同济大学固体物理课件10

1、第十讲第十讲 三维晶体的振动模三维晶体的振动模 长光频模长光频模 把把试试解解（5 5）代代入入方方程程（4 4） ，得得一一组组关关于于 e es s( (q q) )的的线线性性方方程程组组 0)()(2qeqDMsssssss - - - - - - ( (6 6) )式式中中 )(exp,)(lllssRRq issllqD - - - - ( (7 7) )以以)(qDss为为矩矩阵阵元元构构成成的的 3 3n n3 3n n 的的矩矩阵阵 D D 称称为为动动力力学学矩矩阵阵。方方程程（6 6）有有解解的的条条件件是是其其系系数数行行列列式式等等于于零零： 0|)(|det2sss

2、ssMqD - - - - - - ( (8 8) )方方程程（8 8）可可解解得得 3 3n n 个个2 2的的解解 2 2( (q q) )，= =1 1，2 2，3 3n n得得 3 3n n 支支格格波波的的色色散散关关系系： ( (q q) )，= =1 1，2 2，3 3n n 讨论讨论 3nN 3nN 个独立振动分为个独立振动分为 3n3n 支，其中支，其中 3 3 支当支当 q q0 0 时，时，0 0，这三，这三支是声学波，其余支是声学波，其余 3 3（n-1n-1）支是光学波。）支是光学波。 声学波描述不同原胞之间的相对运动。声学波描述不同原胞之间的相对运动。 光学波描述同

3、一原胞内各原子之间的相对运动。光学波描述同一原胞内各原子之间的相对运动。极化矢量极化矢量 e es s(q)(q)与波矢与波矢 q q 平行的称为纵波，平行的称为纵波，e es s(q)(q)与与 q q 垂直的称为垂直的称为横波。横波。声频支声频支: : 纵波记为纵波记为 LALA，横波记为，横波记为 TATA。光频支光频支: : 纵波记为纵波记为 LOLO，横波记为，横波记为 TOTO。 p 68 p 68 图图 4.8 4.8 硅的格波色散关系硅的格波色散关系二二 格波的模式数格波的模式数设基矢设基矢a a1 1、a a2 2、a a3 3，沿基矢方向各有，沿基矢方向各有 N N1 1、

4、N N2 2、N N3 3个原胞，整个晶个原胞，整个晶体共有体共有 N=NN=N1 1N N2 2N N3 3个原胞，每个原胞中有个原胞，每个原胞中有 n n 个原子。采用玻恩卡个原子。采用玻恩卡门周期性边界条件：门周期性边界条件： saNlusluii - - - (9) - - - (9) 即即 )(exp)(tRqiqeAslulsq saNluaNq itRqiqeAiiiilsq)exp()(exp)( 所以所以 exp(exp(iqiqN Ni ia ai i) = 1) = 1 q qN Ni ia ai i = 2 = 2n ni i n ni i为整数为整数令令 q = q

5、q = q1 1b b1 1 + q + q2 2b b2 2 + q + q3 3b b3 3这里这里 b bi i 是倒格子基矢，是倒格子基矢， q qN N1 1a a1 1 = (q = (q1 1b b1 1 + q + q2 2b b2 2 + q + q3 3b b3 3) )N N1 1a a1 1 = q = q1 1N N1 12 2 = 2 = 2n n1 1 所以所以 q q1 1 = n = n1 1/ N/ N1 1 类似地，类似地，q q2 2 = n = n2 2/ N/ N2 2， q q3 3 = n = n3 3/ N/ N3 3 333222111bNn

6、bNnbNnq - - - (10) - - - (10) 对倒格矢对倒格矢 332211bhbhbhKh 新的波矢新的波矢 hKqq 所对应的位移不变所对应的位移不变 )(exp)(tRKqiKqeAslulhhsq slutRqiqeAlsq)(exp)( 对应的动力学矩阵也不变对应的动力学矩阵也不变 )()(exp,) (llhlssRRKqissllqD )()(exp,qDRRq issllsslll 因此波矢因此波矢 q q 的取值范围可限制在简约布里渊区内，的取值范围可限制在简约布里渊区内， 22111NnN，22222NnN，22333NnN - - (11) - - (11)

7、 在简约布里渊区内共有在简约布里渊区内共有 N = N N = N1 1N N2 2N N3 3 个个 q q 值，而简约布里渊区的体积值，而简约布里渊区的体积为为 (2 (2) )3 3/ /, ,则倒格子空间中单位体积内的则倒格子空间中单位体积内的 q q 点数点数（q q 点的密度）点的密度） 333)2()2(/)2(VNN - - - (12) - - - (12) 在在 N N1 1、N N2 2、N N3 3均趋于无穷大时，波矢均趋于无穷大时，波矢 q q 可连续取值，对可连续取值，对 q q 的求和可的求和可变成积分：变成积分： qdVq3)2( - - - (13) - -

8、- (13)小结：小结： 若三维晶体含若三维晶体含 N N 个原胞，每个原胞有个原胞，每个原胞有 n n 个原子，则晶体格个原子，则晶体格 波频谱分为波频谱分为 3n3n 支，每一支有支，每一支有 N N 个波矢。因此格波的总模式数个波矢。因此格波的总模式数 等于晶体原子的自由度总数等于晶体原子的自由度总数 3nN3nN。三格波频谱密度三格波频谱密度1. 1. 定义：晶体单位体积中、单位频率间隔之间的格波简正模式的数定义：晶体单位体积中、单位频率间隔之间的格波简正模式的数目称为格波频谱密度目称为格波频谱密度 g(g() )。2. 2. 计算方法：计算方法：单位体积中、频率在至单位体积中、频率在

9、至+d+d之间的第支频谱的格波简正之间的第支频谱的格波简正模式的数目为模式的数目为 g g( ()d)d。（1 1） 倒格子空间中波矢倒格子空间中波矢 q q 的取值均匀分布，单位体积内的的取值均匀分布，单位体积内的 q q 点数点数为为3)2(V；（2 2）波矢空间里频率为和）波矢空间里频率为和+d+d两个等频率曲面之间的体积两个等频率曲面之间的体积 为为qddSS。注意：不同支频谱的等频率曲面形状不同，。注意：不同支频谱的等频率曲面形状不同， 两曲面间的体积也不同。两曲面间的体积也不同。 （见图）（见图）（3 3）波矢空间里频率为和）波矢空间里频率为和+d+d两个等频率曲面之间包含的两个等

10、频率曲面之间包含的 q q 点数为点数为qdVdSS3)2(，再除以，再除以 V V 即求得。即求得。 写成写成 g g( ()d)d = = qddSS381 - - - (14) - - - (14)在两个等频率曲面间取一圆柱形体积元在两个等频率曲面间取一圆柱形体积元 dq = dq = dSdSl,l,其中小圆柱其中小圆柱高高 l l 满足关系式满足关系式 ld| （见图） 。（见图） 。所以所以 g g( ()d)d = = |813dSddSS即即 g g( () = ) = |813dSdSS 对所有各支格波频谱求和，即求得格波频谱密度对所有各支格波频谱求和，即求得格波频谱密度 g

11、(g() ) g( g() = ) = | )(|813qdS - - - (15) - - - (15) 上式中积分上下限的等频率曲面形状对于不同支频谱是不上式中积分上下限的等频率曲面形状对于不同支频谱是不 同的，因此没有标出。同的，因此没有标出。3. 3. 晶体硅的格波频谱密度晶体硅的格波频谱密度 p 70 p 70 图图 4.10 4.10 中的实线。中的实线。 实线与横坐标轴所包围的面积等于晶体单位体积中格波的总模式实线与横坐标轴所包围的面积等于晶体单位体积中格波的总模式数，它应等于晶体单位体积中原子的自由度总数。数，它应等于晶体单位体积中原子的自由度总数。 VnNdg3)( - -

12、- (16) - - - (16)对于硅，面心立方，对于硅，面心立方，n = 2n = 2。4. 4. 格波频谱密度的德拜近似格波频谱密度的德拜近似（图（图 4.10 4.10 中的虚线） ：中的虚线） ： (1) (1)只考虑声频支格波；只考虑声频支格波； (2) (2)认为在长波极限下晶体是各向同性的弹性体，色散关系为一直认为在长波极限下晶体是各向同性的弹性体，色散关系为一直 线，线，(q) = (q) = v vs sq q，常系数，常系数 v vs s为声速；为声速； (3) (3)将线性色散关系延伸至最高频率将线性色散关系延伸至最高频率D D，使虚线下面积。，使虚线下面积。 VNdg

13、D3)(0 - - - (17) - - - (17)通常用公式通常用公式（1717）确定）确定D D。四四 范霍夫奇性范霍夫奇性 公式公式（1515） g( g() = ) = | )(|813qdS 在在0)(q的点处存在的点处存在奇性，这些点称为临界点。常出现在布里渊区的高对称性点处。奇性，这些点称为临界点。常出现在布里渊区的高对称性点处。在三维情况，设临界点在在三维情况，设临界点在 q = 0 q = 0， 对应的频率为对应的频率为C C，则在，则在C C附近可附近可作幂级数展开：作幂级数展开： = = C C + Aq + Aqx x2 2 + Bq + Bqy y2 2 + Cq

14、+ Cqz z2 2范霍夫提出有四类奇性，即有四类临界点。看书上范霍夫提出有四类奇性，即有四类临界点。看书上 p70p70。4 4. .5 5 离离子子晶晶体体的的光光频频模模与与电电磁磁波波耦耦合合当当长长光光学学波波通通过过离离子子晶晶体体时时，其其纵纵波波分分量量会会使使离离子子晶晶体体产产生生宏宏观观极极化化，并并与与电电磁磁波波发发生生耦耦合合。描描述述这这种种现现象象的的基基本本方方程程是是黄黄昆昆方方程程。一一 长长光光频频模模的的特特点点 考考虑虑由由两两种种不不同同离离子子（正正、负负离离子子）所所组组成成的的一一维维复复式式格格子子。已已知知对对于于光光学学波波，相相邻邻的

15、的不不同同离离子子振振动动方方向向相相反反。当当波波长长原原胞胞线线度度时时，相相邻邻的的同同一一种种离离子子的的位位移移将将趋趋于于相相同同。这这样样，在在半半波波长长的的范范围围内内，正正离离子子所所组组成成的的一一些些布布喇喇菲菲原原胞胞同同向向地地位位移移，而而负负离离子子所所组组成成的的另另一一些些布布喇喇菲菲原原胞胞反反向向地地位位移移。 （看看演演示示）1. 1. 纵光学波纵光学波正负离子的位移在每一个厚度为半波长的薄层中产生一个极化强正负离子的位移在每一个厚度为半波长的薄层中产生一个极化强度度 P P，因此长的纵光学波是一种极化波。极化导致每一个薄层的两个面，因此长的纵光学波是

16、一种极化波。极化导致每一个薄层的两个面上出现净上出现净（正负）电荷（正负）电荷（p71 p71 图图 4.124.12） ，从而产生了一个垂直于薄层的） ，从而产生了一个垂直于薄层的退极化场退极化场 E Ed d，o oE Ed d = -P = -P。E Ed d的作用促使离子回到平衡位置，相当于增的作用促使离子回到平衡位置，相当于增强恢复力，所以长的纵光学波的振动频率强恢复力，所以长的纵光学波的振动频率LoLo应大于原来只考虑准弹性应大于原来只考虑准弹性力的本征振动频率力的本征振动频率o o（看书，图）（看书，图）因电磁波是横波，纵光学波不能和电磁波耦合。因电磁波是横波，纵光学波不能和电磁

17、波耦合。2. 2. 横光学波横光学波离子位移与格波传播方向垂直。没有净离子位移与格波传播方向垂直。没有净（正负）电荷出现（正负）电荷出现（见图） ，（见图） ，因此退极化场因此退极化场 E Ed d = 0 = 0。所以长的横光学波的振动频率。所以长的横光学波的振动频率ToTo应等于原来应等于原来本征振动频率本征振动频率o o。由此可知，对于离子晶体，。由此可知，对于离子晶体，LoLo大于大于ToTo。横光学波和电磁波都是横波，两者可以耦合，形成统一的电磁耦合波。横光学波和电磁波都是横波，两者可以耦合，形成统一的电磁耦合波。二二 黄黄昆昆方方程程长长光光学学波波有有一一个个重重要要特特点点：

18、介介质质中中的的纵纵向向电电场场（外外加加的的，和和正正负负离离子子极极化化产产生生的的）会会使使恢恢复复力力常常数数改改变变（振振动动频频率率改改变变） ，这这使使问问题题的的精精确确解解变变得得远远为为复复杂杂。用用 u u+ +：质质量量为为 M M+ +的的正正离离子子偏偏离离平平衡衡位位置置的的位位移移。 u u- -：质质量量为为 M M- -的的负负离离子子偏偏离离平平衡衡位位置置的的位位移移。 E E： 介介质质中中存存在在的的宏宏观观电电场场强强度度。 E Ee ef ff f：作作用用在在某某一一离离子子上上的的有有效效电电场场强强度度。 E Ee ef ff f = =

19、E E 该该离离子子本本身身产产生生的的电电场场1 1 极化方程极化方程 由洛仑兹有效场近似由洛仑兹有效场近似 （见书（见书 “光学原理” ）“光学原理” ） E Eeffeff = E + = E + 31P - - - (1)P - - - (1) 其中极化强度其中极化强度 P = P = VN( (e e* *u + u + E Eeffeff) - - -) - - -（2 2） 这里这里 e e* *是离子电荷是离子电荷（正负离子的电荷数相同，符号相反） ，（正负离子的电荷数相同，符号相反） ，V V 是晶体体积，是晶体体积，N N 是复式格子的原胞数，是复式格子的原胞数，u = (

20、uu = (u+ + - u - u- -),), = = + + + + - - 是正负离子极化率之和。是正负离子极化率之和。把把（1 1）式代入）式代入（2 2） ，） ， P = P = VN( (e e* *u + u + E + E + 3P)P) P - P - VN3P = P = VN( (e e* *u + u + E)E) P = P = VNVNEue31* - - - (3) - - - (3)2 2. . 正正负负离离子子的的运运动动方方程程 M M+ +u = = - -( (u u+ + - - u u- -) ) + + e e* *E Ee ef ff f M

21、 M- -u = = + +( (u u+ + - - u u- -) ) e e* *E Ee ef ff f - - - - - -（4 4）把把（4 4）式式的的第第一一式式乘乘以以 M M- -减减去去第第二二式式乘乘以以 M M+ +, , )(*)()(MMEeMMuuuuMMeff effEeuuuuMMMM *)()( u = = - -u u + + e e* *E Ee ef ff f - - - - - - （5 5） 其其中中= = MMMM，上上式式中中最最后后一一项项表表明明“极极化化影影响响运运动动”。把把（7a7a）和）和（9 9）代入运动方程）代入运动方程（6

22、a6a） LoTLTLWbbWWbWW 2221211)(横向振动方程：横向振动方程： TTWbW 11 (a) - - (10) (a) - - (10) 纵向振动方程：纵向振动方程： LoLWbbbW )(2221211 (b) (b)把把 W W 的的 e ei i( (q qr r - -t)t)形式代入方程形式代入方程（1010） 光学波横向频率：光学波横向频率： 201120bT (a) - - - (11) (a) - - - (11) 光学波纵向频率：光学波纵向频率：)(222121120bbboL 2221220bboT ( (b)b)四四 晶体介电系数晶体介电系数s s、与

23、黄昆方程系数的关系与黄昆方程系数的关系现在讨论介质中存在一个一般的宏观电场现在讨论介质中存在一个一般的宏观电场 E E（外加，极化，纵，横，（外加，极化，纵，横，任意频率） 。设解仍为任意频率） 。设解仍为 e ei i(q(qr -r -t)t)形式，代入黄昆方程形式，代入黄昆方程（6a6a） 得得 - -2 2 W = b W = b1111W + bW + b1212E E 所以所以 W = W = Ebb11212 代入黄昆方程代入黄昆方程（6b6b） P = -b P = -b1212Ebb11212 + b + b2222E E = = Ebbb)(11221222 利用利用 P

24、= D - P = D - o oE=E=o o（-1 -1 ）E E 所以所以 o o（-1 -1 ）= = 11221222bbb )(11)(11221222bbbo - - (12) - - (12) 把把（1111）(a)(b)(a)(b)代入上式，消去代入上式，消去 b b1111和和 b b12122 2 得介电函数得介电函数 )(11)(22222222TOTOLOoobb 22222222)()(1TOTOLOooobb )1)(1 (222222TOTOLOob )1)()(222222oTOLOb - - - (13) - - - (13) 当当 ob221)( 为高频介电常数为高频介电常数 当当 0 0 )()0(22TOLOs 为静电介电常数为静电介电常数 著名的著名的 LSTLST 关系：关系： sLoTo22 - - - (14) - - - (14) LST: LST: Lyddane-Sachs-Teller Lyddane-Sachs-Teller 利戴恩萨克斯特勒利戴恩萨克斯特勒 关系关系 结论：结论： （i i） s s恒恒 长光学纵波的长光学纵波的 LoLo恒恒 长光学横波的长光学横波的ToTo 原因：纵波伴随有一个宏观电场，增加了恢复力，提高了纵原因：纵波伴随有一个宏观电场，增加了恢复力，提高了纵 波的频率波的频率LoLo （iii