=3m，=30,=60。 Theoretical Mechanics 解：解：x=a=4my=b=6mz=c=-3mcoscosFFx=cos sinyFFsinFFzTheoretical Mechanics 845. 0),cos(OxOMMiM531. 0),cos(OyOMMjM064. 0),cos(OzO

20、MMkMmNcFaFMx105sincossinmNbFcFMy66sincoscosmNFbFMz8coscossincosmNMMMMzyxO1243222Theoretical Mechanics OF FdrBAABrBrAFrFrFMFMFF,MBAOOO)()()(FFFrFrrFF,MBABAO )()(空间力偶空间力偶Theoretical Mechanics 空间力偶的三要素为力偶矩大小，作用面方位和转向。空间力偶的三要素为力偶矩大小，作用面方位和转向。F FACdMBABCAFdM2Theoretical Mechanics 作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相作用在

21、同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两个力偶等效。等，则两个力偶等效。AFFBRROF1B1F2A1F2F1空间力偶等效定理空间力偶等效定理Theoretical Mechanics 空间力偶系的合成与平衡条件空间力偶系的合成与平衡条件Theoretical Mechanics niin121MMMMM222222)()()(ziyixizyxMMMMMMM )k,Mcos( ) j ,Mcos( ) i ,Mcos(MMMMMMzyx0)()()(222222ziyixizyxMMMMMMM 0= 0= 0=ziyixiMMMTheoretical Mechanics 工件四个面上同工

22、件四个面上同时钻五个孔，每个孔时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均所受的切削力偶矩均为为80 Nm。求工件所。求工件所受合力偶的矩在受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢，并求合力偶矩矢的大小和方向。的大小和方向。Theoretical Mechanics 解：解：mNMMMMx1 .19345cos45cos543mNMMy802mNMMMMz1 .19345cos45cos541mNMMMMzyx6 .2842226786.0),cos(iM2811.0),cos(jM6786.0),cos(kMTheoretical Mechanics xzyOF1

23、F2F31F3F2F 三角柱刚体是正方体的一半。在三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用一个力偶。已其中三个侧面各自作用一个力偶。已知力偶（知力偶（F1, F 1）的矩）的矩M1=20 Nm；力偶（力偶（F2, F 2 ）的矩）的矩M2=20 Nm；力力偶（偶（F3, F 3）的矩）的矩M3=20 Nm。试求。试求合力偶矩矢合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。还需要施加怎样一个力偶。Theoretical Mechanics 1.画出各力偶矩矢。画出各力偶矩矢。2.合力偶矩矢合力偶矩矢M 的投影。的投影。解：解：OxzyM1M24545M3

24、xzyOF1F2F31F3F2F0 xMmNMMMy2 .1145cos32mNMMMz2 .4145cos31Theoretical Mechanics 3.合力偶矩矢合力偶矩矢M 的大小和方向。的大小和方向。 4. 为使这个刚体平衡，为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力需加一力偶，其力偶矩矢为偶矩矢为 M4= M 。xzy45OM145M2M3mNMMMMzyx7 .422220),cos(iM90),(iM262. 0),cos(jM8 .74),(jM965.0),cos(kM2 .15),(kMTheoretical Mechanics 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化

25、主矢和主矩主矢和主矩), 2 , 1( )F(MM ,FFniiOiiiTheoretical Mechanics )F(MMM ,FFF111RniiOniiOiniiTheoretical Mechanics Theoretical Mechanics RxFrRyFrRzFrOxMrOyMrOzMr有效推进力有效推进力有效升力有效升力侧向力侧向力滚转力矩滚转力矩偏航力矩偏航力矩俯仰力矩俯仰力矩飞机向前飞行飞机向前飞行飞机上升飞机上升飞机侧移飞机侧移飞机绕飞机绕x轴滚转轴滚转飞机转弯飞机转弯飞机仰头飞机仰头Theoretical Mechanics 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的

26、简化结果分析0 , 0 (1)ROMF0 , 0 (2)ROMF0 , 0 (3)ROMF0=M 0,=F (4)ORTheoretical Mechanics RR FFR FMOd OMOFR（a)RFOOd(c)RFRF RFOOd(b)OMF aR)(Theoretical Mechanics OMF / )b(R力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。Theoretical Mechanics OMF R ) c (在一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋在一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。00OM F (4)R空间任意力系的平衡。空间任意力

27、系的平衡。Theoretical Mechanics 00OM F RniziniyinixiFFF111000 , , 0)( , 0)( , 0)(iziyixMMMFFF空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程Theoretical Mechanics 空间平行力系空间平行力系niizniyinixiMFF1110)(00F F F 0)(0)(0iyixziMMF空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程xyzOF1F2F3FnTheoretical Mechanics 2. 空间约束的类型举例空间约束的类型举例Theoretical Mechanics 止推轴承Theoreti

28、cal Mechanics Theoretical Mechanics 3. 空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例铅直桅杆铅直桅杆AB受彼此互相受彼此互相垂直的两个水平力垂直的两个水平力F1和和F2的作用，并由张索的作用，并由张索CD维持平衡。已知尺寸维持平衡。已知尺寸l，力力F1和和F2，向，向D点简化的点简化的结果是力螺旋，试求结果是力螺旋，试求D点的位置。点的位置。Theoretical Mechanics 解：令解：令BD=s,将力将力F1和和F2向向D点点简化得主矢简化得主矢FR和主矩和主矩MD 在坐在坐标轴标轴x1，y1上的投影：上的投影：FR/MD 2R1R11 ,FFFFy

29、x-=-=()slFMsFMyx-=1211 , 1111RR yxyxMMFF=()slFsFFF-=1221 lFFFs222121 +=Theoretical Mechanics 涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成作用涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成作用在涡轮盘上的一个轴向力和一个力偶。图示中在涡轮盘上的一个轴向力和一个力偶。图示中FO ， MO , 斜齿斜齿轮的压力角为轮的压力角为，螺旋角为，螺旋角为，节圆半径，节圆半径r及及l1 , l2尺寸均已知。尺寸均已知。发动机的自重不计，试求输出端斜齿轮上所受的反作用力发动机的自重不计，试求输出端斜齿轮上所受的反作用力F

30、 以及径向推力轴承以及径向推力轴承O1和径向轴承和径向轴承O2 处的约束力。处的约束力。 Theoretical Mechanics 沿各轴的分力为沿各轴的分力为kFjFiF )sin() coscos( )sincos(nnnFFFzyxTheoretical Mechanics 解：建立坐标系解：建立坐标系O1xyz。 在斜齿轮上所受的压力在斜齿轮上所受的压力F: 周向力周向力Fy ，径向力，径向力Fx和轴和轴向力向力Fz 。sinFFxcoscosFFysincosFFzTheoretical Mechanics 0 xF021xxxFFF0yF021yyyFFF= 0zF01ozzFF

31、F0 xM0yM0zM2112()0yyF lF ll0)(2122rFllFlFzxx0rFMyoTheoretical Mechanics 水平传动轴上装有两个胶带轮水平传动轴上装有两个胶带轮C和和D，半径分别是，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 套在套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在，套在D轮上的胶带与铅垂轮上的胶带与铅垂线成夹角线成夹角q =30o，其拉力，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，。求在传动轴匀速转动时，拉力拉力F3和和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。以及两个径向

32、轴承处约束力的大小。 Theoretical Mechanics 解：解：建立坐标系建立坐标系Oxyz，画出系统的受力图。，画出系统的受力图。 Theoretical Mechanics 已知已知F3 =2F4，故利用以上方故利用以上方程可以解出所程可以解出所有未知量。有未知量。Theoretical Mechanics 三轮小车自重三轮小车自重=8kN，作用于，作用于E点，载荷点，载荷F1=10kN，作用于，作用于C点。求小车静止时地面对车轮点。求小车静止时地面对车轮的约束力。的约束力。Theoretical Mechanics 解：解：以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系。力系。0zFkN