解析函数的概念ppt课件

1、第一节 解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思索一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:, , , )( 00的的范范围围不不出出点点点点中中的的一一为为定定义义于于区区域域设设函函数数DzzDzDzfw , )( . )( 00的的导导数数在在这这个个极极限限值值称称为为可可导导在在那那末末就就称称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记记作作 , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 在定义中应留意在定义中应留意:.)0(00的方式是任意的的方式是任意的即即 zzzz.)()(,0000都趋

2、于同一个数都趋于同一个数比值比值时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可可导导在在区区域域内内就就称称我我们们内内处处处处可可导导在在区区域域如如果果函函数数DzfDzf例例1 .)(2的的导导数数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 例例2 .Im)(的的可可导导性性讨讨论论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于

3、实实轴轴的的方方 zyzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极极限限值值不不同同时时当当点点沿沿不不同同的的方方向向使使 z.Im)(在在复复平平面面上上处处处处不不可可导导故故zzf 例例3 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴轴的的直直线线趋趋向向于于沿沿着着平平行行于于设设

4、zxzz xyoz0 yxyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴轴的的直直线线趋趋向向于于沿沿着着平平行行于于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不不存存在在的的导导数数所所以以.2)(yixzf 2.可导与延续可导与延续: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导那么在处可导那么在 z0 处一定延处一定延续续, 但函数但函数 f(z) 在在 z0 处延续不一定在处延续不一定在 z0 处可导处可导.证证 , 0可导的定义可导的定义根据在根据在 z, 0, 0 , |0 时时使使得得当当 z,)()()( 000 zfzzfzzf

5、有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因因为为 , )()(lim 000zfzzfz 所所以以 . )(0连连续续在在即即zzf证毕证毕 ,)( )(0zzzzf 3.求导法那么求导法那么: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在方式上完全一致数中导数的定义在方式上完全一致, 并且复变函并且复变函数中的极限运算法那么也和实变函数中一样数中的极限运算法那么也和实变函数中一样, 因因此实变函数中的求导法那么都可以不加更改地此实变函数中的求导法那么都可以不加更改地推行到复变函

6、数中来推行到复变函数中来, 且证明方法也是一样的且证明方法也是一样的.求导公式与法那么求导公式与法那么: . , 0)()1(为为复复常常数数其其中中cc .,)()2(1为为正正整整数数其其中中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其其中中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函函数数两两个个互互为为反反函函数数的的单单值值是是与与其其中中4.微分的概念微分的概念

7、: 复变函数微分的概念在方式上与一元实变复变函数微分的概念在方式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线线性性部部分分的的的的改改变变量量是是函函数数小小的的高高阶阶无无穷穷是是式式中中则则可可导导在在设设函函数数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记记作作的的微微分分在在点点称称为为函函数数定义定义. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz特别地特别地, , )( 时时当

8、当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf二、解析函数的概念1. 解析函数的定义解析函数的定义. )( , )(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函数如果函数zzfzzzf).( )( .)( ,)(全纯函数或正则函数全纯函数或正则函数个解析函数个解析函数内的一内的一区域区域是是或称或称内解析内解析区域区域在在

9、则称则称内每一点解析内每一点解析区域区域在在如果函数如果函数DzfDzfDzf2. 奇点的定义奇点的定义.)( , )(00的奇点的奇点为为那末称那末称不解析不解析在在如果函数如果函数zfzzzf根据定义可知根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念价的概念. 即函数在一点处可导即函数在一点处可导, 不一定在该点不一定在该点处解析处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.例例4 .)( 2)(,)(

10、22的解析性的解析性和和研究函数研究函数zzhyixzgzzf 解解由本节例由本节例1和例和例3知知: ; )( 2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ; 2)(处处处处不不解解析析yixzg , )( 2的的解解析析性性下下面面讨讨论论zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趋趋于于沿沿直直线线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 11 , 的的任任意意性性由由于于 k .11不趋于一个确定的值不趋于

11、一个确定的值kikizz .)()(lim000不不存存在在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它它在在复复平平面面内内处处处处不不解解根根据据定定义义不不可可导导而而在在其其他他点点都都处处可可导导仅仅在在因因此此 zzzh例例5.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 解解 , 0 1 处处处处可可导导在在复复平平面面内内除除因因为为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外外处处处处解解析析在在复复平平面面内内除除所所以以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z例例6.)Re()( 的可导性与解析性的可导性与解析性研究函数研究函数zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )

12、0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 处处可可导导在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()()Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因因为为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义可导可导而在其他点都不而在其他点都不处可导处可导仅在仅在因此因此 zzf , )

13、( , 0 不不可可导导时时即即当当zfz 课堂练习课堂练习.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .定理定理 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解解析析的的两两个个函函数数在在区区域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数D

14、zgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法那么可利用求导法那么.根据定理可知根据定理可知:(1) 一切多项式在复平面内是处处解析的一切多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP三、小结与思索 了解复变函数导数与微分以及解析函数的了解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念; 掌握延续、可导、解析之间的关系以及掌握延续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法. 留意留意: 复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在方式上完全一样的导数定义在方式上完全一样, 它们的一些求它们的一些求导公式与求导法那么也一样导公式与求导法那么也一样, 然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于